1. DZIAŁANIA UOGOLNIONE

Rodziną indeksowaną nazywamy f-cję która liczbom naturalnym przyporządkowuje zbiory. Przykład.: N₀ - liczby naturalne z zerem właściwym; I=N₀, X∈R, X-przestrz./zbór, Φ-rodzina indeksowana; Φ_i=A_i=[i,i+1], i=0,1,...; A₀=[0,1], A₁=[1,2], ...; przykł: (brak)

Rodzina indeksowana zbioru: niech I≠∅ będzie rodziną indeksów. Funkcję Φ: I→ρ(x) ; i→Φ(i)=Φ_i  nazywamy rodziną indeksowaną zbioru.

Sumą uogólnioną podzbio. rodziny Φ nazyw: ∪(i∈Φ)≡{x∈X: ∃(i∈I) x∈Φ_i}

Iloczynem uogóln. podzbio. rodziny Φ nazyw.: ∩(i∈Φ)≡{x∈X: ∀(i∈I) x∈Φ_i} przykł: I=N₀, X∈R, Φ_i=A_i -[i,i+1), i=0, 1, ...; ∪(i∈I)A_i=[0,+∞)=R₊=Φ; ∩(i∈I)A_i=[0,+∞)=R₊=Φ; Własności sumy i iloczynu uog.: 1) Prawa de Morgana (∪(i∈I)Φ_i)'=∩( i∈I)Φ_i' ; (∩(i∈I))'=∪(i∈I)Φ_i' ; 2) Prawa de Morgana uogólnione dla różnicy zbiorów: A\∪(t∈T) A_t= ∩(t∈T) (A\A_t) ; A\∩(t∈T) A_t= ∪(t∈T) (A\A_t) 3) Własności: a) (x∈∪(t∈T) A_t)⇔ ∃(t∈T) (x∈A_t) ; b) (x∈∩(t∈T) A_t)⇔ ∀(t∈T) (x∈A_t) ; c) (x∉∪(t∈T) A_t)⇔ ∀(t∉T) (x∈A_t) ; d) (x∉∩(t∈T) A_t)⇔ ∃(t∉T) (x∈A_t) ; e) A∨ ∪(t∈T) A_t= ∪(t∈T) (A∨A_t) ; f) ∪(t∈T) (A_t∧B_t)⊂ ∪(t∈T) A_t ∧ ∪(t∈T) B_t ; g) ∩(t∈T) A_t ∨ ∩(t∈T) B_t ⊂ ∩(t∈T) (At∨Bt); 

2. RELACJA Równoważności

Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy zbiór {{a},{b}}, Iloczynem kartezjańskim nazywamy zbiór A₁× A₂×...×A_n= {(a₁, a₂, ...a_n):a_i∈A_i , i=1,2,...,n} Relacja: Niech X≠∅≠Y, wtedy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X×Y nazywamy relacją binarną (dwuelementową), między elementami zbioru X i zbioru Y. Dziedziną relacji R⊂X×Y nazywamy zbiór D_R={x:X, ∃(y∈Y) xRy}, przeciwdziedziną nazywamy zbiór D_R^-1={y:Y, ∃(x∈X) xRy};

Relację R⊂X×X nazywamy relacją równoważności w X jeżeli ma ona własności: 1. jest zwrotna ∀(x∈X) xRx inaczej- [(x,x)∈R], 2. Jest symetryczna ∀(x∈X) xRy⇒yRx inacz- [(x,y)∈R⇒(x,y)∈R], 3. Jest przechodnia ∀(x,y∈X) xRy∧yRz⇒xRz inacz- [(x,y)∈R∧(y,z)∈R ⇒(x,z)∈R], przykład: (brak)

Zasada abstrakcji: Tw. Jeżeli R jest relacją równoważn. w zb. X to odwzorowanie: ϕ:X→P(x), x→ϕ(x)=(notujemy)=[x]≝{y∈X:xRy} (czyt. elem. zbioru X przyporządkow. cały podzb.), ma własn: 1. ∀(x∈X) ϕ(x)≠∅, 2. ∀(y∈X) ∃(x∈X) y∈ϕ(x)=[x], 3. ∀(x∈X) [[x]=[y]⊻ ([x]∧[y]≠0)]; [x] - klasa abstrak. elem. x = klasa elem. x; „⊻” - czyt. albo kroją się te klasy,

3. Relacja częściowego i liniowego porządku

Df. Mowimy że relacja ≤ jest relacja częściowego porządkującą zbiór X, jeżeli relacja ≤ ma własn: 1. ∀(x∈X) x∈X (zwrotność), 2. ∀(x,y∈X) [x≤y ∧ y≤x ⇒ x=y] (antysymetria), 3. ∀(x,y,z∈X) [x≤y ∧ x≤z ⇒ x≤z] (przechodniość); Przykł: Relacja ≤ w R: X≠∅, P(x), gdzie P to zb. liczb rzeczy.: ∀(a,b∈P(x)) [A≤B ⇔ A⊂B], spełnia 1. A≤A (A⊂A),itd. dla `≤' i `⊂' pkty 2 i 3; R częściowo porządkuje zbiór A jeżeli D_R=A i R jest relacją częściowo porządkującą.

Df. Mówimy że relacja częściowego porządku ≤ w zbiorze X porządkuje x liniowo, jeżeli jest dodatkowo spójna i spełnia war spójności 4. ∀(x,y∈X) x≤y ∨ y≤x;

Element największy (najmniejszy) A⊂X, Df. Elem. x_o∈A nazyw. najw. (najmn.) w zbiorze A jeżeli: najw: ∀(x∈A) x≤x₀ , najmn: ∀(x∈A) x₀≤x;

Element maksymalny: x₀∈A jest elem. maksym. zbioru jeśli: ~∃(x∈X) (x₀≤x ∧ x₀≠x). Element minimalny: x₀∈A jest elem. minim. zbioru jeśli: ~∃(x∈X) (x₀≥x ∧ x₀≠x).

Kresy zbiorów: X≠0, (X, ≤), ∅≠A⊂X Df. Mowimy ze A jest ograniczone z góry jeżeli ∃(a∈X)∀(x∈A) x≤a; ograniczone z dołu jeżeli ∃(b∈X)∀(x∈A) b≤x; Zbiór oraniczonym nazyw. taki który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. || Jeżeli zb. A jest ograniczony gory i zbiór ograniczeń ma element najmniejszy, to ten elem. nazyw. kresem górnym zb. A (supA). || Jeżeli zb. A jest ograniczony dołu i zbiór ograniczeń ma element największy, to ten elem. nazyw. kresem dolnym zb. A (intA).

4. Funkcje

Def. Funkcji: Relację f spełniającą warunek ∀(x,y,z) ((x,y)∈f ∧ (x,z)∈f ⇒ y=z) nazywamy funkcją. F-cja jest przykładem relacji binarnej. Inaczej: Mówimy że relacja R⊂X×Y jest f-cją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X w Y, jeżeli ∀(x∈X) cięcie relacji R[x] jest zbiorem co najwyżej 1-dno e;emetowym. Piszemy: f: X→Y.

Zbiór X to dziedzina f-cji (D_f), każdy element x∈X to argument f-cji. Zbiór Y to przeciwdziedziną f-cji (D_f^-1). Elementy zbioru Y to wartości f-cji.

Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy injekcją jeżeli f-cja f jest różnowartościowa, tzn spełnia warunek: ∀(x1,x2) x₁≠x₂⇒ f(x₁)≠f(x₂) (odwzorowanie różnowartościowe) Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy surjekcją jeżeli f-cja f spełnia warunek: ∀(y∈Y)∃(x∈X) f(x)=y, tzn. jeżeli f(X)=Y (odwzorowanie X ma w Y); Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy bijekcją jeżeli f-cja jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

Obrazy i przeciwobrazy: f: X→Y, (X≠∅≠Y), A⊂X; Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy nastepujacy podzb. zbioru Y: f(A):={y∈Y: ∃(x∈A) y=f(x)}. Przeciwobrazem zbioru B⊂Y przy odwzorow. f nazyw. następuj. podzb. zbioru X: f^-1(B):={x∈X: f(x)∈B}; Własności obrazów i przeciwobr.: 1. f(∪(t∈T) A_t)= ∪(t∈T) f(A_t), A={A_t⊂X: t∈T}, 2. f(∩(t∈T) A_t) ⊂ ∪(t∈T) f(A_t), 3. f^-1(∪(t∈T) B_t)= ∪(t∈T) f(B_t), 4. a) f^-1(∩(t∈T) B_t) ⊂ ∪(t∈T) f^-1(b_t); b) f(A₁)\f(A₂) ⊂ f(A₁\A₂), f^-1(B₁\B₂) = f^-1(B₁)\f^-1(B₂), f(f^-1(B)=B o ile B⊂f(x), f^-1(f(A))⊃A;

Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) Niech f-cja równowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Jeżlei każdemu elem. y∈Y przyporządkowujemy jedyny elem. x∈X spełniający równość y=f(x), to tak określone odwzorow. zbioru Y na zbiór X nazyw. f-cją odwrotną do f i oznaczamy symb. f ^-1, tj. f ^-1:Y→X, gdzie ∀(x∈X, y∈Y) y=f(x)⇔ x= f ^-1(y); Z tego wynika że: f ^-1(f(x))=x i f ^-1(f(y))=y. Wyktesy takich f-cji są symetr. względem f=x.

