Prognozowanie gospodarcze

Na pierwszej części kolokwium z Prognozowania gospodarczego obowiązuje znajomość:

1. Test (hipotezy, statystyka, wnioskowanie)

a) t-Studenta,

Badanie istotności parametrów strukturalnych za pomocą testu T-Studenta

Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu polega na weryfikacji hipotez postaci:

(parametr
nieistotnie różni się od zera, tj. zmienna objaśniająca
statystycznie nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą Y)

0 (parametr
istotnie różni się od zera, tj. zmienna objaśniająca
istotnie wpływa na zmienną objaśnianą Y)

gdzie:

- hipoteza zerowa

- hipoteza alternatywna,

- parametr strukturalny stojący przy badanej zmiennej

Weryfikacja powyższych hipotez przebiega w oparciu o statystykę t posiadającą, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, rozkład t-Studenta (test dwustronny). Wartość krytyczną testu
odczytuje się z tablic rozkładu przy ustalonym poziomie istotności α oraz N-(K+1) liczbie stopni swobody.

Wartość statystyki z próby
wyznacza się na podstawie wzoru:

(4.1)

gdzie:

- ocena parametru

- średni błąd resztowy parametru

b) F - wybór stopnia wielomianu trendu,

Badanie istotności parametrów strukturalnych za pomocą testu F

Badanie istotności parametrów strukturalnych za pomocą testu F polega za badaniu istotności wszystkich parametrów strukturalnych łącznie. Weryfikowane hipotezy mają następującą postać (w badaniu pomija się wyraz wolny):

(parametry strukturalne nieistotnie różnią się od zera, tj. wszystkie zmienne objaśniające
nieistotnie wpływają na zmienną objaśnianą Y)

( co najmniej jeden parametr strukturalny istotnie różni się od zera, tj. co najmniej jedna zmienna objaśniająca
istotnie wpływa na zmienną objaśnianą Y)

Weryfikacja powyższych hipotez przebiega w oparciu o statystykę F Fishera-Snedecora. Wartość krytyczna testu
odczytana jest z tablic rozkładu przy ustalonym poziomie istotności α oraz
stopniach swobody.

Wartość statystyki F z próby wyznacza się ze wzoru:

(4.2)

gdzie:

N- liczebność próby,

K- liczba zmiennych objaśniających

- współczynnik determinacji dany jest wzorem (4.8)

c) Durbina-Watsona,

Weryfikację powyższych hipotez przeprowadza się na podstawie statystyki DW Durbina-Watsona, danej wzorem:

(4.18)

gdzie:

- reszty modelu z okresu t,

- reszty modelu z okresu t-1

wartość statystyki DW zawiera się w zbiorze
. Jeżeli
to podejrzewa się występowanie autokorelacji dodatniej i hipoteza alternatywna ma postać:

(występuje autokorelacja dodatnia I rzędu składnika losowego).

Jeżeli
, to podejrzewa się występowanie autokorelacji ujemnej i hipoteza alternatywna ma postać:

(występuje autokorelacja ujemna I rzędu składnika losowego).

Natomiast jeżeli DW=2 to stwierdza się brak autokorelacji I rzędu składnika losowego

Statystykę DW porównuje się z wartościami krytycznymi z tablic rozkładu Durbina-Watsona
przy danych wielkościach: α( poziom istotności), T(liczba obserwacji) oraz K (liczba zmiennych objaśniających)

Jeżeli DW, DW*>
, wówczas nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
, stwierdza się brak autokorelacji I rzędu składnika losowego.

Jeżeli
DW, DW*
stwierdza się obszar niekonkluzywności, test nie daje odpowiedzi, należy zastosować testy alternatywne do rozstrzygnięcia hipotez.

Jeżeli natomiast DW, DW*
, wówczas odrzuca się hipotezę zerową
na rzecz hipotezy alternatywnej
, mówiącej o wystąpieniu autokorelacji I rzędu składnika losowego.

Występowanie autokorelacji jest błędem specyfikacji modelu i jest zjawiskiem niepożądanym.

Przyczyną występowania autokorelacji dodatniej jest na ogół uwzględnienie zbyt małej liczby zmiennych objaśniających w modelu.

