Wzory 20

WZORY 20: wzory ważone i nieważone składników równości wariancyjnej cechy zależnej mierzalnej Y, ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny

Dane indywidualne (dane jednostkowe)	Tablica korelacyjna: rozkłady punktowe	Tablica korelacyjna: rozkłady przedziałowe
(xi, yi) i = 1,..., k j = 1,..., ni	(xi, yj) i = 1,..., k j = 1,..., l	i = 1,..., k j = 1,..., l
(1)	(2)	(3)
Zróżnicowanie ogólne SST: wzory (20.1)
gdzie
Zróżnicowanie międzygrupowe SSB: wzory (20.2)
gdzie
Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSE: wzory (20.3)
gdzie
Równość wariancyjna cechy zależnej mierzalnej Y: wzory (20.4)
SST = SSB + SSE	SST = SSB + SSE	SST = SSB + SSE
Kwadrat wskaźnika korelacyjnego : wzory (20.5)
Wskaźnik korelacyjny eyx: wzory (20.6)
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego  ze współczynnikiem korelacji liniowej r: wzory (20.7) (dla  > 0, na podstawie wzorów (20.1), (20.5) i zestawu 17 wzorów)
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego  ze współczynnikiem korelacji liniowej r oraz ze współczynnikiem regresji liniowej ay: wzory (20.8) (dla  > 0, na podstawie wzoru (20.7) i zestawu 18 wzorów)
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego  ze współczynnikiem regresji liniowej ax: wzory (20.9) (dla  > 0, na podstawie wzoru (20.8) i zestawu 18 wzorów)

Wyżej przytoczono, za literaturą przedmiotu, następujące oznaczenia (por. np. J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa, 1998, rozdział 14: Analiza wariancji, s. 331):

SST jest angielskim skrótem określenia: ogólna suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej od średniej arytmetycznej ogólnej tej zmiennej.

SSB jest angielskim skrótem określenia: suma kwadratów odchyleń średnich artymetycznych grupowych od średniej arytmetycznej ogólnej ważonych liczebnościami grup.

SSE jest angielskim skrótem określenia: zsumowana dla poszczególnych grup suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej z danej grupy od średniej arytmetycznej tej grupy.

Ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny cechy zależnej Y w formule wzoru najczęściej stosowanego do obliczeń

Dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej w rozkłady punktowe lub przedziałowe o wymiarach k x l (gdzie i = 1,..., k oraz j = 1,..., l) wzory wskaźników korelacyjnych z próby mierzących siłę wpływu cechy niezależnej X na cechę zależną Y są następujące:

(20.A)  gdzie lub (20.B)  gdzie

Dla danych indywidualnych yij dotyczących cechy zależnej Y analogiczny wzór dla i = 1,..., k oraz j = 1,...,  można zapisać następująco:

(20.C)  gdzie

Oba wzory znajdują uzasadnie w równości wariancyjnej, w której ogólne zróżnicowanie (dyspersja, zmienność, rozrzut, rozproszenie) zależnej mierzalnej cechy Y jest przedstawione jako suma zróżnicowania międzygrupowego i wewnątrzgrupowego cechy Y.

Dla danych inywidualnych oraz dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej ogólny wzór wskaźnika korelacyjnego oparty na składnikach SST, SSB i SSE równości wariancyjnej jest taki sam:

(20.D)  gdzie .

Kwadrat wskaźnika korelacyjnego  umożliwia odpowiedź na pytanie, jaką część całkowitej zmienności cechy zależnej Y można przypisać wpływowi cechy niezależnej X. Wskaźnik korelacyjny eyx informuje o sile tego wpływu.

Ważona (20.A) i (20.B) lub nieważona (20.C) odmiana wzoru (20.D) zastosowana do obliczeń prowadzi do różnic w wynikach na skutek błędu grupowania. Jest to problem wspólny dla wszystkich miar ważonych, omawiany szeroko w literaturze przedmiotu na przykładzie średniej arytmetycznej, wariancji, współczynnika korelacji liniowej. Nie spotkałam natomiast podobnych do wyżej przedstawionych rozważań dotyczących wskaźnika korelacyjnego.

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.