5. Ciała liczbowe

Ciało jest tpo zespół (A,□,○) złożony ze zb. A, 1. działania □, które: a) jest przemien. i łączne, b) wyznacza w zbi. A elem. neutr. ō, c) każdemu elem. a ze zb. A przyporządkowuje elem. odwrotny ā ; 2. oraz działania ○, które: a) jest przemienne (abelowe) i łączne, b) jest rozdzielne wzgl. działa. □, c) wyznacza w zbiorze A elem. neutral. ŏ rózny od ō, d) każdemu elementowi a zbioru A różnemu od ō przyporządkowuje elem. odwrotny ă. Przykł.: jest ciało liczbowe R liczb rzecz. w którym a,b,c, Działanie □ to dodaw. i ○ mnożenie. Łączność: a(ab)=(ab)c, przemienno: ab=ba, rozdzieln: a(b+c)=ab+ac, elem. neutral, 0(+) i 1(×). W ciele rzeczyw. dane sa tez wlasnoci (a-b)+b=a, (a/b)b=a

Ciało liczb zespolonych Własności: 1. łącz. dodaw. (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= [(a,b)+(c,d)]+(e,f); 2. ele. neutr.+ ∀((a,b)∈Z) (a,b)+(0,0)= (0,0)+(a,b)=(a,b) 3. elem. przeciw.∀((a,b)∈Z) ∃(-(a,b)) (a,b) (a,b)+[- (a,b)]= -(a,b)+ (a,b)=(0,0) 4. przemien.+(abelow.) (a,b)+(c,d)= (c,d)+(a,b); 5. łącz.×. (a,b)[(c,d)(e,f)]= [(a,b)(c,d)](e,f); 6. ele. neutr. (a,b)(1,0)= (1,0)(a,b)=(a,b); 7. roz.× wzgl.+ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f); 8. el. odwr.∀((a,b)≠(0,0))∃((a,b)^-1) (a,b)(a,b)^-1= (a,b)^-1(a,b)=(1,0) 9. przemien.× (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)   (zob. więcej Liczb. zesp. 6)

6. LICZBY ZESPOLONE

Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną. (własności ciała zob. pkt. 5 Ciało liczbowe)

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący: (a,b)=(c,d)a=c∧b=d; (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc);

Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.

Modułem liczby z=a+jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby: |z|= √(a²+b²); Wł: 1. ||z₁|-|z₂||≤ |z1±z2|≤|z₁|+|z₂| 2. |z₁z₂|=|z₁||z₂| 3. |z_1|/z₂|=|z₁|/|z₂|

Tw. Licz. zesp. jest ⇔ =0, gdy jej moduł jest =0: (z=0)(|Z|=0).

Liczbą sprzeżoną z liczbą z=a+jb, którą będziemy oznaczać przez (ž), nazywamy liczbami sprzężonymi. sp(z)=sp(x+iy)≝x-iy; Wł: 1. z⋅sp(z)= x²+y²= |z|² 2. sp(z₁+z₂)=sp(z₁)+sp(z₂) 3. j.w.(⋅) 4. j.w.(:) 5. j.w.(-) 6. sp(sp(z))=z 7. |sp(z)|=|z| 8. x=((z+sp(z))/2) ∧ y=((z-sp(z))/2i)

Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez zⁿ, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.

Ineterpret. geometr. licz. zesp.: Liczbę zesp. z=x+iy interpretujemy jako wektor wodzący OP=[x,y] punktu P(x,.y) na płaszczyżnie zespol., gdzier na osi odcietych odkładamy część rzeczyw. a na osi rzędnych urojoną, dla li.zesp. z≠0 mamy z= √( x²+y²)⋅ ((x/√( x²+y²))+ i(y/√( x²+y²)))= r(cosΦ+ i sinΦ)), r=|z|

Def. Argumentem liczby z=x+jy ≠0, oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Φ, spełniającą dwa warunki: cosΦ=x/|z|, sinΦ=y/|z|, gdzie |z|=√(x²+y²)>0 jest modułem liczby z.

Def. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z_­ (n∈N) nazyw. każdą li. zesp., której n-ta potęga równa się z, Jeżeli z=r(cosΦ+ isinΦ)≠0 i n∈N to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z. Są nimi liczby: z_k= ⁿ√r (cos((Φ+2kπ)/n)+ isin((Φ+2kπ)/n)), k∈Z=0, 1,…, n-1, r=|z|.

W przypadku n=2 piszemy √z. Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym. Def. (Wzór Eulera). Potęgę e^x o podstawie w i wykładniku z= x+jy, należącym do ciała liczb zespolonych , określamy: e^jy :=cosy+jsiny,; F-jce elementarne l.zesp.: 1. e^x=e^xe^jy= e^x(cosy+jsiny), 2. sinz= (e^zi-e^-zi)/z 3. cosz= (e^zi+e^-zi)/z 4. lnz={ln|z|+ i(Φ+2kπ), k∈Z};

Wrór de Moivre'a (cosΦ+ isinΦ)ⁿ= cos nΦ+ isin nΦ, n∈N; zⁿ=n|z| (cos nΦ+ isin nΦ); Wzór ma zasosow. w trygonom.: (cosΦ+ isinΦ)ⁿ= cosⁿΦ+ (ⁿ₁)icos^n-1ΦsinΦ- (ⁿ₂)cos^n-2Φsin²Φ+ …+ iⁿsinⁿΦ; Oddzielając część rzecz. i uroj. otrzymujemy: cosnΦ= cosⁿΦ- (ⁿ₂)cos^n-2Φ⋅ sin²Φ+…, sinnΦ= (ⁿ₁)cos^n-1Φ⋅ sinΦ- (ⁿ₃)cos^n-3Φ⋅ sin³Φ+…;

7. Przestrzeń LINIOWA

Def: Przestrz. liniowa na R: Niech A będzie zb.. zaś „+” i „⋅” działaniami określonymi na tym zb. Układ złoż. ze zb. A i wymień. działań będziemy nazyawali przestrz. wektorową lub liniową, elem. tego zb. wektorami, jeż. będą spełn. warunki: 1. ukł. złoż. ze zb. A i działania „+” stanowi grupę abelową 2. dla dowolnych wekt. x i y przestrzeni A i dow. liczb rzeczyw. α i β zachodzą równości a) α(x+y)= αx+αy b) (α+β)x= αx+βx c) (αβ)x= α(βx) d) 1⋅x=x; Przykł: Rⁿ- zb. wszystk. ciągów (x¹, ...,xⁿ), gdzie x¹, ...,xⁿ są licz. rzeczyw. dodaw. 2 takich ciągów: (x¹, ...,xⁿ)+ (y¹, ...,yⁿ)= (x¹+y¹, ...,xⁿ+yⁿ), mnoż: α(x¹, ...,xⁿ)= (αx¹, ...,αxⁿ), Układ taki (Rⁿ,+,⋅) stanowi przestrz. liniową.

