Wykład 23
Obwody prądu zmiennego
Obwód prądu zmiennego jest to dowolny zespół połączonych między sobą oporników, kondensatorów i cewek indukcyjnych, w których płyną prądy zmienne w czasie ze stałą częstością 
Rozpatrzmy najprostszy przypadek obwodu prądu zmiennego zawierającego opór elektryczny 
, kondensator o pojemności 
, cewkę o indukcyjności 
i źródło prądu zmiennego
|
Jeżeli rozmiary takiego obwodu nie są zbyt duże, a pojemność kondensatora i indukcyjność nie są nadmiernie małe, to można wykazać, ze natężenie prądu jest prawie stałe w każdej chwili we wszystkich przekrojach obwodu. Takie prądy nazywamy kwaziustalonymi i możemy dla tych prądów |
stosować prawa dla obwodów ze stałym prądem. Jeżeli oznaczmy przez 
wartość chwilową napięcia na okładkach kondensatora, to zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa możemy zapisać
, (XXIII.2)
gdzie
, (XXIII.3)
jest SEM samoindukcji cewki, a 
- spadek potencjału na oporze. Biorąc pod uwagę, że
, 
,
wzór (XXIII.2) możemy zapisać w postaci
. (XXIII.4)
Oznaczając
, 
, 
,
przepiszmy równanie (XXIII.4)
. (XXIII.5)
Z równaniem (XXIII.5) już spotkaliśmy na wykładach z pierwszej części Fizyki Ogólnej. To jest równanie wymuszonych drgań oscylatora harmonicznego z tłumieniem. Znajdziemy rozwiązanie równania (XXIII.5), korzystając z innej metody niż to robiliśmy wcześniej.
Rozwiązanie równania (XXIII.5) łatwiej szukać korzystając z liczb zespolonych, a mianowicie będziemy szukali rozwiązanie równania (XXIII.5) w postaci
. (XXIII.6)
Biorąc pod uwagę, że
, 
,
i zapisując prawą część równania (XXIII.5) w postaci 
, z równania (XXIII.5) otrzymujemy następujące równanie algebraiczne na 
. (XXIII.7)
Skąd
. (XXIII.8)
Ponieważ
, 
, 
,
rozwiązanie (XXIII.8) możemy zapisać w postaci
, (XXIII.9)
gdzie
i 
. (XXIII.10)
Ostateczne rozwiązanie równania (XXIII.5) przyjmuje postać
. (XXIII.11)
Rzeczywista część rozwiązania (XXIII.12) wynosi
. (XXIII.12)
Rezonans. Dobroć obwodu
Z zależności 
od częstości 
wymuszającej SEM, przedstawionej na rysunku, wynika, przy 
gwałtownie rośnie wartość 
.
Krzywa rezonansowa |
Zjawisko gwałtownego wzrostu amplitudy zmiennego w czasie ładunku elektrycznego, a również wzrost amplitudy prądu zmiennego w obwodzie i amplitudy napięcia na okładkach kondensatora, przy zbliżaniu wielkości pulsacji Korzystając ze wzoru (XXIII.12) dla prądu zmiennego, który płynie w obwodzie |
otrzymujemy
, (XXIII.13)
gdzie
. (XXIII.14)
"Ostrość" rezonansowej krzywej prądu zmiennego (XXIII.14) możemy wyrazić za pomocą szerokości połówkowej względnej, równej 
, gdzie 
, a częstości 
są częstości dla których
. (XXIII.15)
Uwzględniając wzór (XXIII.14), dla częstotliwości 
otrzymujemy równanie
.
Skąd
. (XXIII.16)
Dwukwadratowe równanie (XXIII.16) ma rozwiązanie
, 
.