Przyczyną autokorelacji ujemnej jest uwzględnienie zbyt dużej liczby zmiennych objaśniających. Autokorelację może też powodować błędna postać analityczna modelu lub niewłaściwa transformacja zmiennych objaśniających.

W modelu, w którym występuje autokorelacja I rzędu składnika losowego nie są spełnione wszystkie założenia KMNK, dlatego też nie można zastosować tej metody do szacowania parametrów. Należy wyeliminować autokorelację, co często można osiągnąć poprzez wprowadzanie do modelu zmiennej opóźnionej

d) Quenouille'a,

Test Quienoille'a (test na istotność współczynnika autokorelacji)

Dla sprawdzenia istotności
. Jeżeli:

Wówczas współczynnik jest statystycznie istotny

Zakłada się, że

n- liczebność próby

Podstawiając do t mamy:

Jeżeli
to następuje zanikanie autokorelacji cząstkowej, rząd modelu AR nie będzie większy od p. W przypadku modelu AR funkcja autokorelacji cząstkowej urywa się na poziomie nie przekraczającym 20 % długości szeregu.

e) Ljunga-Boxa.

Test Boxa-Ljunga (badanie autokorelacji dowolnego rzędu)

H₀ : brak autokorelacji

H₁: AR(p) lub MA(p)

Gdzie:

- chi-kwadrat o p stopniach swobody-

2. Model trendu (hipoteza modelowa, zapisanie oszacowanego modelu)

3. Model sezonowości (hipoteza modelowa, zapisanie oszacowanego modelu, uzyskanie oczyszczonych wskaźników sezonowości)

4. Model AR (hipoteza modelowa, zapisanie oszacowanego modelu)

5. Model zgodny (definicja modelu zgodnego, postulat zgodności, hipoteza modelowa, zapisanie modelu końcowego, zapisanie oszacowanego modelu)

Prognozowanie na podstawie dynamicznego modelu zgodnego

• Dynamiczny model zgodny może dotyczyć ekonometrycznego modelowania zależności przyczynowych pomiędzy ekonometrycznymi procesami stochastycznymi jak również modelowania jednowymiarowych i wielowymiarowych szeregów czasowych

Modelem zgodnym nazywamy taki model, w którym proces endogeniczny Y_t jest wyjaśniony prze procesy egzogeniczne wraz z ich całą strukturą dynamiczną, przy czym proces resztowy pozostaje białym szumem.

Przez wewnętrzną strukturę dynamiczną będziemy rozumieć zarówno składowe stacjonarne i niestacjonarne (np. trend, sezonowość, autoregresję), występujące z różnym nasileniem w każdym z analizowanych procesów.

Badanie wewnętrznej struktury procesów oraz konstrukcje modelu empirycznego

• Specyfikacja zmiennych objaśniających przebiega dla każdego równania na podstawie badania istotności zależności i własności reszt

• Dynamiczny liniowy model zgodny o zmiennych wartościach średniej dotyczy zarówno procesów stacjonarnych jak i niestacjonarnych, dlatego w modelu uwzględnia się wartość średnią m_t , która może zawierać trend (P_t), składnik sezonowy (S_t) lub jednocześnie oba te czynniki (P_t , S_t)

Liniowy model zgodny można zapisać w postaci:

Gdzie:

- wartość średnia procesu, która może przybierać postać:

- proces endogeniczny w czasie bieżącym (t) i w czasie opóźnionym (t-s)

- proces egzogeniczny w czasie bieżącym (t) i w czasie opóźnionym (t-s)

- składnik losowy, biały szum

	Trend „r”	Sezonowość	AR(q)
	1	+	1
	2	-	1
	1	+	2

Model:

długaśny wzór

6. Modele adaptacyjne (założenia, zalety oraz wady modeli adaptacyjnych)

Prognozowanie za pomocą metod adaptacyjnych

Mają zastosowanie kiedy przebieg zjawiska w czasie jest nieregularny lub nawet skokowy, dochodzi do załamania dotychczas obserwowanych trendów. Zjawiska o charakterze skokowym prowadzą do dezaktualizacji modelu ekonometrycznego co osłabia założenie predykcji.