8. Przestrzeń metryczna I

Metryka- Określenie metryki: X≠∅, d: X²→R₊ , (x,y)→d(x,y); F-cję d: X²→R₊ nazywamy metryką, gdy ma własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ x=y (jednozn) 2. d(x,y)=d(y,x) (symetr.) 3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (nier. trójkąta)

Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną przy czym (brak)

Przykład: X=R, d(x,y)=|x-y|, x,y∈R, (R,||) przestrzeń liczb rzeczywistych z metryką naturalną, spr. własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ |x-y|=0 ⇔ x-y=0 ⇔x=y,

2. d(x,y)=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=d(y,x),

3. D(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|x-y|=d(x,z)+d(z,y);

Kule w p.m. x₀∈X, r>0; Kulą otwartą o środku x₀ i promieniu r nazywamy zbiór: Kº(x₀,r)≝{x∈X: d(x₀,x)<r}; Kulą domkniętą o środku x₀ i prom. R nazywamy zbiór: Kˉ(x₀,r)≝{ x∈X: d(x₀,x) ≤r}; Zbiór otwarty df: mówimy że A⊂X jest zbio. otwa. w p.m. (X,d) jeżeli ma własn: ∀(x∈A)∃(Kº(x,ε)) Kº(x,ε)⊂A; Każdy pkt. o własności zbiou otw. Nazywamy punktem wewnętrz. zbioru A; Zbiór wszystkich punktów wewn. zbioru A nazywa się wnętrzem zbioru A i oznacza symb. „Aº” lub „intA”; Zbiór jest domknięty ⇔ gdy zbiór A⊂Aº (tzn. gdy jest = swojemu wnętrzu), Zbiór jest dmknięty w p.m. (x,d) ⇔ ma własn: ∀((x_n)⊂A) x_n→x ⇒ x∈A; Brzeg: (X,d), A⊂X, ∂A≝Aˉ\Aº = Aˉ∧ A'ˉ, pkt P nazywamy brzegowym zbioru A, gdy P nie jest ani wewnętrzny ani zewn. wzgl. zbio. A, tzn jeśli w każdym otoczeniu pktu P ∃ conajm. jedn. pkt ∉ A i jedn. ∈ A. Brzegiem nazywamy zb. pktów brzegowych; Domknięcie1: Jeżeli zb. A jest podzb p.m. to domknięciem zb. A nazyw. zbiór Aˉ={x∈W:∃((x_n)⊂A) lim x_n=x}; Domknięciem2 nazywamy sumę: zbioru A i pochodnej zb. A i oznaczamy „clA” lub „Ā”; (więcej zobacz Granice)

Ciągi zbieżne w p.m.: (X,d) x_n∈X Df. Ciągiem (x_n) elementów p.m. (X,d) nazywamy zbieżnym do granicy x∈X jeżeli ma on własn.: ∀(ε>0)∃(n₀∈N)∀(n>n₀) d(x_n,x)<ε ;lim(x→0) n_n=x, x_n-(n→∞)→x, d(x_n,x) -(n→∞)→0; Własności ciągów zbieżn. w p.m. (X,d): 1. ciąg stały jest zbieżny {x_n=x, n=1,2,...; lim(n→∞) x_n=x} 2. ciąg ma conajwyżej 1 granicę, 3. Jeżeli Xn→X to dla dowolnego podciągu Xn_k ciągu Xn: lim(k→∞) Xn_k=X

9. Przestrzen metryczna II

Warunek zbieżności ciągu (Cauchy'ego) : Mówimy że ciąg (x_n) w przestrz. metryczn. (X,d) spełnia warunek Cauchy'ego jeżeli ma własn: ∀(ε>0)∃(n₀∈N)∀(n>n₀)∧∀(m∈N) d(x_n,x_n+m)<ε, d(x_n,x_n+m)­-(n→∞)→0; Tw. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego: ∀(ε>0)∃(n₀∈N)∀(n>n₀) d(x_n,x)<ε (x_n→x); d(x_n,x_n+m)≤d(x_n,x)+d(x_n+m,x)< ε/2+ε/2 dla n>n₀ ; Przestrzeń metr. zupełna, to przestrzeń metr. (X,d) o własn.: ∀(x ⊃ (xn)∈(c)) ∃ lim(n→∞) x_n = x∈X, {{gdzie (x_n)∈(c) oznacza: x_n spełnia war. Cauchy'ego}} Przykł: 1. zb. licz. rzecz. ze zwykłą metryką d(a,b)= |a-b| jest przestrz. zupełną, 2. (R,||) 3. (r²,d_ε) d_ε(P,Q)= √((x_P-x_Q)²+ (y_P-y_Q)²), P(x_P,y_P), Q(x_Q,y_Q) 3. (Rⁿ,d), x=(x₁, ..., x_n). y=(y_1, ..., y_n), d(x,y)= √(_(i=1)Σ⁽ⁿ⁾(x_i-y_i)²)

Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli f: (X,d)→(X,d) jest odwzorowaniem zwężającym p.m. zupełnej w siebie ze stałą kontrakcji (punktem stałym) 0≤α<1, to 1. ∃(sp(x)∈X) sp(x)=f(sp(x)) 2. dla dowolon. x₀∈X ciąg kolejnych przybliżeń (x_n) startujacy z pktu x₀ jest zbież. do sp(x), 3. zachodzi oszacowanie d(sp(x),x_n)≤(αⁿ/(1-α)) d(x₀,f(x₀)) Dowód: Wykazać że (x_n) spełnia war. Cauchy'ego: d(x₁,x₂)= d(f(x₀),f(x₁))≤ L d(x₀,x₁) ,, d(x₂,x₃)= d(f(x₁),f(x₂))≤ L d(x₁,x₂) ,, ..(z zasady trójk.).. ,, d(x_n,x_n+1)≤ Lⁿ d(x₀,x₁) ;; d(x_n,x_n+p)≤ d(x_n,x_n+1)+ d(x_n+1,x_n+p)≤ d(x_n,x_n+1)+ d(x_n+1,x_n+2)+ …+ d(x_n+p-1,x_n+p)≤ Lⁿ d(x₀,x₁)+ Lⁿ⁺¹ d(x₀,x₁)+ …+ L^n+p-1 d(x₀,x₁)= (Lⁿ+ Lⁿ⁺¹+ …+ L^n+p-1) d d(x₀,x₁)= Lⁿ ((1-L^p)/ (1-L)) d(x_n,x₁)≤ Lⁿ (1/ (1-L)) d(x₀,x₁);; Lⁿ→0 ponieważ L<1 →0. Stąd wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy'ego. Ponieważ (X,d) to przestrz. metr. zupełna to ∃ lim(n→∞) X_n= sp(x)∈X.

10. Prestrzeń metryczna III

Zbieżność „po współrzędnych” w Rⁿ:

Zbieżność jednostajna ciągu f-cyjnego w p.m. C[a,b]: f: [a,b]→R ; f_n→f ;; sup([a,b]) |f­_n(x)- f(x)|→0 ;; ∀(ε>0)∃(n₀∈N)∀(n>n₀)∀(x∈[a,b]) |f_n(x)- f(x)|<ε ;. Zbieżność niemal jednostajna: Mowimy że ciąg f-cji (f_n) taki że f: (a,b)→R jest niemal jednost. zbież. do f-cji granicznej f, jeżeli jest on jednostaj. zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym [α,β]⊂(a,b) .; Przestrzeń metrzeń metrzyczna C[0,1]:

11. przestrzeń metr. iV, granice, ciągłość f-cji

Definicja granicy lim(x→x₀) f(x) f-cji f: (X,d)→(Y, ρ)

Def (Heinego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x₀ granicę g co zapisujemy lim(x→x₀)f(x)=g) ⇔ gdy dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach ze zbioru D_f\{x₀} i zbieżnego do punktu x₀ ciąg (f (x_n)) jest zbieżny do punktu g.; lim(x→x₀) f(x)=g⇔∀((x_n)∈D_f\{x₀}) x_n→x₀, f(x_n)→g .;

Def (Cauchy'ego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x₀ granicę g ⇔ gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df 0<|x-x₀|< r⇒|f(x)-g|< ε; lim(x→x₀) f(x)=g⇔∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x∈X) d(x,x₀)< δ⇒ d(f(x),g) <ε; Własności: działania arytmet. na granicach f-cji: Jeżeli lim(x→x₀) f(x)=g, lim(x→x₀)=p, i x₀ jest pktem skupienia zbio. D_f ∧ D_h , to: 1,2,3. lim(x→x₀) [f(x)±×h(x)]= g±×p; 4. lim(x→x₀) [f(x)/h(x)]=g/p, p≠0; 5. Jeż. lim(x→x₀) f(x)=g oraz lim(y→g) h(y)=p, to lim(x→x₀) h[f(x)]=p;.

Ciągłość funkcji: Niech f oznacza f-cję liczbową i niech x₀∈D_f­ :

Def (Heinego ciągłości funkcji): Mówimy, że f-cja jest ciągła w punkcie x₀ ⇔ gdy dla każdego ciągu (x_n) o wyrazach ze zbioru D_f i zbieżnego do punktu x₀ ciąg (f(x_n)) jest zbieżny do punktu f(x₀).

