1A. Katarzyna nabywa banany oraz brzoskwinie. Cena bananów wynosi 40 franków za sztukę, a cena brzoskwiń to 20 franków za sztukę. Jeżeli jej dochód wynosi 360 franków, to ile bananów może ona nabyć przy założeniu, że wydaje na nie cały swój dochód?

a) 7;

b) 9;

c) 18;

d) 12;

e) żadne z powyższych.

Katarzyna może nabyć maksymalnie
.

1B. Henio wydaje cały swój dochód na 3 opakowania żołędzi oraz 3 opakowania kasztanów. Cena żołędzi wynosi 2zł za opakowanie, a dochód Henia to 33zł. Henia stać na koszyk konsumpcyjny składający się z A opakowań żołędzi oraz B opakowań kasztanów, który spełnia równanie linii ograniczenia budżetowego:

a) 2A + 11B =33;

b) 4A + 18B = 66;

c) 4A + 9B = 33;

d) 2A + 13B = 35;

e) żadne z powyższych.

Linia ograniczenia budżetowego Henia w sytuacji nabywania 3 opakowań żołędzi i 3 opakowań kasztanów jest postaci 2×3 + p_B×3 = 33, z czego możemy wyliczyć p_B = 9. Zatem ogólne równanie jego ograniczenia budżetowego będzie miało postać 2A + 9B = 33. Wśród sugerowanych odpowiedzi nie ma tej postaci równania lecz jedynie równanie 4A + 18B = 66, które powstaje po pomnożeniu równania podstawowego przez 2, co oczywiście nie zmienia przebiegu linii ograniczenia budżetowego.

1C. Beata wydaje cały swój budżet na konsumpcję 4 jednostek dobra x oraz 2 jednostek dobra y. Cena dobra x jest dwa razy większa od ceny y. W czasie gdy jej dochód wzrósł dwukrotnie, cena dobra y również wrosła dwukrotnie, natomiast cena dobra x nie zmieniła się. Jeżeli zamierza ona nadal kupować 2 jednostki dobra y, to jaka jest maksymalna liczba jednostek dobra x, którą może ona nabyć?

a) 8;

b) 4;

c) 10;

d) 12;

e) Brak wystarczających informacji aby odpowiedzieć na to pytanie.

Początkową linię ograniczenia budżetowego Beaty możemy zapisać jako: 2p_yx + p_yy = m, gdzie m = 2p_y × 4 + p_y × 2 = 10p_y . Po podzieleniu przez p_y otrzymamy 2x + y = 10. Jeżeli jej dochód oraz cena dobra y wzrośnie dwukrotnie, a cena dobra x nie zmieni się to równanie ograniczenia budżetowego przyjmie postać: 2x +2y = 20 czyli x + y = 10. Jeżeli Beata zamierza nadal kupować dwie jednostki dobra y to maksymalnie będzie mogła nabyć 8 jednostek dobra x.

1D. Twoje ograniczenie budżetowe dla dwu dóbr A i B ma postać 30A + 5B = I, gdzie I jest twoim dochodem. Obecnie konsumujesz więcej niż 72 jednostki dobra B. Jak dużo jednostek dobra B oddałbyś, aby otrzymać 4 dodatkowe jednostki dobra A?

a) 0,17;

b) 0,04;

c) 6;

d) 24;

e) żadne z powyższych.

Na podstawie ograniczenia budżetowego widać, iż dobro A jest 6 razy droższe niż dobro B, zatem, aby otrzymać 4 dodatkowe jednostki dobra A muszę oddać 24 jednostki dobra B.

1E. Klarę stać na 19 jednostek grejpfrutów i 5 jednostek mandarynek, jeśli wydaje na nie cały swój dochód. Inny koszyk na jaki ją stać to 3 jednostki grejpfrutów i 9 jednostek mandarynek, gdy wydaje cały swój dochód. Jednostkowa cena grejpfrutów wynosi 5 franków. Ile wynosi dochód Klary?

a) 198 franków;

b) 200 franków;

c) 195 franków;

d) 186 franków;

e) Żadne z powyższych.

Wiemy, że dochód Klary pozwala jej nabyć m.in. koszyk (19, 5) oraz koszyk (3, 9). Z porównania konsumpcji grejpfrutów i mandarynek w tych dwu koszykach możemy stwierdzić, że redukując konsumpcję grejpfrutów o 16 Klara może zwiększyć konsumpcję mandarynek o 4. Oznacza to, że mandarynki są 4 razy droższe od grejpfrutów, a zatem ich cena wynosi 20 franków. W takiej sytuacji dochód Klary wynosi 5×3 + 20×9 = 195 franków.

1F. W pewnym roku ceny dóbr x i y wzrosły dwukrotnie, a dochód Błażeja wzrósł trzykrotnie. Jeżeli linia budżetu jest narysowana w układzie współrzędnych, w którym ilość dobra x jest odłożona wzdłuż osi poziomej, zaś ilość dobra y wzdłuż osi pionowej, to:

a) musiała ona stać się bardziej stroma i przesunąć na zewnątrz układu;

b) musiała ona stać się bardziej płaska i przesunąć na zewnątrz układu;

c) musiała ona stać się bardziej płaska i przesunąć do początku układu współrzędnych;

d) musiała ona przesunąć się równolegle do początku układu współrzędnych;

e) żadne z powyższych.

W sytuacji kiedy dochód rośnie czy ceny obu dóbr rosną o tyle samo, nie zmienia się relacja pomiędzy cenami dóbr, czyli mamy do czynienia z równoległym przesunięciem linii ograniczenia budżetowego. Wzrost dochodu oznacza przesunięcie w kierunku przeciwnym do początku układu współrzędnych, a wzrost cen przesunięcie w kierunku do początku układu współrzędnych. W opisanej sytuacji dochód rośnie trzykrotnie, a ceny dóbr rosną dwukrotnie, zatem zbiór budżetowy powiększa się, czyli przesunięcie następuje w kierunku przeciwnym do początku układu współrzędnych.

2A. Krzywe obojętności Dawida są okręgami, o środku znajdującym się w punkcie (19,19). Wśród dowolnie wybranych dwu krzywych obojętności, Dawid wolałby być raczej na wewnętrznej krzywej niż na zewnętrznej. Które z następujących stwierdzeń jest prawdziwe?

a) Preferencje Dawida nie są zupełne (nie są kompletne).

b) Dawid preferuje (23, 27) w stosunku do (17, 14).

c) Dawid preferuje (17, 26) w stosunku do (17, 14).

d) Dawid preferuje (17, 15) w stosunku do (24, 24).

e) Więcej niż jedno stwierdzenie jest prawdziwe.

Jeśli krzywe obojętności są okręgami o środku znajdującym się w punkcie (19, 19) i wewnętrzne krzywe są preferowane od zewnętrznych to punkt (19, 19) jest błogostanem. Zatem każdy punkt znajdujący się bliżej punktu błogostanu jest preferowany w stosunku do punktu znajdującego się dalej od punktu błogostanu. Wśród wymienionych w odpowiedziach koszyków jedynie koszyk (17, 15) leży bliżej błogostanu niż koszyk (24, 24). W obliczeniach możemy posługiwać się wzorem

, gdzie d oznacza odległość pomiędzy dwoma punktami.

2B. Jeżeli są tylko dwa dobra oraz jeżeli więcej dobra pierwszego jest zawsze preferowane niż mniej i mniej dobra drugiego jest zawsze preferowane niż więcej, to:

a) krzywe obojętności muszą być wypukłe w stosunku do początku układu współrzędnych

b) nachylenie krzywych obojętności jest dodatnie.

c) krzywe obojętności mogą się przecinać.

d) krzywe obojętności mogą przyjąć kształt elips.

e) żadne z powyższych.

W tej sytuacji dobro pierwsze jest dobrem chcianym (zwiększającym użyteczność wraz ze wzrostem konsumpcji), a dobro drugie jest dobrem niechcianym (zmniejszającym użyteczność wraz ze wzrostem konsumpcji). Oznacza to, że krzywe obojętności muszą być dodatnio nachylone i dla dowolnego poziomu konsumpcji dobra drugiego zwiększając konsumpcję dobra pierwszego zwiększamy użyteczność.

2C. Powiadamy, że preferencje są monotoniczne, jeżeli:

1. wszystkie dobra są konsumowane w stałej proporcji.

1. wszystkie dobra są doskonałymi substytutami.

1. większa konsumpcja oznacza lepiej dla konsumenta.

1. mamy do czynienia z malejącą krańcową stopą substytucji.

1. żadne z powyższych.

Preferencje są monotoniczne jeżeli spełniona jest następująca własność. Jeżeli z dwu koszyków (x₁, x₂) oraz (y₁, y₂), koszyk (y₁, y₂) jest koszykiem dóbr zawierającym przynajmniej tyle samo bądź więcej obydwu dóbr niż koszyk (x₁, x₂), to wówczas koszyk (y₁, y₂) jest preferowany w stosunku do koszyka (x₁, x₂), czyli (y₁, y₂)
(x₁, x₂). W skrócie oznacza to, że „więcej jest lepiej”, czyli większa konsumpcja oznacza lepiej dla konsumenta.

2D. Jeżeli dwa dobra są doskonale komplementarne:

a) to istnieje punkt nasycenia i krzywe obojętności otaczają ten punkt.

b) konsumenci będą tylko kupować tańsze z tych dwu dóbr.

c) na preferencje konsumentów wpływają wybory dokonywane przez innych.

d) krzywe obojętności mają dodatnie nachylenie.

e) żadne z powyższych.

Jeżeli dobra są doskonale komplementarne, to krzywe obojętności przypominają literę L, ale nie oznacza to automatycznie, że istnieje punkt nasycenia, czy że krzywe obojętności mają dodatnie nachylenie. Tym bardziej dla dóbr doskonale komplementarnych konsument nie może nabywać jedynie tańszego z dóbr (komplementarność oznacza uzupełnianie się) czy sugerować się wyborami innych. Dlatego „żadne z powyższych” jest prawidłową odpowiedzią.