Cechy metody adaptacyjnej

- w metodzie adaptacyjnej nie ustala się postaci analitycznej trendu, a jedynie wyznacza się ocenę trendu jako pewną średnią z wartości ocen dokonywanych w okresach wcześniejszych i pewnej liczby najnowszych realizacji zmiennej prognozowanej

- podobnie jak modele tendencji rozwojowej nie prowadzą do wyjaśnienia przyczyn zjawiska, tylko do ustalenia pewnej krzywej opisującej przebieg zjawiska w sposób najbardziej spokojny (giętki)

7. Błędów ex ante i ex post (wzory, interpretacja)

Mierniki rzędu dokładności prognoz:

• mierniki dokładności predykcji ex ante (przed zrealizowaniem wartości zmiennej prognozowanej) podają spodziewany rząd odchyleń wartości zmiennej prognozowanej od prognozy

• mierniki dokładności prognozy ex post (wyznaczane po zrealizowaniu wartości zmiennej prognozowanej) podają faktyczny rząd odchyleń realizacji zmiennej prognozowanej od prognozy

Błąd predykatora (ax ante) (6.6)

Błąd predykatora stanowi różnicę pomiędzy prognozą a zmienną prognozowaną w okresie T (lub wartość oczekiwaną tej zmiennej).

Jeżeli
, to mówimy o predykcji nieobciążonej

Jeżeli
, wówczas predykcja jest obciążona. Błąd predykatora stanowi średnią wielkość rzędu odchyleń realizacji zmiennej prognozowanej od prognozy.

Miernikiem dokładności ex ante jest wariancja predykcji, która zależy od:

• wariancji i kowariancji estymatora

• wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym

• wariancji składnika losowego

zapisując model
w postaci macierzowej:

,

otrzymuje się odpowiednie wzory operacyjne postaci:

wariancja predykcji

, (6.10)

średni błąd predykcji:

, (6.11)

(informuje o ile średnio w długim ciągu prognoz rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej będą różnić się od wartości wyliczonych prognoz).

względny błąd predykcji:

, (6.12)

(mówi ile procent prognozy stanowi średni błąd predykcji; służy do oceny czy predykcja jest dopuszczalna).

(Jeżeli
to prognoza jest dopuszczalna. Granicę błędu
wyznacza się arbitralnie, np. 5%, 10%. Jeżeli
, wówczas prognoza jest niedopuszczalna.

Mierniki błędu prognozy (ex post)

Błąd prognozy stanowi różnicę między realizacją zmiennej prognozowanej a prognozą, co zapisuje się w postaci zależności:

, (6.13)

średni błąd prognozy:

Wariancja błędu: (6.15)

gdzie:

h- horyzont prognozy

Średni błąd prognozy w całym okresie prognozowanym: (6.16)

Względny błąd prognozy: (6.12)

Jeżeli
to prognoza jest trafna. Natomiast jeżeli
, wówczas prognoza nie jest trafna. Granicę błędu
przyjmuje się zazwyczaj na poziomie 5% lub 10%.

Prognoza może nie być trafna, w przypadku gdy:

• model nie jest najlepszy (dopasowanie nie jest wystarczające),

• jedno z założeń predykcji nie zostało spełnione

8. Prognozy przedziałowej (wzór, interpretacja)

9. Założenia predykcji na podstawie modelu ekonometrycznego

Założenia predykcji dokonywanej na podstawie modelu ekonometrycznego

1. Dysponujemy modelem ekonometrycznym (oszacowanym, oszacowane parametry struktury stochastycznej, określone dopasowanie modelu).

egz! etapy budowy modelu ekonometrycznego

2. Struktura opisywania przez model zjawisk jest stabilna w czasie:

1. nie zmieniają się postaci (analityczne) modelu w okresie próby,

2. nie zmieniają się parametry strukturalne modelu.

3. Znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowania (X_T)

Planujemy, że zmienne osiągną dany poziom lub przyjmujemy ich wartości na poziomie prognozowanym

4. Rozkład składnika losowego jest stabilny w czasie:

1. gdy nie jest, a zmiany są regularne i niewielkie to dają się opisać,

2. gdy są nieregularne i duże to nie dają się opisać.

5. Dopuszczalność ekstrapolacji modelu poza obserwowany w próbie obszar zmienności zmiennych objaśniających.

---