Zadania do rozwiązania na zajęciach z ekonometrii (badań operacyjnych)

FiR, semestr letni roku akademickiego 2013/2014

(zadania lub pomysły zadań zaczerpnięto m.in. z następujących pozycji: Wayne L.Winston, Operations Research. Applications and Algorithms. Duxbury Press, Belmont 1994; Alpha C.Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej. Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne. Warszawa 1994; Jack Hirshleifer, John G.Riley, The Analytics of Uncertainty and Information. Cambridge University Press, Cambridge 1994)

Zad. 1: Rozwiąż układ równań liniowych
, w którym: (a)
,
oraz
; (b)
,
,
.

Zad. 2: Wyznacz przebieg zmienności funkcji: (a)
, (b)
.

Zad. 3: W przedsiębiorstwie wytwarza się dwa wyroby (
i
) zużywając w procesie produkcyjnym 3 czynniki produkcji (
,
,
). Normy zużycia poszczególnych czynników produkcji na jednostkę każdego wyrobu oraz ich zasoby przedstawia poniższa tabela.

Czynnik produkcji	Wyrób		Zasób
	1	1	12
	2	4	42
	1	0	11

Wiedząc, że zyski jednostkowe ze sprzedaży obu wyrobów wynoszą odpowiednio 3 i 4 złote: (i) sformułuj zagadnienie pierwotne i dualne; (ii) wyznacz wielkości produkcji obu wyrobów, które maksymalizują zysk przedsiębiorstwa; użyj metody simpleks; (iii) oblicz maksymalny zysk przedsiębiorstwa i podaj o ile on wzrośnie, gdy zasób czynnika wzrośnie o jednostkę, ceteris paribus; (iv) zadecyduj, czy zasoby wszystkich czynników produkcji zostaną całkowicie wykorzystane; jeśli nie, to podaj ich nazwy i określ niewykorzystane wielkości; (v) sporządź rysunek ilustrujący rozwiązanie problemu.

Zad. 4: Jesteś dyrektorem agencji reklamowej, która promuje nowy typ dezodorantu. Budżet kampanii reklamowej wynosi 200000 zł. Promocja odbywa się poprzez umieszczanie 30 sekundowych reklam w telewizji oraz kolorowych, dwukolumnowych ogłoszeń w tygodniku o zasięgu ogólnokrajowym. Jednorazowa emisja reklamówki w telewizji kosztuje 20000 zł, natomiast opublikowanie ogłoszenia w tygodniku - 5000 zł. Przeprowadzona przez pracowników agencji analiza oglądalności programu telewizyjnego i poczytności prasy wykazała, że używając telewizji dociera się średnio do 400000 widzów, wybierając zaś tygodnik - dociera się do 150000 osób. Zadecyduj o sposobie i częstości reklamowania nowego dezodorantu w taki sposób, aby o jego pojawieniu się na rynku dowiedziała się jak największa liczba osób.

Zad 5: Jesteś dyrektorem przedsiębiorstwa, w którym wytwarza się dwa rodzaje sztućców: noże i widelce. Proces produkcji obejmuje tłoczenie i polerowanie. Wyposażenie tłoczni i polerni w maszyny jest takie, że umożliwia obróbkę sztućców przez odpowiednio 70 i 100 maszynogodzin czasu pracy tygodniowo na każdym wydziale. Do wytworzenia kompletu noży potrzeba 12 minut czasu pracy maszyn do tłoczenia i 30 minut czasu pracy maszyn do polerowania, natomiast do wytworzenia kompletu widelców - 24 i 15 minut czasu pracy maszyn odpowiedniego typu. Przedsiębiorstwo może sprzedać całą wytworzoną produkcję sztućców uzyskując za komplet noży 12 złotych, a za komplet widelców - 9 złotych. Określ tygodniowe wielkości produkcji obu rodzajów sztućców maksymalizujące zysk przedsiębiorstwa wiedząc, że koszt wytworzenia kompletu noży wynosi 4 złote, a koszt wytworzenia kompletu wielcy - 3 złote.