2E. Andzia Kujonica uczęszcza na wykłady z komunikacji u prof. Złoteserce, który przy wystawianiu oceny końcowej bierze pod uwagę tylko wyższą z ocen z kolokwiów cząstkowych, oraz na wykłady z ekonomii u prof. Srogiego, który przy wystawianiu oceny końcowej bierze pod uwagę tylko niższą z ocen z kolokwiów cząstkowych. Na jednym z tych przedmiotów Andzia otrzymała 3,5 z pierwszego kolokwium oraz 5 z drugiego. Jeżeli narysujemy krzywą obojętności Andzi przechodzącą przez tą kombinację ocen w układzie współrzędnych, w którym ocenę z pierwszego kolokwium odkładamy wzdłuż osi poziomej, zaś ocenę z drugiego kolokwium wzdłuż osi pionowej, to okaże się, że krzywa obojętności będzie pozioma w punkcie (3,5; 5). Oznacza to, że:

a) Andzia mogła otrzymać te oceny z komunikacji, ale nie mogła ich otrzymać z ekonomii;

b) Andzia mogła otrzymać te oceny z ekonomii, ale nie mogła ich otrzymać z komunikacji;

c) Andzia mogła otrzymać te oceny z komunikacji, ale równie dobrze mogła je otrzymać z ekonomii;

d) Andzia nie mogła otrzymać tych ocen ani z komunikacji, ani z ekonomii;

e) żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

Ponieważ w punkcie (3,5; 5) krzywa obojętności Andzi jest pozioma oznacza to, że jej preferencje muszą być opisane funkcją użyteczności U(x₁, x₂) = max{x₁, x₂}, bo tylko wtedy gdy x₂ > x₁
U(x₁, x₂) = x₂. W sytuacji Andzi 5 > 3,5 zatem U(x₁, x₂) = 5, zatem krzywa obojętności jest pozioma w punkcie (3,5; 5), co oznacza, że Andzia mogła otrzymać te oceny z komunikacji, ale nie mogła ich otrzymać z ekonomii.

2F. Krzywe obojętności Czesława mają równanie x_B = K/x_A, gdzie x_A oznacza jego konsumpcję antonówek, x_B konsumpcję bananów, a im większa wartość stałej K, określającej położenie danej krzywej obojętności, tym lepiej dla Czesława. Wynika z tego, że Czesław ściśle preferuje koszyk (5, 13) względem:

a) koszyka (13, 5);

b) koszyka (6, 12);

c) koszyka (9, 12);

d) więcej niż jednego spośród powyższych koszyków;

e) żadnego z powyższych koszyków.

Przekształcając równanie krzywej obojętności otrzymamy x_A,x_B = K, gdzie większe K oznacza wyższe zadowolenie z konsumpcji danego koszyka. Zatem dla koszyka (5, 13) K wynosi 65 i żaden z sugerowanych koszyków nie daje zadowolenia z konsumpcji na mniejszym poziomie, czyli że w stosunku do „żadnego z powyższych koszyków” koszyk (5, 13) nie jest ściśle preferowany.

3A. Żaneta konsumuje dobra x₁ i x₂ zawsze w stałej proporcji: dwie jednostki x₁ na każdą jednostkę x₂. Funkcja użyteczności, opisująca jej preferencje, ma postać:

a) U(x₁, x₂) = 2x₁x₂;

b) U(x₁, x₂) = 2x₁ + x₂;

c) U(x₁, x₂) = x₁ + 2x₂;

d) U(x₁, x₂) = min{2x₁; x₂};

e) U(x₁, x₂) = min{x₁; 2x₂}.

Ponieważ Żaneta konsumuje oba dobra w stałej proporcji, więc te dwa dobra są dla niej dobrami doskonale komplementarnymi, zaś ulubioną proporcję konsumpcji możemy zapisać jako:

Wymnażając powyższe równanie „na krzyż,” otrzymujemy równoważne równanie postaci x₁ = 2x₂. Jest to równanie linii wzdłuż której położone są wierzchołki krzywych obojętności, zaś funkcja użyteczności Żanety ma postać U(x₁, x₂) = min{x₁; 2x₂}.

3B. Czarek posiada funkcję użyteczności postaci U (x, y) = xy. Funkcja użyteczności Ani ma postać U (x, y) = 1.000xy. Diana ma funkcję użyteczności U (x, y) = −xy, a Elżbieta U (x, y) = -1/(xy). Ferdynand szczyci się funkcją użyteczności U (x, y) = xy -10.000, a Małgorzata U (x, y) = x / y, gdy preferencje Filipa charakteryzuje funkcja U (x, y) = x (y + 1). (Oba dobra, x i y, są bardzo drogimi dobrami. Spekulacje na temat tego, co to za dobra, pozostawiamy tobie.) Które z tych osób posiadają takie same preferencje jak Czarek?

a) Każdy z wyjątkiem Diany.

b) Ania i Ferdynand.

c) Ania, Ferdynand i Elżbieta.

d) Żadna z nich.

e) Wszystkie z nich.

