WYKŁAD 6

(by katja``)

Dwuwymiarowe zmienne losowe (X,Y)

Jest zmienną losową typu ciągłego, jeśli istnieje taka nieujemna funkcja f(x,y), że dla dowolnej pary (x,y) liczb rzeczywistych zachodzi równość:

gdzie F(x,y) nazywamy dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej typu ciągłego.

Funkcja f nosi nazwę gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej.

• Gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) jest funkcja f(x,y) nieujemna spełniająca warunek:

(nieujemna)

• Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie (x,y) to:

(druga pochodna dystrybuanty)

UWAGA

(X,Y)- dwuwymiarowa zmiennej losowej typu ciągłego

Rozkłady brzegowe

Jeżeli f(x,y) jest dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej (x,y) to:

są funkcjami jednej zmiennej (odpowiednio zmiennej x lub y) nazywanymi dystrybuantami brzegowymi, a wyznaczone przez nie rozkłady, rozkładami brzegowymi.

Rozkłady brzegowe dwuwymiarowej zmiennej losowej typu skokowego

1). Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego przyjmującą wartości (x_i,y_k) z prawdopodobieństwem P_ik

Oznaczamy:

Liczby
(
) wyznaczają prawdopodobieństwo zmiennej losowej X(Y).Nazywamy ją rozkładem brzegowym zmiennej X (Y) w dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)

UWAGA:

Rozkłady brzegowe dwuwymiarowej zmiennej losowej typu ciągłego

2. Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową o gęstości f(x,y).

f₁ - gęstość zmiennej losowej X. Nazywamy ją gęstością rozkładu brzegowego zmiennej X.

f₂ - gęstość zmiennej losowej Y. Nazywamy ją gęstością rozkładu brzegowego zmiennej Y.

Dystrybuanta rozkładu brzegowego zmiennej losowej

1. dla zmiennej losowej typu skokowego:

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego.

• Dystrybuanta rozkładu brzegowego zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

• Dystrybuanta rozkładu brzegowego zmiennej losowej Y wyraża się wzorem

2. dla zmiennej losowej typu ciągłego:

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego.

• Dystrybuanta rozkładu brzegowego zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

• Dystrybuanta rozkładu brzegowego zmiennej losowej Y wyraża się wzorem:

UWAGA:

- jeżeli X jest punktem ciągłości f₁ to pochodna tej funkcji

- jeżeli Y jest punktem ciągłości f₁ to

Niezależność zmiennych losowych

Zmienne X₁, X₂,…,X_n nazywamy zależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli dla dowolnych zbiorów borelowskich A₁, A₂,…, A_n
zdarzenia

spełniają warunek:

iloczyn mnogościowy:

iloczyn zwykły:

Definicja

Zmienne X₁,X₂,… nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli dla każdego n zmienne X₁,X₂,…,X_n są niezależne.

Twierdzenie

1) dla niezależnych zmiennych losowych X₁,X₂,…,X_n zachodzi:

Szczególny przypadek dla n=2 dla niezależnych zmiennych losowych X,Y zachodzi

2) niezależnych zmiennych losowych X₁,X₂,…,X_n typu ciągłego zachodzi:

Szczególny przypadek dla n=2 dla niezależnych zmiennych losowych X,Y typu ciągłego zachodzi

3) niezależnych zmiennych losowych X₁,X₂,…,X_n typu skokowego zachodzi

Szczególny przypadek dla n=2 dla niezależnych zmiennych losowych X,Y typu skokowego zachodzi

Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Niech (Ω,FP) jest przestrzenią probabilistyczną. X jest zmienną losową określoną na tej przestrzeni i

Warunkowym rozkładem zmiennej losowej X pod warunkiem B nazywamy funkcję argumentu A oznaczoną Px (A/B) określoną wzorem:

1). Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej typu skokowego:

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego. Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X pod warunkiem, że zmienna losowa Y przyjmuje wartości y_k (Y= y_k) jest rozkładem określonym wzorem:

przy założeniu że:

Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y pod warunkiem, że zmienna losowa X=x_i jest rozkładem określonym wzorem:

przy założeniu, że

2). Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej typu ciągłego:

Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego. Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X pod warunkiem, że zmienna losowa Y=y, wyraża się wzorem:

, c<y<d przy założeniu, że gęstość rozkładu brzegowego zmiennej Y skoncentrowana jest na przedziale (c,d)

Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y pod warunkiem, że zmienna losowa X=x jest rozkładem określonym wzorem:

a<x<b przy założeniu jw. (a,b)

Dystrybuanta warunkowa (rozkładu warunkowego)

1). Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego.

Dystrybuanta rozkładu warunkowego zmiennej losowej X przy warunku, że zmienna losowa Y= y_k wyraża się wzorem:

Dystrybuanta rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna losowa X=x_i wyraża się wzorem:

2). Niech (X,Y) jest dwuwymiarową zmienną losową typu ciągłego.

Dystrybuanta rozkładu warunkowego zmiennej losowej X przy warunku, że zmienna losowa Y= y wyraża się wzorem:

Dystrybuanta rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y przy warunku, że zmienna losowa X=x wyraża się wzorem: