1. Obliczyć na podstawie reguły de l' Hospitala następujące granice :a)
;

b)
; c)
; d)
; e)
; f)
g)
;h)
; i)
; j)
; k)
; l)
. M)
n)
.

Odp:a)
; b)
; c)
; d)
; e) 1; f) 1; g) 1; h) e; i) 1; j)
; k)
; l) 1.

2. Znaleźć asymptoty funkcji : a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
.

3. Wykazać, że funkcja
,
jest stała

4. Sprawdzić, czy funkcje
są równe w przedziale

(-1 , 0 )

5.Obliczyć pochodne n-tego rzędu następujących funkcji :a)
b)
c)
d)
e)
; f)

6. Stosując wzór Leibniza-Newtona obliczyć pochodne funkcji: a)

b)
c)

7.Sprawdzić, czy funkcja
spełnia na przedziale
założenia Tw. Lagrange'a ( to znaczy należy sprawdzić, czy funkcja jest ciągła i ma pochodną na przedziale)

8.Sprawdzić, czy funkcja
spełnia na przedziale
założenia Tw. Lagrange'a ( to znaczy należy sprawdzić, czy funkcja jest ciągła i ma pochodną na

9. Sprawdzić, czy funkcje : a)
w przedziale <1,e> ; b)
w przedziale <-1,1> spełnia założenia tw. Rolle'a.

10. Sprawdzić, czy funkcja
spełnia założenia tw. Lagrange'a w przedziale <0,2>

11.Napisać wzór Maclaurina dla funkcji : a)
b)
c)
d)

12. Napisać wzór Taylora rzędu n dla funkcji
i

13. Napisać wzór Taylora dla funkcji
w punkcie

14. Napisać wzór Maclaurina z resztą R₃ dla funkcji

9. Oszacować bezwzględny błąd wzoru przybliżonego : a)
dla
;

b)
dla
. c)
dla
; d)
dla

15.. Wykazać, że przy obliczaniu wartości funkcji
za pomocą wzoru przybliżonego
dla
, popełniamy błąd mniejszy niż 0.006.

16. Oszacować dokładność wzoru przybliżonego
dla

17. Obliczyć
z dokładnością do 0,0001

18. Obliczyć : a)
z błędem bezwzględnym mniejszym niż 0,01 ; b)
z błędem bezwzględnym mniejszym niż 0,001

c) ln1,02 z błędem bezwzględnym mniejszym niż 0,00001.

Zadania domowe dotyczące wykładu 2

1. Obliczyć przybliżona wartość wyrażenia: a)
   , b) arccos0,499

2. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje mają ekstremum lokalne we wskazanych punktach

a)
,
, b)
,

3. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji

a)
, b)
, c)
, d)

4. Określić przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji

a)
, b)
c)
, d)

5. Zbadać i wykreślić funkcje

a)
, b)
, c)
, d)
, e)
, f)