Mówimy, że dwie funkcje użyteczności opisują takie same preferencje, jeżeli jedna z nich jest dodatnią monotoniczną transformacją drugiej (na mocy własności użyteczności porządkowej). Zatem w stosunku do funkcji użyteczności Czarka (nazwijmy ją v) funkcja użyteczności Ani to U(v) = 1000v, a U'(v) = 1000 > 0, czyli jest dodatnią monotoniczną transformacją. Funkcja użyteczności Diany to U(v) = −v, a U'(v) = −1 < 0, czyli nie jest dodatnią monotoniczną transformacją. Funkcja użyteczności Elżbiety to U(v) = −1/v, a U'(v) = 1/v² > 0, czyli jest dodatnią monotoniczną transformacją. Funkcja użyteczności Ferdynanda to U(v) = v − 10000, a U'(v) = 1>0 czyli jest dodatnią monotoniczną transformacją. Funkcja użyteczności Małgorzaty i Filipa są zaś już zupełnie innymi funkcjami, nie będącymi .transformacją funkcji użyteczności Czarka.

3C. Funkcja użyteczności Bena ma postać U (x, y) = 29xy. Ben posiada 12 jednostek dobra x oraz 6 jednostek dobra y. Funkcja użyteczności Luke'a względem tych samych dwóch dóbr ma postać V(x, y) = 5x + 2y. Luke posiada 8 jednostek dobra x oraz 13 jednostek dobra y.

1. Ben wolałby koszyk Luke'a od swojego koszyka, lecz Luke woli swój koszyk od koszyka Bena.

1. Luke wolałby koszyk Bena od swojego koszyka, lecz Ben woli swój koszyk od koszyka Luke'a.

1. Każdy z nich wolałby koszyk drugiego od własnego koszyka.

1. Żaden z nich nie woli koszyka drugiego od własnego koszyka.

1. Ponieważ mają różne preferencje, zatem nie mamy dostatecznej informacji aby określić kto komu zazdrości.

Użyteczność Bena z konsumpcji własnego koszyka wynosi U (12, 6) = 29×12×6= 2088, a użyteczność z konsumpcji koszyka Luke'a wynosi U (8, 13) = 29×8×13= 3016. Użyteczność Luke'a z konsumpcji własnego koszyka wynosi V(8, 13) = 5×8 + 2×13= 66, a z konsumpcji koszyka Bena wynosi V(12, 6) = 5×12 + 2×6= 72. Zatem każdy z nich wolałby koszyk drugiego od własnego koszyka.

3D. Funkcja użyteczności Matyldy ma postać U (x, y) =y + 4x^1/2. Matylda posiada 25 jednostek dobra x i 12 jednostek dobra y. Jeżeli ograniczymy konsumpcję dobra x przez Matyldę do zera, to ile jednostek dobra y powinna ona konsumować, aby była dokładnie tak samo zadowolona jak poprzednio?

a) 48.

b) 37.

c) 32.

d) 112.

e) Żadne z powyższych.

Początkowa użyteczność Matyldy z konsumpcji koszyka (25, 12) wynosi U (25,12) = 12 + 4(25)^1/2 = 32. Zatem, jeżeli Matylda zrezygnowałaby całkowicie z konsumpcji dobra x to musiałaby konsumować 32 jednostki dobra y, aby pozostać na tym samym poziomie użyteczności.

3E. Preferencje Zuzi reprezentuje funkcja użyteczności postaci U(x, y) = 6x + 2y. Zuzia konsumuje obecnie 19 jednostek dobra x i 7 jednostek dobra y. Jeżeli obniżymy konsumpcję dobra x przez Zuzię do 12 jednostek, to ile jednostek dobra y musimy jej dać, aby była ona zadowolona dokładnie tak samo jak poprzednio?

a) 32 jednostki;

b) 35 jednostek;

c) 28 jednostek;

d) 8 jednostek;

e) Żadne z powyższych.

Początkowa użyteczność Zuzi z konsumpcji koszyka (19, 7) wynosi U(19, 7) = 6×19 + 2×7 = 128. Zatem, jeżeli obniżymy konsumpcję x do 12, to wielkość y potrzebna do zagwarantowania użyteczności na poziomie 128 wyniesie y = (128 − 6x)/2 = 64 − 36 = 28.

3F. Funkcja użyteczności Dawida ma postać U(x, y) = xy. Dawid konsumuje obecnie 8 jednostek dobra x i 40 jednostek dobra y.

a) Dawid byłby skłonny wymienić trochę dobra x na dobro y, gdyby relacja wymiany pomiędzy tymi dobrami wynosiła 5 do 1;

b) Dawid byłby skłonny wymienić całą posiadaną ilość dobra x na dobro y, pod warunkiem że relacja wymiany pomiędzy tymi dobrami wynosi 5 do 1;

c) Dawid lubi tak samo dobro x jak dobro y, zatem zawsze będzie skłonny wymienić jednostkę któregokolwiek z tych dóbr na więcej niż jednostkę drugiego dobra;

d) Dawid będzie skłonny wymieniać oba dobra przy dowolnych cenach, pod warunkiem że nie posiada równych ilości obu dóbr;

e) Żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

Krańcowa stopa substytucji (MRS) dla Dawida w punkcie (8, 40) wynosi MRS (8, 40) =
. Zatem wiedząc, że MRS oznacza relację zamiany dobra y w stosunku do dobra x Dawid byłby skłonny wymienić trochę dobra x na dobro y, gdyby relacja wymiany pomiędzy tymi dobrami wynosiła 1 do 5. Dlatego żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

4A. Edek nie konsumuje niczego innego poza Złotym Królem i EB. Jego roczny budżet na te dwa dobra opisuje równanie 30x + 5y = 300, gdzie x oznacza liczbę skrzynek Złotego Króla, a y liczbę czteropaków EB. Edek uważa dwie skrzynki Złotego Króla za doskonały substytut dziesięciu czteropaków EB. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?

a) Edek będzie konsumował 60 czteropaków EB rocznie;

b) Edek będzie konsumował 10 skrzynek Złotego Króla rocznie;

c) Edek będzie konsumował 14 skrzynek Złotego Króla rocznie;

d) Edek będzie konsumował 12 czteropaków EB rocznie;

e) Wszystkie koszyki, na które wydaje cały swój budżet, uważa za tak samo dobre.

Ponieważ dla Edka Złoty Król i EB są doskonałymi substytutami, zatem będzie on konsumował tylko relatywnie tańsze z dóbr!

Gdyby Edek wydał cały swój dochód na Złotego Króla, to przy jego ograniczeniu budżetowym stać by go było na 10 skrzynek. Edek uważa dwie skrzynki Złotego Króla za doskonały substytut dziesięciu czteropaków EB, zatem 10 skrzynek Złotego Króla jest dla niego tak samo dobre jak 50 czteropaków EB. Jednak gdyby wydał cały swój dochód na EB, to mógłby zakupić aż 60 czteropaków i to będzie jego optymalna konsumpcja.

4B. Wanda Małolepsza ma funkcję użyteczności postaci U (x, y) = x + 54y − 2y². Jej dochód wynosi 179. Jeśli cena dobra x jest równa 1, a cena dobra y wynosi 18, to ile jednostek dobra x zakupi Wanda?

a) 16,

b) 20,

c) 26,

d) 1,

e) 17.

Warunek styczności Wandy ma postać:

.

Możemy z niego wyznaczyć konsumpcję dobra y w optimum wewnętrznym:

54 − 4y = 18 ⇒ y* =
= 9.

Równanie ograniczenia budżetowego Wandy ma postać x + 18y = 179. Podstawiając za y optymalną konsumpcję tego dobra, możemy wyznaczyć popyt Wandy na dobro x:

x* = 179 − 18×9 = 17.

4C. Funkcja użyteczności Gerwazego ma postać U (x, y) = (x + 2)(y + 1). Cena dobra x wynosi 1 i cena dobra y wynosi 1. Gdy Gerwazy maksymalizuje użyteczność przy swoim ograniczeniu budżetowym, wybiera dodatnie ilości obu dóbr. Wynika z tego, że:

a) Gerwazy konsumuje dokładnie tyle samo dobra x, co y;

b) Gerwazy konsumuje o jednostkę dobra x więcej niż y;

c) Gerwazy konsumuje o jednostkę dobra y więcej niż x;

d) Gerwazy konsumuje o dwie jednostki dobra x więcej niż y;

e) Żadna z powyższych odpowiedzi nie jest prawidłowa.

Ponieważ Gerwazy przy swoim ograniczeniu budżetowym wybiera dodatnie ilości obu dóbr, czyli, innymi słowy, mamy do czynienia z optimum wewnętrznym, zatem warunek styczności musi być spełniony. Przyjmuje on w przypadku Gerwazego postać:

.

Wymnażając powyższe równanie „na krzyż,” a następnie odejmując od obu stron 1, otrzymujemy:

y + 1 = x + 2 ⇒ y = x + 1,

czyli Gerwazy konsumuje o jednostkę dobra y więcej niż x.

4D. Izabela spożywa dodatnie ilość dżemu truskawkowego i soku pomarańczowego. Cena dżemu wynosi 50 gr. za słoik, a cena soku to 1 zł za karton. Jej krańcowa użyteczność z konsumpcji dżemu wynosi 100, a jej krańcowa użyteczność z konsumpcji soku wynosi 50.

a) Nie zmieniając swoich całkowitych wydatków, Izabela jest w stanie osiągnąć wyższą użyteczność ograniczając konsumpcję soku, a zwiększając spożycie dżemu;

b) Nie zmieniając swoich całkowitych wydatków, Izabela jest w stanie osiągnąć wyższą użyteczność ograniczając konsumpcję dżemu, a zwiększając spożycie soku;

c) Nie zmieniając swoich całkowitych wydatków na dżem i sok, Izabela nie jest w stanie osiągnąć wyższej użyteczności;

d) Zadania tego nie można rozwiązać, nie znając obecnego koszyka konsumpcji Izabeli;

e) Izabela może wydać więcej pieniędzy na dżem i sok.

Do znalezienia odpowiedzi do tego zadania (jak również do jej zrozumienia) pomocny jest rysunek. Załóżmy, że dżem jest dobrem 1, zaś sok - dobrem 2. Ponieważ cena dżemu stanowi połowę ceny soku, zatem nachylenie linii budżetu Izabeli wynosi (w wartości bezwzględnej) 0,5. Krańcowa użyteczność z konsumpcji dżemu wynosi 100, a jej krańcowa użyteczność z konsumpcji soku wynosi 50, zatem nachylenie krzywej obojętności przechodzącej przez koszyk, w którym aktualnie „znajduje się” Izabela, wynosi (w wartości bezwzględnej) 2. Krzywa obojętności jest zatem bardziej stroma od linii budżetu i przecina ją, zaś koszyki lepsze od tego, który obecnie posiada Izabela, położone są na linii budżetu na prawo od aktualnego koszyka. Izabela może zatem przejść na wyższą krzywą obojętności zwiększając konsumpcję dżemu i ograniczając konsumpcję soku. (Bardzo ładnie widać to na wykresie!)