Zad. 6: Spodziewasz się, że w 2007 roku 1 akcja zwykła First National Bank of Upper Sopot (FNBUS) przyniesie Ci 50 zł zysku, natomiast 1 akcja zwykła First National Bank of Lower Sopot (FNBLS) - tylko 35 zł zysku. Załóż, że 31 grudnia 2006 roku posiadasz 1 mln zł, które przeznaczasz na zakup tych akcji po cenach równych odpowiednio 1250 i 750 zł. Określ ilości akcji obu banków, które zakupisz, jeśli wiesz, że będziesz mógł zakupić co najwyżej 750 akcji FNBLS. Ile jest ,,warta” 1 złotówka kapitału przeznaczonego na zakup akcji? O ile zwiększy się Twój zysk, gdybyś mógł zakupić o jedną akcję FNBLS więcej? Rozwiązanie zilustruj odpowiednim(i) rysunkiem(ami).

Zad. 7: Załóż, że funkcją użyteczności Marka jest
, gdzie
- wielkość spożycia odpowiednio ciasta (kg) i lemoniady (litry). Niech kilogram ciasta i litr lemoniady kosztują odpowiednio 10 i 5 złotych. Wyznacz optymalne wielkości spożycia obu dóbr wiedząc, że Marek może zjeść co najwyżej 8 kg ciasta i przeznaczyć na konsumpcję co najwyżej 100 złotych. O ile zmieni się użyteczność Marka, gdyby mógł zjeść o 1 kg ciasta (przeznaczyć na konsumpcję o 1 zł) więcej?

Zad. 8: Janek otrzymuje od rodziców kieszonkowe w wysokości 100 zł miesięcznie, które przeznacza na zakłady piłkarskie. Z każdej złotówki postawionej na Legię uzyskuje przeciętnie 15 gr zysku, natomiast złotówka postawiona na Górnika przynosi mu przeciętnie 20 groszy zysku. Wyznacz optymalne wielkości zakładów na obie drużyny, jeśli wiesz, że Janek stawia na Górnika co najwyżej 40 zł. Wyznacz przeciętny miesięczny zysk z zakładów piłkarskich. O ile zmieni się ten zysk, jeśli rodzice zwiększą Jankowi kieszonkowe o 1 zł?

Zad. 9: W tartaku przecina się deski o szerokości 10 cm w deski o mniejszej szerokości. Określ sposób realizacji zlecenia klienta na 90 desek o szerokości 6 cm i 120 desek o szerokości 3 cm, który minimalizuje odpad drewna powstający w trakcie przecinania. Załóż, że na rozmiary odpadu nie ma wpływu szerokość ostrza tnącego. O ile zmieni się odpad drewna, jeśli zlecenie na deski o szerokości 3 cm wzrośnie o 1 szt?

Zad. 10: Dom inwestycyjny Midas rozważa zaangażowanie się w dwa przedsięwzięcia. Kierownictwo domu oczekuje, że zysk z zaangażowania złotówki w pierwsze przedsięwzięcie wyniesie 25 gr a zysk z zaangażowania złotówki w drugie przedsięwzięcie - 40 gr. Określ optymalne zaangażowanie w oba przedsięwzięcia, jeśli wiadomo, że łączne zaangażowanie nie może przekroczyć 100 mln zł, a zaangażowanie w pierwsze przedsięwzięcie - 40 mln zł. O ile zmieni się zysk domu inwestycyjnego, jeśli jego łączne zaangażowanie wzrośnie o 1 mln zł?

Zad. 11: Duża ferma hoduje świnie, które skarmia się paszą będącą mieszaniną trzech rodzajów ziarna. Każde z nich zawiera 4 składniki odżywcze: białko, wapń, proteiny oraz witaminę A. Informacje o przeciętnej zawartości poszczególnych składników odżywczych w jednostce wagowej ziarna, minimalnym dziennym zapotrzebowaniu stada na składniki oraz cenie jednostkowej ziarna zamieszczono w poniższej tabeli.