Skąd dla szerokości połówkowej względnej znajdujemy
. (XXIII.17)
Wielkość odwrotna do szerokości połówkowej względnej nosi nazwę dobroci 
obwodu
. (XXIII.18)
Opory pozorne cewki indukcyjności i kondensatora
Korzystając ze wzoru (XXIII.11) znajdujemy następujący wzór na prąd, który płynie w obwodzie
. (XXIII.19)
Uwzględniając, że 
i 
, zapiszmy wzór (XXIII.14) w postaci
. (XXIII.20)
Po podstawieniu (XXIII.20) do równania (XXII.19) i uwzględnieniu, że 
otrzymujemy
. (XXIII.21)
Oznaczając przez 
, (XXIII.22)
wzór (XXIII.21) możemy zapisać w postaci
. (XXIII.23)
Wzór (XXIII.23) jest analogiczny do wzoru, wyrażającego prawo Ohma dla prądu stałego (
). W związku z tym urojona wielkość 
nazywa się oporem pozornym albo zawadą.
Ponieważ
, 
,
,
ze wzoru (XXIII.22) znajdujemy
. (XXIII.24)
Ze wzorów (XXIII.23) i (XXIII.24) wynika, że w przypadku obwodów prądów zmiennych możemy stosować prawa Ohma i prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego, jeżeli cewce indukcyjności i kondensatorowi przypiszemy opory pozorne
, 
. (XXIII.25)
Równania Maxwella
Na poprzednich wykładach zapoznaliśmy z poszczególnymi równaniami pola elektromagnetycznego. Teraz zapiszemy je wszystkie w tradycyjnej formie zwanej równaniami Maxwella.
Pierwsze równanie Maxwella (równanie (XXIII.26a) albo (XXIII.26b)) wyraża prawo indukcji Faradaya: zmienny w czasie strumień magnetyczny jest źródłem wirowego pola elektrycznego.
Całkowa postać równań Maxwella |
Różniczkowa postać równań Maxwella |
|
|
Z drugiego równania Maxwella (równanie (XXIII.2a) albo (XXIII.2b)) wynika, że pole magnetyczne jest polem wirowym i źródłem tego pola są prądy przewodzenia oraz prądy przesunięcia.
Trzecie równanie Maxwella (równanie (XXIII.3a) albo (XXIII.3b)) jest równoważne prawu Coulomba. Z niego również wynika, że źródłem pola elektrycznego potencjalnego są ładunki elektryczne i linii pola elektrycznego zaczynają się i kończą się na ładunkach elektrycznych.
Czwarte równanie Maxwella (równanie (XXIII.4a) albo (XXIII.4b)) oznacza że w przyrodzie nie istnieją "ładunki" magnetyczne i linii pola magnetycznego są liniami zamkniętymi.
W teorii Maxwella elektryczne i magnetyczne właściwości izotropowego środowiska są określane trzema wielkościami:
przenikalnością dielektryczna 
substancji
, (XXIII.5)
przenikalnością magnetyczną 
, (XXIII.6)
przewodnością elektryczną właściwą 
. (XXIII.7)
Układ czterech równań (XXIII.1) - (XXIII.4) oraz trzy równania materialne (XXIII.5) - (XXIII.7) tworzą pełny układ równań teorii pola elektromagnetycznego Maxwella.
Fale elektromagnetyczne. Równanie falowe
Maxwell po raz pierwszy udowodnił, że z równań pola elektromagnetycznego (XXIII.1) - (XXIII.4) wynika możliwość istnienia nawet w pustej przestrzeni (próżni) fal elektromagnetycznych, rozchodzących się z prędkością równej prędkości światła w próżni. Ten fakt pozwolił Maxwellowi założyć, że światło jest niczym innym, jak falą elektromagnetyczną. Rozważmy elektromagnetyczną teorię światła Maxwella i najpierw zapiszmy równania Maxwella w izotropowym ośrodku nie zawierającej ładunków elektrycznych (
) i prądów przewodzenia (
):
, (XXIII.8)
, (XXIII.9)
, (XXIII.10)
. (XXIII.11)
W równaniach (XXIII.10) i (XXIII.11) uwzględniliśmy, że dla izotropowych ośrodków 
i 
.