Def (Cauchy'ego): Mówimy, że f-cja f jest ciągła w punkcie x₀ ⇔ gdy ∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x∈X) d(x,x₀)<δ ⇒ ρ(f(x₀)-f(x))<ε.

TW. F-cja f jest ciągła w punkcie x₀ będącym punktem skupienia dziedziny Df ⇔ gdy lim(x→x₀) f(x)=f(x₀).

Def: Mówimy, że f-cja f jest ciągła ⇔ gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność: F-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest jednost. ciągła na X gdy: ∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x₁,x₂∈X) d(x₁,x₂)≤δ ⇒ρ(f(x₁),f(x₂))<ε;

Def. (Warunek Lipschitza): Mówimy że f: (X,d)→(Y,ρ) spełnia war. Lipsch. ze stałą Lipsch. L, jeżeli: ∃(0≤L)∀(x₁,x₂∈X) ρ(f(x₁),f(x₂))≤ L⋅d(x₁,x₂). F-cja, która spoełnia war. Lipsch. jest jednostajnie ciągła: ⁽¹⁾ ρ(f(x₁),f(x₂))≤ L⋅d(x₁,x₂)< L⋅δ ;; d(x₁,x₂)<δ - jednostajność ;; ⁽²⁾ ρ(f(x₁),f(x₂))<ε - jednostajność:: z ⁽¹⁾ i ⁽²⁾ wynika, że L⋅δ=ε ⇒ δ=ε/L

12. WŁASNOŚCI F-cJI CIĄGŁYCH na zb. zwartym

Zbiory zwarte:­­ Podzbiór A p.m. (X,d) nazyw. zb. zwartym, jeżeli ma własność: dowol. ciąg (x_n)⊂A zawiera podciąg zbież. do elem. zbioru A, tzn: ∀(Xn⊂A)∃(Xn_k) Xn_k-(k→∞)→ x∈A; Podzb. zwarty p.m. (X,d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Ciągły obraz p.m. zwartej jest zbio. zwartym. Def. Przestrz. metr. (X,d) nazyw. zwartą gdy: ∀(Xn⊂X)∃(Xn_k) Xn_k-(k→∞)→ x∈X Tw. podzbiór zwarty w p.m. (X,d) jest zb. domkn. i ogranicz.

TW. (Cantora o jedn. ciągł.) Jeż. f-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest ciągłym odwzorow. p.m. zwartej (X,d) w p. m. (Y,ρ), to f jest jednost. ciągła na X. Dowód: ~∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x₁,x₂∈X) [d(x₁,x₂)<δ ⇒ρ(f(x₁),f(x₂))<ε];;

E(ε>0)∀(δ>0)∃(x₁,x₂∈X) [d(x₁,x₂)<δ ⇒ρ(f(x₁),f(x₂))≥ε];;

δ₁=1, x₁,y₁ d(x₁,y₁)<1 ∧ ρ(f(x₁),f(y₁))≥ε;;

δ₂=1/2, x₂,y₂ d(x₂,y₂)<1/2 ∧ ρ(f(x₂),f(y₂))≥ε;; ...

δ_n=1/n, x_n,y_n d(x_n,y_n)<1/n ∧ ρ(f(x_n),f(y_n))≥ε;; (x_n),(y_n)⊂X;;

(Xn_k),Xn_k -(n→∞)→ sp(x) - zbieżny;; d(x_nk,y_nk)<1/n_k ∧ ρ(f(x_nk),f(y_nk))≥ε;;

(Xn_k),Xn_k -(m→∞)→ sp(y);; d(x_nkm,y_nkm)<1/n_km ∧ ρ(f(x_nkm),f(y_nkm))≥ε;;

x_n→sp(x), y_n→sp(y) ⇒ d(x_n,y_n)→ d(sp(x),sp(y));;

d(x_nkm↘₀,y_nkm)→ d(sp(x)↘₀,sp(y)), stąd sp(x)=sp(y);;

f(xn_km)→f(sp(x)), f(yn_km)→f(sp(y)) ⇒ d(f(xn_km),f(yn_km))→ d(f(sp(x)),f(sp(y)));;

d(f(xn_km)↘₀,f(yn_km))→ d(f(sp(x))↘₀,f(sp(y))) stąd : f(sp(x))=f(sp(y));;

a więc f(xn_km)-f(yn_km)= 0 ~(≥ε);;.

TW.(Weierstrassa): F-cja rzeczyw. f: (X,d)→(R,||) okraślona i ciągła na przestrz. metr. zwartej (X,d) (np. f-cja f określona i ciągła na przedz.<a,b>) jest f-cją ograniczona (na tym określonym przedziale) i osiąga swoje kresy {tzn. isnieją takie liczby c₁ i c₂ że f(c₁)= inf(a≤x≤b) f(x)), f(c₂)= sup(a≤x≤b) f(x)}. Dowód: ograniczoność jest oczywista, gdyż funkcja jest określona na ograniczonym przedziale domkn., mając zaś na myśli że f-cja jest ciągła na przedziale domkniętym i osiąga na tym przedziale kres dolny i górny zbioru swoich wartości. Jeż. fcja ciągła jest określ. na przedz. otwartym, to nie może być ograniczona, więc kresy zbioru jej wartości nie mogą w ogóle isnieć np. tgx x∈(-π/2,π/2). Jeż f-cja ciągła na przedz. otw. jest ogranicz. na przedz. otwar. to i tak nie może osiągać na nim kresu swoich wartości np. f(x)=x, x∈(a,b) tylko inf(a,b) x=a, sup(a,b) x=b.

13. ciągi rzeczywiste I

Granica właściwa ciagu i własn.: war. Cauchy'ego zbieżności ciągu: Liczba x jest granicą ciągu (x_n) ⇔ gdy: lim(n→∞) x_n=x ⇔ ∀(ε>0)∃(n₀) ∀(m>n₀)∀(k>n₀) (|x_m-x_k|<ε); Własn. c. zbież. do gran wł. w R - 1. działania na gran. ciągów: Dane są ciągi x_n i y_n: a,b,c. lim(n→∞) (x_n±×y_n)= lim_(n→∞)x_n±× lim_(n→∞)x_n d. lim_(n→∞) (x_n/y_n)= (lim_(n→∞)x_n)/ (lim_(n→∞)y_n), y_n≠0, lim_(n→∞)y_n≠0; e. jeż. ∃(n₀)∀(n₀≤n) x_n<y_n to lim_(n→∞)x_n≤ lim_(n→∞)y_n 2. ciągi stałe są zbież. (x_n=x, n=1,2... to lim(n→∞)x_n=x) 3. ciąg ma conawyż. jedn. granicę 4. dowol. podc. ciągu zbież. jest zbież. i to do tej samej granicy 5. Tw. dla a>0 ⁿ√a→n, ⁿ√n→1 6. w przestrz. zupełn (R,||) każdy ciąg który spł. war Cauch. jest zbież. do elem. z R 7. Tw. o 3 ciągach: Jeż. ciągi (x_n) i (y_n) są zbież. w R i lim_(n→∞)x_n= lim_(n→∞)y_n oraz ciąg (z_n) ma własn.: ∃(n₀∈N)∀(n>n₀) x_n≤z_n≤y_n , to ciąg (z_n) jest zbież. oraz lim_(n→∞)x_n= lim_(n→∞)y_n= lim_(n→∞)z_n Przykład: liczba Eulera e=(1+1/n)ⁿ

TW. (o ciągu ograniczonym) 8. c. monotonicz. i ogranicz. jest zbieżn. 9. ciąg zbieżny jest ogranicz. 10. c. ogranicz. zawiera podciąg zbieżny (tw. Balzano -Weierstr. ) 11. każdy c. niemalej./ nierosn. ogranicz. z góry/ dołu ma granicę właściw. w R 12. c. jest ogran. w R jeżeli spełnia war. Cauchy'ego.