Składnik Odżywczy	Jednostka miary	Zawartość składnika w jednostce wagowej ziarna rodzaju			Minimalne dzienne zapotrzebowanie
				I		II	III
Białko	mg	2,0	3,0	7,0	1250,0
Wapń	mg	1,0	1,0	0,0	250,0
Proteiny	mg	5,0	3,0	0,0	900,0
Witamina A	mg	0,6	0,25	1,0	232,5
Cena ziarna	zł/jed wag	41,0	35,0	96,0

Pomóż właścicielowi fermy dobrać skład paszy w taki sposób, aby była ona najtańsza z możliwych.

Zad. 12: Zamierzasz otworzyć wytwórnię słodyczy. Rozważasz w niej produkcję dwóch rodzajów cukierków (
i
), do której używa się cukru, orzeszków i czekolady. W chwili obecnej posiadasz zapas 100 kg cukru, 20 kg orzeszków oraz 30 kg czekolady. Masa, z której formuje się cukierki typu
musi zawierać co najmniej 20% orzeszków, natomiast masa, z której formuje się cukierki typu
musi składać się z co najmniej 10% orzeszków i 10% czekolady. Zapisz i rozwiąż odpowiednie zagadnienie programowania liniowego wiedząc, że sprzedaż 1 kg cukierków typu
zapewni Ci 2,5 zł zysku, a sprzedaż 1 kg cukierków typu
- 2 zł zysku. Za kryterium optymalności przyjmij łączny zysk ze sprzedaży (produkcji) obu rodzajów cukierków.

Zad. 13: Litr soku malinowego kosztuje 2 złote i zawiera 20 mg witaminy C i 30 mg wapnia, natomiast litr soku mango - kosztuje 3 zł i zawiera odpowiednio 50 i 20 mg każdego ze składników odżywczych. Skonstruuj taką mieszaninę soków malinowego i mango, w której znajduje się co najmniej 250 mg witaminy C i 150 mg wapnia i która jest zarazem najtańsza ze wszystkich możliwych mieszanin. Określ jej koszt oraz wartość ekonomiczną składników odżywczych zawartych w 1 litrze soku malinowego. Rozwiązanie zilustruj odpowiednim(i) rysunkiem(ami).

Zad. 14: W poszczególne dni tygodnia na poczcie potrzebna jest następująca liczba pracowników pełnoetatowych do sprawnej obsługi klientów:

Dzień tyg	Pon	Wt	Śr	Czw	Pt	Sob	Nd
Pracownicy	17	13	15	19	14	16	11

Wiedząc, że pracownicy muszą pracować przez 5 kolejnych dni, po czym korzystają z dwudniowej przerwy w pracy, wyznacz optymalną liczbę zatrudnionych w każdym dniu tygodnia w taki sposób, aby zminimalizować ogólną liczbę zatrudnionych na poczcie.

Zad. 15: Jesteś dyrektorem mleczarni. Planujesz wprowadzenie do sprzedaży w następnym kwartale 3 rodzajów jogurtów:
,
i
. Na ten cel przeznaczasz ze środków własnych kwotę 50000 złotych. Pozostałe wydatki osobowe i rzeczowe (przekraczającą powyższą kwotę) zostaną sfinansowane z kredytu bankowego udzielonego przez Bank Rozwoju Rolnictwa. Bank ten oferuje kwartalną linię kredytową z limitem 300000 złotych. Oprocentowanie kredytu wyniesie 3% w stosunku kwartalnym. Warunkiem dostępu do kredytu jest utrzymanie przez mleczarnię współczynnika wypłacalności szybkiej na poziomie równym 0,04 (4%) oraz zobowiązanie się mleczarni do spłaty odsetek pod koniec rozważanego kwartału. Bank wymaga również, aby w celach promocji produkcji udział jogurtu
w całości produkcji stanowił co najmniej 20%. Z kolei dystrybutor jogurtów żąda, aby udział jogurtu
w produkcji był co najmniej taki sam jak pozostałych jogurtów. Produkcja jogurtów odbywa się na 3 wydziałach produkcyjnych: produkcji właściwej, kontroli jakości oraz paczkowania. Informacje o cenach, kosztach oraz procesie technologicznym przedstawia poniższa tabela.