4E. Horacy ma funkcję użyteczności postaci U(x, y) = x − 1/y. Jego dochód wynosi 300 drachm.

a) Horacy nie lubi dobra y;

b) Horacy ma błogostan;

c) Jeśli cena dobra x wynosi 4 drachmy, a jednostka dobra y kosztuje 1 drachmę, to Horacy zakupi 2 jednostki dobra y;

d) Horacy zakupi dobro y tylko wtedy, gdy będzie ono tańsze od dobra x;

e) Żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

Pierwsza odpowiedź jest błędna, ponieważ krańcowa użyteczność z konsumpcji dobra y jest dodatnia:

,

czyli każda dodatkowa jednostka dobra y przynosi Horacemu dodatkową użyteczność. (Odpowiedź druga z tego powodu jest również błędna, gdyż każdy wzrost konsumpcji dobra y przynosi dodatkową satysfakcję; odpowiedź czwarta jest także nieprawidłowa, gdyż dobra te nie są doskonałymi substytutami.)

Jeżeli ceny obu dóbr przyjmują wartości podane w podpunkcie c), to warunek styczności Horacego będzie mia postać:

.

Pierwiastkując powyższe równanie stronami, otrzymujemy y* = 2.

4F. Jak być może wiesz, każdy Mungoitanin ma dwie lewe stopy i jedną prawą. Buty są dla nich dobrami doskonale komplementarnymi. Mungoitanie uważają buty za użyteczne nie parami, lecz “trójkami” złożonymi z dwóch butów lewych i jednego prawego. Cena każdego pojedynczego buta (a nie pary butów!) wynosi 10 dolarów. Jeżeli literą M oznaczymy kwotę wydatkowaną przez Mungoitanina na buty, zaś literą P liczbę prawych butów, to funkcję popytu Mungoitanina na prawe buty możemy zapisać jako:

a) P = M/30;

b) P = M − 10;

c) P = 2M;

d) P = 10M;

e) P = M/10.

Każdy Mugoitanin zakupuje buty lewe i buty prawe w proporcji 2 do 1:
, z czego wynika, że L = 2P.

Równanie ograniczenia budżetowego Mungoitanina ma postać 10L + 10P = M. Podstawiając za L do równania ograniczenia budżetowego 2P, otrzymujemy 20P + 10P = M ⇒
.

5A. Marysia zakupuje tylko dwa dobra. Jej preferencje są preferencjami typu Cobba-Douglasa. Która z niżej wymienionych właściwości charakteryzuje jej funkcje popytu?

a) Popyt Marysi na jedno z dóbr nie zależy od dochodu;

b) Popyt Marysi na żadne z dóbr nie zależy od dochodu;

c) Popyt Marysi na każde z dóbr zależy od dochodu i cen obu dóbr;

d) Popyt Marysi na każde z dóbr zależy od dochodu i ceny tego dobra;

e) Jedno z dóbr jest dobrem poślednim, a drugie jest dobrem normalnym.

Ogólna postać funkcji użyteczności typu Cobba-Douglasa jest następująca:
, gdzie A, c i d są dodatnimi stałymi. Odpowiadające jej funkcje popytu mają postać:
(wyprowadzenie: patrz notatki z wykładu); jakim widać popyt na każde z dóbr zależy od dochodu i ceny tego dobra, a nie zależy od ceny drugiego dobra.

5B. Która z poniższych funkcji użyteczności NIE reprezentuje preferencji jednokładnych?

a) U(x, y) = xy;

b) U(x, y) = x + 2y;

c) U(x, y) = x + ;

d) U(x, y) = min{x; y};

e) więcej niż jedna z wyżej podanych.

Jak pamiętamy z wykładu (i co było również podane na kartce z podstawowymi właściwościami preferencji omówionych na wykładzie z mikroekonomii), preferencje względem doskonałych substytutów (b), preferencje względem dóbr doskonale komplementarnych (d) i preferencje typu Cobba-Douglasa (a) są preferencjami jednokładnymi. Ich obrazem są krzywe obojętności wzajemnie jednokładne względem początku układu współrzędnych.

Preferencjami jednokładnymi nie są jednak preferencje quasi-liniowe, zatem odpowiedź c) jest prawidłowa.

5C. Funkcja użyteczności Kasi Kwazy ma postać U (x₁, x₂) = 4 ln x₁ + x₂. Przy pewnym dochodzie i cenach bieżących konsumuje 35 jednostek dobra pierwszego i 5 jednostek dobra drugiego. Jeśli jej dochód wzrośnie dwukrotnie, podczas gdy ceny nie ulegną zmianie, ile jednostek dobra pierwszego będzie konsumować po zmianie dochodu?

a) 70;

b) 66;

c) 35;

d) 17,5;

e) Nie mamy dostatecznej ilości informacji, aby odpowiedź na to pytanie.