TW. (o ciągu monotonicznym) Ciąg x_n nazyw.: 1. rosną. jeż. ∀(n∈N) (x_n<x_n+1) 2. malej. jeż. ∀(n∈N) (x_n>x_n+1) 3. niemalej. ∀(n∈N) (x_n≤x_n+1) 4. nierosn. ∀(n∈N) (x_n>=x_n+1)

14. ciągi rzeczywiste II

Zupełność przetrz. metryczn. R: Przestrzeń (R,||), przestrz. liczb rzeczyw. z metryką natur. jest przestrz. metr. zupełną; Przestrzenią zupełna nazyw. p.m. (X,d) o własn: ∀(x⊃x_n∈(c))∃lim(n→∞)x_n=x∈X czyli taką w której każdy ciąg Cauchy'ego jest zbież. do jakiegoś elem. tej przestrz.

Granice niewłaściwe: Ciąg x≡n≡ nazyw. rozbieżnym do „±∞” lub zbież. do granicy niewł. „±∞” jeżeli: lim_(n→∞)x_n=+(-)∞ ⇔ ∀(M)∃(n₀)∀(n>n₀) x_n>(<)M

15. Pochodna f-cji 1 zmiennej I

Def: Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy Δx→0 nazywamy pochodną f-cji w punkcie i oznaczamy symbolem f`(x<sub>0</sub>), f`(x₀)=lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)]/Δx.

Def: Iloraz różnicowy f-cji f w punkcie x₀ i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx.

TW. (o reprezentacji przyrostu): Jeżlei f: Ux₀→X ma pochodna f'(x₀) w p. x₀ to słuszny jest wzór: Δf(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)= f'(x₀)dx+ω(Δx) gdzie ω jest f_cją taką że ω(0)=0, lim(Δx→0) ω(Δx)/Δx=0 Dowód: Δf(x₀)=f'(x₀)Δx+ (Δf(x₀)- f'(x₀)Δx)↘_(ω(Δx));; lim(Δx→0) ((Δf(x₀)- f'(x₀)Δx)/Δx)= lim(Δx→0) [(Δf/Δx)⋅( x₀)- f'(x₀)]=0.;

Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m.: Tw. jeż. f-cja f: Ux₀→R ma poczhodą w p. x₀, to f-cja f jest ciągła w p. x₀, Dowód: lim(Δx→0) f(x₀+Δx)= f(x₀).

16. Pochodna f-cji 1 zmiennej II

TW.(O pochodnej funkcji złożonej): Jeż. R⊃Ux₀-f→f(Ux₀)-g→R, jeż. f-cja f ma pochodną w p. x₀, a f-cja g ma pochodną w punkcie y₀= f(x₀) to istnieje poch. f­cji g⋅f w x₀: g'[f(x₀)]* f'(x₀)= (g⋅f)'(x₀).

Def: Pochodną n-tego rzędu f-cji f w punkcie x okreœlamy następująco: f ⁽ⁿ⁾ (x)= [f ^(n-1)](x), n=1,2,...przy czym [f ⁽⁰⁾]'(x)=f`(x).

Def: Zakładamy że ist. pochodna f^(n-1)(x) f-cji f: R⊃Ux₀→R dla x∈Ux₀. Oznaczamy Φ(x)=f^n-1(x). Jeż. istnieje Φ'(x₀), to tę f-cję (pierwsz. poch. f-cji Φ) nazywamy n-ta poch. f-cji f w p. x₀ lub poch. n-tego rzędu w p. x₀, fⁿ(x₀), n=0,1,...;

TW.(O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeż. f-cja f: R⊃D_f-na→D_f^-1⊂R, jeż. f-cja f jest ciągła i monoton. i ma poch. w D_f: f'(x)≠0, x∈D_f to f-cja odwrotna f^-1 ma poch. w D_f^-1 y f^-1'(x₀)=1/f'(f^-1(x₀));

TW.(o pochodneej sumy, ilocz. ilorazu) f-cji: Dane sa f-cje f,g: Ux_o→R takie że isnieje f'(x₀) i g'(x₀), wtedy: 1. (f(x₀)±g(x₀))'= f'(x₀)± g'(x₀) 2. [f(x₀)g(x₀)]'= f'(x₀)g(x₀)+ f(x₀)g'(x₀) 3. [f(x₀)/g(x₀)]'= {[f'(x₀)g(x₀)- f(x₀)g'(x₀)]/ g²(x₀)}

17. Twierdzenia o wartości średniej

TW.(Rolle'a): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale <a;b> i różniczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c∈(a;b), że f `(c)=0. Dowód: A) f(x)=const f'(x)=0 B) f(x)≠const. x∈<a,b> istnieje supf(x)>f(a)∨ inff(x<f(a), z tw. Weiestr. f(c)=inff(x)), c≠a, c≠b:: [f(c+ Δx)-f(c)]/Δx ={≥0 dla Δx>0, ≤0 dla Δx<0}, Ponieważ c+Δx∈<a,b>, z założ. wiemy że istnieje poch. f'(c) więc 0≤f<sub>-</sub>`(c)= f'(c)= f₊'(c)≤0 czyli f'(c)=0;.

TW.(Lagrange'a): Jeżeli f-cja f:[x₀,x]→R jest ciągła na przedziale domkn. <x₀,x> ist f'(x) dla x∈(x₀,x), to istnieje taki punkt c∈(x₀,x), że f(x)-f(x₀)= f'(c)(x-x₀). Wnioski: 1) Jeż. f-cja f: R⊃D_f→R ma w D­_f poch. ograniczoną to f-cja jest lipschitzowalna. 2) jeż. f-cja f: R⊃(a,b)→R istnieje f'(x)=0, x∈(a,b) to f=cont. inacz: jeżeli dla każdego x∈<a;b> f'(x)=0 to dla każdego x∈<a;b> f(x)- f(x₀)=0(x-x₀) ⇒ f(x)=f(x₀). Jeżeli f'(x₀)=0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale stała. 3) jeżeli dla każdego x∈ (a;b) f`(x)>0 to: a) x<x<sub>0,</sub> f(x)-f(x<sub>0</sub>)=f`(x)(x-x₀)<0; f(x)-f(x₀)<0⇒f(x)<f(x₀) b) x₀<x, f(x)-f(x₀)=f(x₀)(x-x₀)>0⇒ f(x)>f(x₀). Jeżeli f`(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale rosnąca 4) Jeżeli f `(x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale malejąca.

TW.(Taylora): Jeżeli f-cja f: Ux₀→R ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 f-cji w Ux₀ oraz ma pochodną rzędu n w Ux₀, to ∀(x∈Ux₀) oraz x≠x₀ istnieje liczba ς∈(0,1) taka że f(x)= _K=0Σ^n-1 [(f^K(x₀)/k!)* (x-x₀)^K]+ [(f⁽ⁿ⁾(c))/n!)* (x-x₀)ⁿ] ↘_{reszta Lagrangea}, c=x₀+ς(x-x₀) Dowód: (dla przypadku 2≤n) -dla n=1 twierdzenie zredukuje się bowiem do tw. Lagrange'a o wart. średniej.;; Obieram dowol. x∈Ux₀, obierając dowolną licz. λ∈R definiujemy f-cję φ=φ_x,λ: Ux₀→R, t→φ(t);; φ(t)≝f(x)- _K=0Σ^n-1 [(f ^K(t)/k!)* (x-t)^K]- λ((x-t)ⁿ)/n! ,t∈Ux₀, Rozpatrzmy zawężenie (restrykcję) f-cji φ do przedź. ([x₀,x] lub [x,x₀]); φ(x)=0; Dobieram λ aby φ_λ(x₀)=0, Z tw. Rolla: poniważ spełnione są założ. tw. Rolla, istnieje c należące do przedz. o końc. (x) i (x₀) takie że φ'(c)=0;;

φ'(t)= (-1)_K=0Σ^n-1 [(f^K+1(t)/k!)* (x-t)^K]+ _K=0Σ^n-1 [(f^K(t)/ (k-1)!)* (x-t)^K-1]+ [λ(x-t)^n-1/(n-1)!]= (-1)_K=0Σ^n-1 [(f^K+1(t)/ k!)* (x-t)^K]+ _K=0Σ^n-2 [(f^K+1(t)/ k!)* (x-t)^K]+ [λ(x-t)^n-1/ (n-1)!]= (-1)⋅ [(fⁿ(t)/ (n-1)!)* (x-t)^n-1]+ [λ(x-t)^n-1/ (n-1)!]= (-1)⋅ [(fⁿ(c)/ (n-1)!)* (x-c)^n-1]+ [λ(x-c)^n-1/ (n-1)!]=0;; (x-c)^n-1/ (n-1)!⋅ [λ- fⁿ(φ)]=0;; λ=fⁿ(φ), c=x₀+ ς(x-x₀), ς∈(0,1);;.