Pomnóżmy obustronnie równania (XXIII.8) i (XXIII.9) wektorowe przez 
, (XXIII.12)
. (XXIII.13)
Korzystając z tożsamości wektorowej ("bac" minus "cab")
,
znajdujemy dla lewych części równań (XXIII.12) i (XXIII.13)
, (XXIII.14)
. (XXIII.15)
Tu uwzględniliśmy wzór (XXIII.10) (
) i wzór (XXIII.11) (
) oraz wzór
. (XXIII.16)
Dla prawych części równań (XXIII.12) i (XXIII.13), biorąc pod uwagę wzory (XXIII.8) i (XXIII.9), otrzymujemy
, (XXIII.17)
. (XXIII.18)
Po podstawieniu równań (XXIII.14), (XXIII.15) i (XXIII.17), (XXIII.18) do równań (XXIII.12) i (XXIII.13) ostatecznie otrzymujemy
, (XXIII.19a)
, (XXIII.19b)
gdzie
. (XXIII.20)
Z równaniami typu (XXIII.19a) i (XXIII.19b) już spotykaliśmy w pierwszej części Fizyki Ogólnej. To są tak zwane równania falowe. Określają oni ruch falowy z prędkością 
. Przed tym jak rozważać rozwiązania równań falowych rozpatrzmy przypadek próżni (pustej przestrzeni) dla której 
. W tym przypadku, jak widać ze wzoru (XXIII.20), prędkość fali jest określona tylko przez fundamentalne stałe 
i 
i jest równa, jak okazuje się prędkości światła w próżni (
, 
)
.
To, że wielkość 
pokrywa się z prędkością światła w próżni nie jest przypadkową i wynika z tego, że rozwiązania równań (XXIII.19) reprezentują fali elektromagnetyczne, a światło jest właśnie niczym innym jako falami elektromagnetycznymi. W ośrodku, zgodnie z (XXIII.20), prędkość fali elektromagnetycznej 
jest mniejsza od prędkości fali w próżni i wynosi
. (XXIII.21)
Udowodnimy teraz, że rozwiązaniami równań (XXIII.19a) i (XXIII.19b) są fale elektromagnetyczny rozchodzące się z prędkością 
.
W celu uproszczenia zapisu, zapiszmy równanie (XXIII.19a) tylko dla 
- składowej wektora 
(XXIII.22)
i załóżmy, ze 
. Wtedy z równania (XXIII.22) mamy
. (XXIII.23)
Rozwiązanie równania (XXIII.23) łatwo znaleźć wprowadzając nowe zmienne
, 
. (XXIII.24)
Rozważając teraz 
jako funkcję zmiennych 
znajdujemy
, (XXIII.25a)
. (XXIII.25b)
Ze wzorów (XXIII.25) wynika, że
, (XXIII.26a)
. (XXIII.26b)
Korzystając ze wzorów (XXIII.26) otrzymujemy
, (XXIII.27)
. (XXIII.28)
Po podstawieniu (XXIII.27) i (XXIII.28) do równania (XXIII.23) znajdujemy
. (XXIII.29)
Łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem równania (XXIII.29) jest superpozycja dwóch dowolnych funkcji 
i 
. (XXIII.30)
Istotnie, różniczkując (XXIII.30) względem zmiennej 
otrzymujemy
. (XXIII.31)
Różniczkując następnie (XXIII.31) względem zmiennej 
uzyskujemy równanie (XXIII.29).
Przez zmienne 
i 
(patrz wzór (XXIII.24)) równanie (XXIII.30) możemy zapisać w postaci
. (XXIII.32)
|
Rozważmy teraz jakiś punkt |
A więc funkcja 
reprezentuje falę rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi 
. Odpowiednie, funkcja 
reprezentuje falę rozchodzącą się w ujemnym kierunku osi 
.