Kasia konsumuje dodatnie ilości obu dóbr; koszyk (35, 5) stanowi zatem optimum wewnętrzne, w którym musi obowiązywać warunek styczności:

.

Ponieważ Kasia ma preferencje quasi-liniowe, zatem jej popyt na dobro 1 możemy wyznaczyć z samego warunku styczności. Skoro ceny dóbr nie zmieniają się, nie zmienia się nachylenie linii budżetu ani, tym samym, warunek styczności (preferencje konsumentki są stałe z założenia!). Dochód rośnie więc ten sam warunek styczności musi obowiązywać nadal (gdyby spadał, konsumentka mogłaby znaleźć się w optimum brzegowym, gdzie warunek styczności nie obowiązuje), z którego wynika taka sama konsumpcja dobra 1 jak na początku.

5D. Preferencje Marysi są jednokładne. Gdy dochód Marysi wynosił 1000 dolarów, nabywała ona 40 książek i 60 gazet miesięcznie. Gdy jej dochód wzrósł do 1500 dolarów, zaś ceny dóbr nie uległy zmianie, Marysia postanowiła nabywać:

a) 60 książek i 90 gazet miesięcznie;

b) 80 książek i 120 gazet miesięcznie;

c) 60 książek i 60 gazet miesięcznie;

d) 40 książek i 120 gazet miesięcznie;

e) nie posiadamy dostatecznej informacji, aby to określić.

Jeżeli konsument ma preferencje jednokładne, to jego popyt na każde z dóbr jest proporcjonalny do dochodu przy ustalonych cenach. W przypadku Marysi, ceny dóbr nie zmieniają się, jej dochód rośnie o 50%, zatem jej popyt na książki i gazety wzrośnie również o 50%, czyli do 60 książek i 90 gazet miesięcznie.

5E. Henio ma 10 dolarów do wydania na Coca-Colę i Pepsi, które uważa za doskonałe substytuty. Puszka Coca-Coli kosztuje 60 centów, puszka Pepsi 50 centów, a Henio ma jeszcze 20 kuponów rabatowych, każdy z których upoważnia go do nabycia puszki Coca-Coli za 40 centów. Który z poniższych koszyków zakupi Henio?

a) 20 puszek Pepsi i ani jednej Coca-Coli;

b) 16
puszki Coca-Coli i ani jednej Pepsi;

c) 10 puszek Coca-Coli i 8 puszek Pepsi;

d) 10 puszek Coca-Coli i 12 puszek Pepsi;

e) Żaden z powyższych.

Pierwsze 20 puszek Coli (przy zakupie których Henio wykorzystuje kupony rabatowe) kosztuje Henia 40 centów za sztukę, każda kolejna puszka kosztuje 60 centów; cena każdej puszki Pepsi wynosi 50 centów. Ponieważ dla Henia Coca-Cola i Pepsi są doskonałymi substytutami, zatem będzie on kupował tylko tańsze z dóbr. Henio zakupi więc 20 puszek Coli, wykorzystując wszystkie kupony rabatowe, co będzie kosztowało go 8 dol., a za pozostałe 2 dol. zakupi 4 puszki Pepsi.

5F. Wicek nieoczekiwanie otrzymuje w spadku po bogatym wujku 50 000 zł. Zaobserwowano, że Wicek konsumuje teraz mniej hamburgerów niż zwykł spożywać poprzednio. Wnioskujemy z tego, że

a) hamburgery są dla Wicka dobrem Giffena;

b) hamburgery są dla Wicka dobrem normalnym;

c) jego krzywa Engla jest pionowa;

d) jego krzywa Engla jest pozioma;

e) preferencje Wicka nie są jednokładne.

Ponieważ konsumpcja hamburgerów przez Wicka spada wraz ze wzrostem dochodu, zatem hamburgery są dla niego dobrem poślednim (niższego rzędu), a nie normalnym (odpowiedź druga jest błędna). Nie wiemy jednak czy hamburgery są dla niego dobrem Giffena. Chociaż każde dobro Giffena musi być dobrem poślednim, to jednak przeciwna zależność nie jest prawdziwa: nie każde dobro poślednie jest dobrem Giffena, a w treści zadania nie ma dostatecznej informacji, aby to stwierdzić (odpowiedź pierwsza nie jest prawidłowa).

Nie jest prawdziwe również stwierdzenie zawarte w odpowiedzi trzeciej: pionowa krzywa Engla oznacza, że konsumpcja dobra nie zależy od dochodu, zaś konsumpcja Henia spada wraz ze wzrostem dochodu. Odpowiedź czwarta implikuje doskonałą elastyczność popytu na hamburgery względem dochodu i jest także nieprawidłowa.

Jednokładność preferencji oznacza, że konsumpcja dobra jest proporcjonalna do dochodu; w przypadku Henia konsumpcja hamburgerów spada przy wzroście dochodu, zatem stwierdzenie zawarte w podpunkcie e) jest prawdziwe.

6A. Gdy cena bananów wynosi 50 centów, popyt rynkowy jest równy 100 funtów. Jeżeli elastyczność cenowa popytu na banany jest równa −2, to ile wyniesie popyt, gdy cena wzrośnie do 60 centów za funt?

a) 50;

b) 90;

c) 60;

d) 80;

e) 70.