Wz. Maclaurina: We wzorze Taylora kładąc x₀=0 otrzymamy _K=0Σ^n-1[(f ^(K) (0)) /k!]*x^K +R _n , gdzie R_n=[f ⁽ⁿ⁾ C/n!]* x ⁿ. Punkt c jest położony między 0 i x.

18. Całka Riemanna I

Suma całkowa Riemanna f-cji f na przedziale <a;b>: R_n= _k=1Σⁿ f(c_k)*Δx_k, δ_n=max(1≤k≤n)Δx_k - średnica przedziału, Δx_k=x_k-x_k-1, k=1, 2, ..,n - długość prezdz. częściowego;

Def: Jeżeli dla każdego ciagu normalnego podziału przedziału [a,b] na przedzialiki częściowe, ciąg sum częściowych (R_n) jest zbież. do granicy właści. niezależnie od wyboru punktów pośrednich c_i , to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) z f-cji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem _a∫^bf(x)dx. O f-cji mówimy że jest ona R całkowalna na przedziale domkniętym <a,b>;

Warunek koniczny R-całkow. f-cji: jeż. f-cja f: [a,b]→R jest r-całkow. to jest ona f-cją ograniczoną na [a,b],

Warunek koniczny i wystarczaj. R-całkow. f-cji: Całka ozn. Riemanna z f-cji f na [a,b] isnieje ⇔ gdy istnieją całki Darboux i są sobie równe (S_n→S;; s_n→s) i s=S

19. Całka Riemanna II

Liniowość całki Riemanna: TW. Jeżeli f-cje f,g: [a,b]→R sa R-całkowal. na przedz. [a,b] to 1) (dodaw.) f-cja f+g: [a,b]→R: x→(f+g)(x)=f(x)+g(x), jest również całkowalna na tym przedz. [a,b] i ma miejsce równość: _a∫^b[f(x)+g(x)]dx= _a∫^bf(x)dx+ _a∫^bg(x)dx (addytywność całki wzgl. f-cji podcałk.) 2) (wyłącz. czynn. stałego) f-cja αf: [a,b]→R ,α∈R(jednorodność całki) : x→(αf)(x)=αf(x);;

R(a,b) - zbiór wszystk. f-cji R całkow. na [a,b], (a,b)- przestrz. wektorowa z działań. dodaw. mnoż. f-cji przez skalar po wspólczynnikach.;; Operator całkowy T: R(a,b)→R, f→T(f)= _a∫^bf(x)dx, jest funkcjonałem liniowym T(f+g)=T(f)+T(g); T(αf)=αT(f), całkoa liniowa jest funkcjon. liniowym;;

TW (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): Jeżeli: 1) f-cja g(t) jest ciągła na przedziale <a,b> i przekształca go na przedz. <α,β> 2) f-cja t= h(x) jest klasy C¹ <a;b> 3) zbiorem wartości f-cji t= h(x) jest przedział <α,β>, i przy tym α=h(a) i β=h(b) to prawdziwy jest wzór dla całki oznaczonej _a∫^bg[h(x)]h'(x)dx= _α∫^βg(t)dt. ;; Zeszyt: Jeż. 1. φ:<α,β> -na→<a,b> ma choch w <α,β> 2. f:<a,b>→R ma f. pierwotną na <a,b> to ∫(f⋅φ)f'(t)dt= (F⋅Φ)(t)+c, t∈<a,b>;

TW (O całkowaniu przez części): Jeżeli f-cje u i v są klasy C¹ na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór ∫u(x)*v'(x)dx = u(x)*v(x) -∫u'(x)*v(x)dx , który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.

TW (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli f-cje U i V są klasy C¹_<a;b> to _a∫^b U(x)*V'(x)dx= U(x)*V(x)_a^b - _a∫^bU'(x)*V(x)dx.

Tw. (o jednostajnej ciągłości F-cja ciągła określ. na przedz. domkn., a więc zwartym jest R-całkowalna na tym przedziale.

Własności całki oznaczonej: 1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) F-cja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również f-cja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz _a∫^b[f(x)+g(x)]dx= _a∫^bf(x)dx+ _a∫^bg(x)dx. 4) Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const również f-cja A*f jest całkowalna na tym przedziale i _a∫^bAf(x)dx= A_a∫^b f(x)dx. 5) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest f-cją całkowalną na tym przedziale, iloczyn zawiera punkty nieciągłości funkcji f i g 6) Zmiana wartości f-cji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej f-cji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli f-cja ta jest całkowalna. 7) Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym f-cja f jest całkowalna, to _a∫^c f(x)dx +_c∫^b f(x)dx= _a∫^bf(x)dx 8) Niech f i g będą f-cjami całkowalnymi na przedziale <a;b>, wówczas f(x)≤g(x); dla x∈<a,b>⇒_a∫^bf(x)dx≤_a∫^bg(x)dx 9) Niech f będzie f-cją na przedziale <a;b>, wówczas: m≤f(x)≤M dla x∈<a,b>⇒ m⋅(b-a)≤ a∫^bf(x)dx≤M⋅(b-a). 10) (Newtona - Leibniza): Jeżeli ∅ jest dowolną f-cją pierwotną f-cji f ciągłej na przedziale <a;b>, to _a∫^bf(x)dx=∅ (b) -∅ (a). 11) Jeż. f-cja f:<a,b> jest R-całkow. i jest f-cja ograniczoną na <a,b> poza zbiorm A miary (Lebesque) zero, oraz f(x)=0 dla x∉A, to _a∫^bf(x)dx=0,;

20. Całka Riemanna III

Interpretacja geometryzna całki oznaczonej: Def: niech f będzie f-cją ciągłą i przyjmującą na przedz. <a,b>jedynie nieujemne wart.: 0≤f(x). Wiemy, że istn. wówczas całka _a∫^bf(x)dx, równa wspólnej granicy sum dolnych i górnych, która to granica nie zależy od ciagu normalnego podziałów przedz. <a,b>. Tę wspólną granicę lims_n= limS_n= _a∫^bf(x)dx nazywamy w tym przy. polem figury płaskiej określonej w protokatnym ukł. kartezjańskim OXY układem nierówności a≤x≤b, 0≤y≤f(x), Takie oznaczenie pola figury jest zgone z określeniem pola figury płaskiej.

TW Jeżeli ciągłe na przedziale <a;b> f-cje f₁ i f₂ spełniają na tym przedziale nierówność f₁(x)≤ f₂(x) to pole D figury D ograniczonej wykresami tych f-cji i prostymi x= a i x= b wyraża się wzorem D= _a∫^b [f₂(x)-f₁(x)]dx.

TW Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t∈<α,β.> gdzie obie są ciągłe oraz ciągła dodatnia pochodna dx/dt na przedziale <α,β>, to pole D fig. pładkiej D ograniczonej tą linią, osią ox oraz prostymi x=a, x=b gdzie x(α)=a, x(β)=b, dane jest całką |D|= _α∫^β|y(t)|*x'(t)dt., gdy postać wyraźna: to jej pole P=_a∫^b|f(x)|dx, gdy postać bigunowa: Jeż. dan jest we współrz. bigunowych: r=f(φ), φ∈<α,β>, 0<β-α<2π, przy czym f(φ) jest ciągła, nieujem. na przedz. <α,β> to pole: P=1/2_a∫^br²dφ;

TW. Łuk AB określony równaniem wyraźnym y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C¹<a;b> ma długość l wyrażającą się wzorem l= _a∫^b√(1+f ' ²(x)) dx.

TW Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t∈<α,β> jest łukiem zwykłym oraz f-cje x(t), y(t) są klasy C¹<α,β> to jej długość l wyraża się całką l= _α∫^β √([x'(t)]²+[y`(t)]²)dt ; długość wyraźną postacią: L= _a∫^b√(1+[f(x)]²)dx, gdy w post, biegunowej: (r-nia jak przy polu) L= _a∫^b√(f²(φ)+[f'(φ)]²)dφ;

TW Objętość V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale <a;b> f-cji f, wyraża się całką V =∏ _a∫^b f ² (x)dx.

TW Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x=x(t), y=y(t), t∈<α,β> oraz f-cje x=x(t) i y=y(t) są klasy C¹<α,β>, f-cja x(t) jest ściśle monotoniczna i y(t) nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem V= ∏_α∫^βy²(t)*x'(t)dt.

TW Pole S powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C¹<a;b> wyraża się całką S=2∏ _a∫^bf(x)√(1+f '²(x)) dx.