Jogurt	Cena sprzedaży	Koszt wytworzenia	Normy technologiczne
						prod wł	kontr jak	paczkowanie
		zł/litr		godz/litr
	0,88	0,65	0,16	0,03	0,08
	0,82	0,54	0,12	0,045	0,06
	1,02	0,87	0,18	0,04	0,05

Wiedząc, że mleczarnia może przeznaczyć na nową produkcję 400000 godzin czasu pracy maszyn na wydziale produkcji właściwej, 80000 godzin czasu pracy maszyn na wydziale kontroli jakości oraz 150000 godzin czasu pracy maszyn na wydziale paczkowania określ wielkości produkcji jogurtów wszystkich rodzajów maksymalizujące zysk przedsiębiorstwa.

Zad. 16: Zakład oczyszczania miasta w Gdyni usuwa z jej terenu trujące odpadki organiczne i nieorganiczne, poddaje je działaniu detergentu neutralizującego ich szkodliwe oddziaływanie na środowisko oraz spala pozostałości tego procesu w specjalnie do tego celu zaprojektowanej instalacji. Pracownicy zakładu ustalili, że przeróbka kilograma odpadków organicznych kosztuje 2 złote, a przeróbka kilograma odpadków nieorganicznych - 3 złote. W zakładzie można przerobić w ciągu tygodnia do 9 milionów kilogramów odpadków. W wyniku spalania pozostałości po przerobionych odpadkach powstaje gruboziarnisty popiół i pewien produkt mineralny. Każdy z nich jest mieszaniną składników organicznych i nieorganicznych, której proporcje zależą od ustawienia procesu technologicznego. Nabywcą popiołu jest producent nawozów sztucznych, a nabywcą produktu mineralnego - producent proszku do prania. Ten pierwszy kupuje tygodniowo do 7 milionów kilogramów popiołu, płacąc po 4 złote za jego kilogram, ten drugi zaś - do 6 milionów kilogramów produktu mineralnego, płacąc po 5 złotych za jego kilogram. Producent nawozów sztucznych wymaga, aby zawartość składników organicznych w popiele nie przekraczała 60% jego wagi. Producent proszku do prania żąda natomiast, ażeby zawartość składników nieorganicznych w produkcie mineralnym stanowiła przynajmniej 50% i nie więcej niż 75% jego wagi. Będąc kierownikiem zakładu określ takie wielkości produkcji popiołu i produktu mineralnego (składników organicznych i nieorganicznych zawartych w każdym z nich), przy których zysk przedsiębiorstwa jest największy. Jak zmienią się optymalne wielkości produkcji, jeśli producent nawozów sztucznych dodatkowo ustali swoje minimalne tygodniowe zapotrzebowanie na popiół na poziomie nie mniejszym od 4 milionów kilogramów?

Zad. 17: Jesteś odpowiedzialny za transakcje walutowe w banku. Zasoby walutowe banku na otwarcie dnia wynoszą (w mln): $ 8, £ 1, DM 8, ¥ 0. Zapotrzebowanie na zamknięcie kształtuje się w wysokości odpowiednio $ 6, £ 3, DM 1 oraz ¥ 10. Jakich transakcji powinieneś dokonać w trakcie dnia chcąc zmaksymalizować wartość zasobów walutowych na zamknięcie wyrażoną w dolarach, jeśli kursy wymiany na rynku w tym dniu kształtowały się następująco: 1 $= £ 0,58928 = DM 1,743 = ¥ 138,3. Dla uproszczenia przyjmij, że kurs kupna jest równy kursowi sprzedaży, a dokonują transakcji nie płacisz prowizji. Czy Twoje decyzje ulegną zmianie, jeśli celem Twojego działania stanie się maksymalizacja wartości zasobów walutowych wyrażona w markach?

11

---