Elastyczność cenowa popytu z definicji oznacza procentową zmianę popytu przy wzroście ceny o 1%. Jeżeli elastyczność cenowa popytu na banany jest równa −2, to przy wzroście ceny bananów o 1%, popyt na nie spadnie o 2%; zatem gdy cena rośnie o 20% (z 50 centów do 60 centów), popyt spadnie o 40%, czyli ze 100 funtów do 60 funtów.

6B. Dr Gen odkrył metodę klonowania konsumentów. Swojego pierwszego eksperymentu dokonał na mieszkańcach Wymysłów. Każdy mieszkaniec został sklonowany, a jego klon ma taki sam dochód i preferencje jak “oryginał.” Które z poniższych stwierdzeń opisuje, co się stało z popytem na szprotki w puszce w Wymysłach?

a) Elastyczność popytu wzrosła dwukrotnie, a nachylenie krzywej popytu nie zmieniło się.

b) Elastyczność popytu nie zmieniła się przy żadnej cenie.

c) Elastyczność popytu wzrosła dwukrotnie i nachylenie krzywej popytu wzrosło dwukrotnie.

d) Elastyczność popytu spadła o połowę, a nachylenie krzywej popytu nie zmieniło się.

e) Żadne z powyższych.

Oznaczmy przez q₀(p) początkową funkcję popytu mieszkańców Wymysłów, zaś przez q₁ = 2q₀(p) nową funkcję popytu. Z definicji, elastyczność cenowa popytu jest równa:

.

Zatem elastyczność cenowa nowej funkcji popytu wynosi

.

6C. Kwintal to 0,1 tony. Jeśli elastyczność cenowa popytu na pszenicę wynosi −0,5 gdy jednostką miary pszenicy jest kwintal, to gdy będziemy mierzyć pszenicę w tonach, cenowa elastyczność popytu wyniesie:

a) −0,05;

b) −5;

c) −1;

d) −0,5;

e) żadna z powyższych.

Elastyczność cenowa popytu to stosunek względnej zmiany popytu do względnej zmiany ceny i dzięki temu nie zależy od jednostek miary popytu ani od jednostek pieniężnych, w jakich mierzymy ceny. Zmiana jednostek z kwintali na tony nie powoduje zatem zmiany elastyczności cenowej popytu.

6D. Antoś, Jaś i Zdziś są nabywcami pił łańcuchowych. Funkcja popytu Antosia to Q_A = 520 − 13P, funkcja popytu Jasia Q_J = 40 − P, a funkcja popytu Zdzisia to Q_Z = 200 − 5P. Są oni jedynymi konsumentami zgłaszającymi popyt na piły łańcuchowe. Przy jakiej cenie elastyczność cenowa popytu rynkowego wynosi −1?

a) 19;

b) 20;

c) 25;

d) 15;

e) Żadne z powyższych.

Zauważmy, że punkt przecięcia krzywej popytu z osią pionową każdego z konsumentów występuje przy cenie równej 40. Gdy P > 40, to żaden z konsumentów nie zakupi ani jednej piły; gdy P < 40, wszyscy konsumenci będą zgłaszać popyt na rynku. Aby wyznaczyć zagregowaną (rynkową) funkcję popytu, wystarczy zatem dodać do siebie indywidualne funkcje popytu:

Q = Q_A + Q_J + Q_Z = 760 − 19P.

Elastyczność cenowa popytu rynkowego ma więc postać:

.

Przyrównując powyższą elastyczność do −1 i rozwiązując otrzymane równanie względem P otrzymujemy cenę 20.

6E. Jeśli funkcja popytu na bilety na mecz koszykówki ma postać q = 1100 −55p, przy jakiej cenie będzie maksymalizowany przychód ze sprzedaży biletów?

a) 40;

b) 20;

c) 10;

d) 5;

e) żadnej z powyższych.

Przychód ze sprzedaży biletów będzie maksymalizowany w punkcie, w którym elastyczność cenowa popytu wynosi −1. Elastyczność cenowa podanej funkcji popytu ma postać:

.

Przyrównując powyższą elastyczność do −1 i rozwiązując otrzymane równanie względem p otrzymujemy cenę 10.

6F. Przy cenie 200 turyści zgłaszają popyt na 779 biletów lotniczych. Przy tej samej cenie biznesmeni, podróżujący służbowo, zgłaszają popyt na 671 biletów. Przy cenie 210 turyści zgłaszają popyt na 619 biletów, zaś biznesmeni na 541 biletów. Zakładając, że funkcje popytu turystów i biznesmenów są liniowe, ile wynosi elastyczność cenowa rynkowego (łącznego) popytu na bilety przy cenie równej 200?

a) −4;

b) −20;

c) −5,89;

d) −0,02;

e) żadna z powyższych.

Przy cenie 200 popyt rynkowy wynosi 1450 (779 ze strony turystów plus 671 ze strony biznesmenów); przy cenie 210 popyt spada do 1160 (619 ze strony turystów i 541 ze strony biznesmenów), czyli o 290 biletów. Elastyczność cenowa popytu rynkowego wynosi zatem:

.

---