20. B RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Def: Funkcją pierwotną danej f-cji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną f-cję F, której pochodna F' jest równa f-cji f na tym przedziale, tj. dla każdego x∈X F'(x)=f (x).

F-cję F mającą w pewnym przedziale f-cję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie f-cji pierwotnych danej f-cji f nazywamy całkowaniem f-cji f. Całkowanie to znajdowanie fcji. pierwotnej.

PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć

TW.(1.1). (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda f-cja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale f-cję pierwotną.

TW.(1.2). (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to wszystkie f-cje postaci F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również f-cjami pierwotnymi f-cji f na tym przedziale.

TW.(1.3), (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to każda inna f-cja pierwotna G f-cji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do f-cji F i G dobraną stałą.

Def: Zbiór wszystkich f-cji pierwotnych f-cji f na przedziale X i tylko takich f-cji nazywamy całką nieoznaczoną f-cji f na przedziale X i oznaczamy symbolem ∫f (x) dx.

Z definicji całki nieoznaczonej i twierdzeń o f-cjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór ∫f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.

TW (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa f-cji podcałkowej: [∫f(x)dx]'= f(x); ∫f(x)dx= F(x)+C, F'(x)= f(x); [∫f(x)dx]'= (F(x)+C)'= F'(x)+f(x).

TW (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej f-cji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf'(x)dx=f(x)+C

TW (O ograniczoności funkcji podcałkowej): F-cja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale.

TW (O całkowaniu funkcji ciągłej): F-cja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.

TW F-cja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale.

DF: Wzór rekurencyjny: In=∫xⁿ e^x dx = xⁿe^x - nI _{n - 1} .

21. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

Def.1a: Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz: Niech f-cja f: <a,∞)→R jest R-całkow. na każdym przedziale <a;b>⊂<a,+∞), tedy rodzine całek I_f(a,∞)= _a∫^bf(x)dx b∈(a,∞), nazywamy całką niewł. f-cji f w granicach <a,∞> i oznaczamy _a∫^∞ f(x)dx

Def.1b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. _a∫^∞ f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(b→+∞) _a∫^bf(x)dx

Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ.: Niech Rodzinę całek (_a∫^αf(x)dx) a<α<b, lim(x→b^-)f(x)=±∞, nazyw. całk. niewł f-cji nieogr. f w przedz. <a,b>

Def.2b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. _a∫^bf(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(α→b^-) _a∫^αf(x)dx

Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł.: 1. Keż. f,g: <a,∞)→R są R-całkow. na każdym przedz. <a,β>⊂<a,∞) oraz ∃(a≤A)∀(x>A)f(x)≤g(x) to a) ze zbież. całk. _a∫^∞g(x)dx wynika zbieżn. _a∫^∞f(x)dx b) odwrotnie: ze zb. _a∫^∞f(x)dx ⇒ _a∫^∞g(x)dx 2. Jeż. zbież. jest _a∫^∞|f(x)|dx to mowim. że cał. niewł. _a∫^∞f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna, także zbież w zwykł. sensie 3. Jeż. zbież. jest _a∫^∞f(x)dx i jednocześnie _a∫^∞|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że _a∫^∞f(x)dx jest warunkowo zbieżna. 4. Kryterium zbież. całki (Dirichleta)(?) Jeżeli a) f-cja f: <a,∞)→R jest R-całk. w każd. <a,b>⊂<a,∞) oraz ∃(k>0)∀(a≤b)|_a∫^bf(x)dx|≤k b) f-cja g: <a,∞)→R jest monotonicznie zbież. do 0 to _a∫^bf(x)g(x)dx jest zbież.

Różne rodzaje zbieżn. cał niweł.: 1. Jeż. zbież. jest _a∫^∞|f(x)|dx to mówimy że całk niewł. _a∫^∞f(x)dx jest bezwzgl. zbież. (też zbież. w normal. znaczeniu) 2. Jeż. _a∫^∞f(x)dx jest zbież. i jednocześ. _a∫^∞|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że całk. _a∫^∞f(x)dx jest warunkowo zbież.;

22. Całki Eulera

Def. Całka Eulera 1-ego rodzaju (β-eulera): β(a,b)≝ ₀∫¹ x^a-1(1-x)^b-1dx, a,b>0 Całka Eulera 2-ego rodzaju (Γ-eulera): Γ(a)≝ ₀∫^∞x^a-1e^-x dx, a>0

Własn: 1. całka β a) β(a,b)=β(a,b) b) β(a,b)= [(b-1)/ (a+b-1)]β⋅ (a,b-1) c) β(n,a)= [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ ((a+1) ⋅..⋅(a+n-1))] d) β(m,n)= [((n-1)!(m-1)!)/ (m+n-1)!] e) β(a,1-a)= [-π/sinaπ], 0<a<1 f) β(1/2,1/2)=π 2. całka Γ a) Γ(a,b)= lim(n→∞) n^a⋅ [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ (a(a+1)⋅...⋅(a+n-1))] b) Γ(a+1)= aΓ(a) c) Γ(n+1)= n! d) β(a,b)= [Γ(a)Γ(b)]/ [Γ(a+b)] e) Γ(a)Γ(1-a)= π/sinaπ f) Γ(1/2)=√π;

23. Szeregi liczbowe

Def. Szeregiem liczbowym rzeczyw. nazyw. parę uporządkjow. ((a_n),(s_n)) Tradycyjnie te parę notujemy _(k=1)Σ⁽ⁿ⁾a_k, (s_n)- ciąg sum częściowych,

Def. (zbieżności szeregu) Szereg _(k=1)Σ^(∞)a_k jest zbież ⇔ gdy zbież. jest do gr. właściw. ciąg sum częściow. tego szeregu. W przeciw. wypadku mówimy że szer. _(k=1)Σ⁽ⁿ⁾a_k jest rozbież.

TW. (war. koniczny zbieżn. szeregu) Jeż. _(k=1)Σ^(∞)a_k jest zbież. to lin(n→∞)a_n=0 Dowód: Szereg _(k=1)Σ^(∞)a_k jest zbież ⇔ lim(n→∞)s_n=s∈R, (s_n)- spełnia war. (Cauch.) ⇔ ∀(ε>0)∃(n₀∈N)∀(n>n₀)∧∀(m∈N) |s_n+m-s_n|<ε ⇒ |s_n-s_n-1|→0;; |_(k=1)Σ^(k)a_k - _(k=1)Σ^(n-1)a_k |=|a_n|

Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Szereg _(n=1)Σ^(∞)a_n jest zbież. bezwzgl. jeż. zbież. jest szereg _(n=1)Σ^(∞)|a_n|, Dowód: _(n=1)Σ^(∞)a'_n- utworzony z wyrazów dodatn. _(n=1)Σ^(∞)a_n :: _(n=1)Σ^(∞)a''_n- utworzony z wyrazów ujemn. _(n=1)Σ^(∞)a_n ;; (s_n)-ciąg sum _(n=1)Σ^(∞)a_n;; (s'_n)-ciąg sum _(n=1)Σ^(∞)a'_n;; (s''_n)-ciąg sum _(n=1)Σ^(∞)a''_n;; (s*)- suma _(n=1)Σ^(∞)|a_n|;; s'_n≤s* oraz s''_n≤s*, więc (s'_n) i ( s''_n) są rosnące więc sa zbiezne, więc _(n=1)Σ^(∞)a'_n i _(n=1)Σ^(∞)a''_n są zbieżne;; S'-suma _(n=1)Σ^(∞)a'_n; S'' suma _(n=1)Σ^(∞)a''_n; S-suma _(n=1)Σ^(∞)a_n;; S_n=S'_m-S''_r i n=m+r, jeżeli n→∞to m,r→∞;; limS_n= limS'_m- limS''_r=S'-S'' czyli szereg _(n=1)Σ^(∞)a_n jest zbieżny i jego sumą jest liczba S'-S''. ;;

TW. (szereg zespolony) szer. zesp. _(n=0)Σ^(∞)z_n jest zbież. ⇔ gdy zbieżny jest szreg części rzeczyw. _(n=0)Σ^(∞)x_n i części urojonej _(n=0)Σ^(∞)y_n

