Całki nieoznaczone

Staraliśmy się umieszczać przykłady, które powinny ułatwić zrozumieć prezenrowany materiał.

(A) Wstęp - definicje i krótkie wyjaśnienie.

Na czym polega całkowanie?
Przypomnijmy najpierw na czym polega obliczanie pochodnej? Mamy daną funkcję
, szukamy funkcji
, która spełnia:
.
Uwaga: stosujemy zamiennie oznaczenia pochodnych funkcji np. dla oznaczenia pochodnej pewnej funkcji
stosujemy zarówno zapis
jak i
.
Całkowanie polega natomiast na szukaniu funkcji
, która spełnia
, przy czym dana jest
. Prościej: naszą daną jest pochodna pewnej funkcji, naszym zadaniem jest znalezienie funkcji, z której ta pochodna została obliczona.

Oto podstawowe definicje związane z całkowaniem:

Funkcją pierwotną funkcji
na przedziale
nazywamy każdą funkcję
, której pochodna
równa się danej funkcji
dla każdego
.


Całką nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji
, oznaczaną symbolem
nazywamy wyrażenie
, gdzie
jest funkcją pierwotną funkcji
, a
jest dowolną stałą.

Najpierw krótki przykład pokazujący bezpośredni związek między obliczaniem pochodnych (różniczkowaniem) a całkowaniem. Wiemy, że pochodna funkcji


wynosi

.
Stąd wynika, że

.
Musimy dodać stałą
, a wynika to z faktu, iż pochodna ze stałej równa się zero.
Po ponownym różniczkowaniu otrzymamy oczywiście

.

(B) Wzory.

Teraz przedstawimy podstawowe wzory na całkowanie.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

Oto jeszcze kilka niezbędnych wzorów (analogiczne własności posiadają pochodne):
Jeżeli funkcje
i
mają funkcje pierwotne, to:
24.

25.

26.

Ale uwaga!!!



Kolejny przykład pokaże, jak pamiętając wzór na pochodną danej funkcji można przypomnieć sobie wzór na całkę tejże funkcji. Wyprowadźmy wzór nr 6 mając dane:

i
.
Obliczamy

gdyż

(patrz wzór 26).
Z definicji całki nieoznaczonej wynika, że


gdzie
jest dowolną stałą. Otrzymujemy więc, że


Dzielimy obustronnie przez
otrzymując

.
Podstawiamy
otrzymujemy wzór 6.
jest oczywiście dowolną stałą.
:: początek strony

(C) Całkowanie przez podstawianie i całkowanie przez części.

Całka nieoznaczona ma następującą własność:
Jeżeli:
1. funkcja
jest ciągła na przedziale

2. funkcja
ma ciągłą pochodną na przedziale
to

gdzie
jest dowolną funkcją pierwotną funkcji
oraz

Jest to tak zwany wzór na całkowanie przez podstawianie. Jego zastosowanie zilustrujemy przykładem. Obliczmy:


Podstawiamy

(1)
Następnie różniczkujemy powyższe równanie:


Stąd wynika, że:

(2)
Podstawiamy (1) i (2) do obliczanej całki:


Pszekształcamy (wykorzystując) wzór 4):


Wykorzystując (1) powracamy do oryginalnej zmiennej otrzymując ostateczne rozwiązanie:



Oto lista kroków niezbędnych do obliczenia całek metodą podstawiania:

(i)	Znajdź wyrażenie t=t(x) takie, że funkcja podcałkowa f(x)może być wyrażona w prostszej postaci
(ii)	Oblicz różniczkę dt=t'(x)dx
(iii)	W wyrażeniu podcałkowym postaraj się znaleźć obliczoną różniczkę
(iv)	Staraj się zapisać funcję podcałkową jako funkcję zmiennej t. Jeśli nie da się tego zrobić, to być może omawiana metoda nie nadaje się do obliczenia danej całki (możesz jeszcze sprawdzić inne funkcje - wróć do kroku (i)).
(v)	Znajdź funkcję pierwotną prostszej całki.
(vi)	Dokonaj podstawienia za t tak, żeby uzyskana funkcja pierwotna była funkcją zmiennej x.

Teraz opiszemy metodę tzw. całkowania przez części:
Jeżeli funkcje
i
mają ciągłe pochodne, to:



Jego zastosowanie zilistrujemy następującym przykładem. Obliczmy


Za f(x) podstawmy f(x)=x, natomiast niech g'(x)=cosx. Obliczamy:
f'(x)=1
oraz


W ostatnim wyrażeniu pominęliśmy stałą. Stosując metodę całkowania przez części otrzymujemy:


Ostatecznie zaś:

---