Udowodniliśmy, że równanie (XXIII.23) jest równaniem fal rozchodzących się z prędkością światła w dodatnim i ujemnym kierunkach osi 
.
W zagadnieniach praktycznych najważniejszymi są fale o kształcie
, (XXIII.33)
gdzie 
.
W zapisie zespolonym fala (XXIII.33) ma postać
. (XXIII.34)
Powierzchni fazy stałej 
) fali określonej wzorem (XXIII.34) - czoło fali, są płaszczyznami prostopadłymi do kierunku rozchodzenia się fali, czyli są prostopadłe do osi 
. Fali takie nazywamy falami płaskimi.
Fali postaci (XXIII.33) nazywamy monochromatycznymi (zależą tylko od jednej częstości 
) i harmonicznymi (opisuje ich funkcja cos albo sin) falami.
Fali płaskie są dobrym przybliżeniem w przypadku, gdy rozważamy punkty znajdujące się bardzo daleko od źródła fali. Gdyś jednak odległość od źródła nie jest wystarczająco duża, stosujemy przybliżenie fali kulistej. Kulista fala harmoniczna ma postać
, (XXIII.35a)
lub, w zapisie zespolonym:
. (XXIII.35b)
W równaniach (XXIII.35) wielkość 
jest odległością punktu od źródła fali.
W przypadku fali kulistej powierzchni stałej fazy 
) będą miały postać koncentrycznych powierzchni sferycznych, a nie płaszczyzn.
Oprócz fal płaskich i kulistych stosujemy też czasami przybliżenie fali walcowej. To przybliżenie jest dobrym w przypadku źródła liniowego, albo przy przejściu fali płaskiej przez nieskończenie długą i bardzo wąską szczelinę. Równanie fali walcowej harmonicznej wygląda tak same jak równania (XXIII.35). Jednak teraz w tych równaniach wielkość 
, a oś 
jest osią symetrii walca, a także źródłem fali.
Rozważmy teraz falę płaską postaci
, 
. (XXIII.36)
Z pierwszego równania Maxwella (XXIII.8) znajdujemy
. (XXIII.37)
Skąd
, 
. (XXIII.38)
Z dwóch ostatnich równań wynika, że
.
Całkując pierwsze z równań (XXIII.38) względem czasu otrzymujemy
. (XXIII.39)
|
Tu uwzględniliśmy, że
Biorąc pod uwagę, że
|
Z równań (XXIII.36) i (XXIII.40) wynika, że:
drgania pola elektrycznego i magnetycznego są związany między sobą; stąd te fali nazywamy falami elektromagnetycznymi;
fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi: wektory 
i 
znajdują się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali 
;
trójka wektorów 
tworzy trójkę wzajemnie prostopadłych wektorów;
wzajemnie prostopadłe wektory 
i 
drgają w jednej fazie, czyli jednocześnie osiągają wartości zerowe i maksymalne.
Wektor Poyntinga - Umowa
Rozważana wyżej fala elektromagnetyczna przenosi w kierunku osi 
energię pola elektromagnetycznego. Prędkość przepływu energii w dowolnej fali elektromagnetycznej przez jednostkową powierzchnię opisuje tak zwany wektor Poyntinga - Umowa
. (XXIII.41)
Udowodnimy wzór (XXIII.41) na przykładzie fali elektromagnetycznej (XXIII.36) i (XXIII.39) rozchodzącej się w kierunku osi 
.
|
W ciągu czasu
gdzie |
. (XXIII.43)
Z równania (XXIII.40) wynika, że
. (XXIII.44)
A zatem ze wzoru (XXIII.43) znajdujemy
. (XXIII.45)
Po podstawieniu (XXIII.45) do wzoru (XXIII.42) otrzymujemy
. (XXIII.46)
Skąd dla prędkości przepływu energii fali elektromagnetycznej przez jednostkową powierzchnie prostopadła do kierunku propagacji fali uzyskujemy
. (XXIII.47)
103