24. SZEREGI Liczbowe II

Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. dla szer. li. nieujemn.) Dane sa szer. _(n=1)Σ^(∞)a_n ; _(n=1)Σ^(∞)a_n ; (a_n,b_n≥0, n=1,2,...), Jeżeli ∃(n₀∈N)∀(n₀≤n) a_n≤b_n , to: a) jeżeli szer. _(n=1)Σ^(∞)b_n jest zbież, to zbież. jest też szer. _(n=1)Σ^(∞)a_n; b) jeż. szer. _(n=1)Σ^(∞)a_n jest rozbież. to rozbież jest szr. _(n=1)Σ^(∞)b_n;

Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego) Dany jest szer. _(n=1)Σ^(∞)a_n ; Oznaczamy α=lim_nsupⁿ√(|a_n|). Jeżeli 1) α<1 to _(n=1)Σ^(∞)a_n jest zbieżny 2) α>1 to _(n=1)Σ^(∞)a_n jest rozbież. 3) α=1 to przypadek wątpliwy;

Tw. Jeż. szeregi _(n=1)Σ^(∞)a_n i _(n=1)Σ^(∞)b_n są zbieżne to zbieżne są tez szeregi: _(n=1)Σ^(∞)(a_n+b_n) oraz _(n=1)Σ^(∞)δa_n i _(n=1)Σ^(∞)(a_n+b_n)= _(n=1)Σ^(∞)a_n+ _(n=1)Σ^(∞)b_n ; i _(n=1)Σ^(∞)δa_n = δ_(n=1)Σ^(∞)a_n

Tw. (Kryterium ilorazowe d'Alamberte'a) Dany jest szer. _(n=1)Σ^(∞)a_n wtedy a) jeżeli limsup|a_n+1/a_n|<1 to szer. jest zbireż. b) jeż limsup|a_n+1/a_n|≥ dal n≥n₀ to szer. jest rozb.

Tw. (kryterium całkowe zbieżn szer. liczb. o wyr. dodat.) Jeż. dany jest szer. _(n=1)Σ^(∞)a_n o wyraz. dodatnich oraz f-cja f:[a,∞]→R₊\{0} ma własn: a) f jest ciągła b) f monotonicznie dąży do 0 począwszy od pewnego x₀≥1 c) f(n)=a_n, n=1,2,... to: szereg _(n=1)Σ^(∞)a_n jest zbież. (rozbież) ⇔ gdy zbieżna (rozbież.) jest całka niewł. ₁∫^∞f(x)dx

25. SZEREGI Liczbowe III

Szereg naprzemienny: szereg _(n=1)Σ^(∞)(-1)ⁿ⁺¹a_n , a_n>0, nazyw. szer. naprzem.

Tw. (Kryterium Leibnitza) Jeż. a_n monotonicznie dąży do 0, to szer. _(n=1)Σ^(∞)(-1)ⁿ⁺¹a_n jest zbież. oraz |R_n|≤a_n+1 , n=1,2,...

Uwaga, jeż. szereg jest zbież. w zwykłym sensie, lecz nie bezwzgl. zbież. nazywamy go szeregiem warunkowo zbieżnym, przykładowo szereg anharmoniczny _(n=1)Σ^(∞)(-1)ⁿ/n

**Tw: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.

**Tw. Jeżeli wyrazy szeregów Σ(od n=1 do ∞) a_n oraz Σ (od n=1 do ∞) b_n są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona nierówność a_n<=b_n to z e zbieżności szeregu b_n wynika zbieżność a_n i odwrotnie.

26. SZEREGI FUNKCYJNE I

Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Dany jest ciąg funkcji (f_n) n∈N₀ ; f_n: R⊃D→R, x→f_n(x), n=0,1,..., Piszemy ciąg sum częściowych (s_n) n∈N₀ : S_n:D→R, x→S_n(x)≝_(k=0)Σ⁽ⁿ⁾f_n(x), k=0,1,2,...; Uporządkowane pary ((f_n),(S_n)) nazywamy szeregiem funkcyjnym, notujemy _(n=0)Σ^(∞)f­_n(x), x∈D

Zbieżność punktowa: Mówimy że szereg _(n=0)Σ^(∞)f_n jest zbież. punktowo w D, jeż. szer. _(n=0)Σ^(∞)f_n(x) jest zbieżny (jako szre. liczb.)

Def. (Zbieżność jednostajna): szer. f. _(n=0)Σ^(∞)f_n jest zbież. jednost. do supS na D jeż. sup(x∈D) |S_n(x)- S(x)|→0 Piszemy wtedy że S_n⇉S(x) („⇉” jednostajnie dąży), ∀(ε>0)∃(n₀) ∀(n>n₀)∀(x∈D) |S_n(x)- S(x)|<ε

Def. (niemal jednost. zbież) Jeż. szereg f-cyjny _(n=0)Σ^(∞)f_n jest jednost. zbież. na każdym przedz. [a,b]⊂D, to szereg nazyw. niemal jednostajnie zbieżnym na D.

Tw. (kryterium Weierstrassa,) Jeż. szer. f. _(n=0)Σ^(∞)f_n określony na D ma własn: a) ∃(n₀∈N)∀(n₀≤n)∀(x∈D) |f_n(x)|≤a_n , b) szereg liczbowy o wyrazach dodatnich _(n=0)Σ^(∞)a_n jest zbież. to: szer. _(n=0)Σ^(∞)f_n jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.

Tw. (o ciągłości sumy szer. f.) jeż. (f_n)n∈N₀ jest ciągiem f-cji ciągłych na D, oraz szer. _(n=0)Σ^(∞)f_n jest jednost. zbież. do sumy S, to S jest f-cją ciągłą na D.

Tw. (o całkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. _(n=0)Σ^(∞)f_n sa R-całkow. (w sensie Riem.) na D=(a,b) oraz szer. _(n=0)Σ^(∞)f_n jest jednost. zbież. na D (niemal jed. zbież.) to: _a∫^b_(n=0)Σ^(∞)f_n(x)dx= _(n=0)Σ^(∞)_a∫^bf_n(x)dx

Tw. (o różniczkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. _(n=0)Σ^(∞)f_n mają ciągłe pochodne w (a,b), szer. _(n=0)Σ^(∞)f_n jest zbież. (pktowo) w (a,b) oraz szer. _(n=0)Σ^(∞)f '_n jest zbież. jednost. (niemal jednost. zbież) to ma pochodną (_(n=0)Σ^(∞)f_n(x))'= _(n=0)Σ^(∞)f_n'(x)

27. SZEREGI Funkcyjne II potegowe

(*)(*) _(n=0)Σ^(∞)a_n(x-x₀)ⁿ; (*) _(n=0)Σ^(∞)a_nxⁿ, a_n- współczynnik szer. potęgowego.

Promień zbieżn szer. potęgow. R R≝sup{r≥0 _(n=0)Σ^(∞)a_nrⁿ} jest zbieżny, |x|<r

Tw (Cauchy'ego- Hadamarda) Jeżeli limsup(ⁿ√|a_n|) to wtedy prom R zbieżn szer: R= {0 gdy λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R₊\{0}}

Tw. Jeżeli instn, gran. lim(n→∞)|a_n+1/a_n|= --> [Author:MZ。Шi] λ to prom. zbieżn. R szeregu: R={0 gdy λ=+∞, 1/λ gdy 0<λ<+∞, ∞ gdy λ=0}.

Tw. Jeżeli szereg _(n=0)Σ^(∞)a_nxⁿ ma prom. zbieżny szeregu R, to ten szer. jest zbież. niemal jednost. na przedz (-R,R) i jest zbieżna suma szeregu na każdym przedziale przedziale [-a,a]⊂(-R;R)).

Tw. (o całkow. szer. potęgow.) Dla dowoln x∈(-R,R) ₀∫^x (_(n=0)Σ^(∞)a_n tⁿ)dt= _(n=0)Σ^(∞)(a_n/n+1)xⁿ⁺¹; Promień szer. po prawej stronie równości nie ulega zmianie.

Tw. (o różniczkow. szer. potęgow.) Jeż. x∈(-R,R) to (_(n=0)Σ^(∞)xⁿ)'= _(n=1)Σ^(∞)x^n-1; i prom. szer. potęg. stale ma ten sam przedz. zbieżności.

Szer. potęgow. zesp: (*)(*) _(n=0)Σ^(∞)z_n(z-z₀)ⁿ; (*) _(n=0)Σ^(∞)a_nzⁿ, Jeż. λ=lim_nsupⁿ√|a_n|, to szer. (*) jest zbież. bezwzględnie na każdym kole domknietym |z|≤a, a<z, gdzie R= {0 gdy λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R}

---