Kula otwarta Niech (X,d) przestrzeń metryczna

Kula otwarta o środku w punkcie AX i promieniu r>0 nazywamy zbiór K(a,r)={xX:d(a,x)<r}

-Punkt aUX nazywamy punktem wewnętrznym w zbiorze U jeśli r>0, że K(a,r)U

-Punkt aX nazywamy punktem skupienia zbioru UX jeśli Vr>0 K(a,r)U{a}0

Zbiór wszystkich punktów skupienia oznaczamy U^d

-Jeśli aU\U^d to a nazywamy punktem izolowanym w zbiorze U

-Zbiór UX nazywamy zbiorem otwartym jeśli VaU a jest wewnętrzny w U

Niech UX Wtedy 1. Int U zbiorem otwartym 2. U otwarty  Int U=U

-Zbiór UX nazywamy zbiorem domkniętym jeżeli X/U jest zbiorem otwartym

-Domknięcie zbioru UX nazywamy zbiorem UuU^d i oznaczamy jako Ū

-Niech UX wtedy 1. Ū jest zbiorem domkniętym 2.U domknięty  U= Ū

-Otoczeniem punktu aX nazywamy dowolny zbiór otwarty UX i taki że aU

-Niech (X,d) przestrzeń metryczna Vr>0 i VaX K(a,r) jest zbiorem otwartym

Zbiór UX nazywamy spójnym, gdy nie istnieją dwa zbiory otwarte A,BX,
takie że 1. AB=0 2. AU0 BU0 3. U

UX jest spójny  Vx,yU i x<y jeśli x<z<y to zU

Zbiór UX nazywamy zwartym jeśli V{x_n}U {x_nk}{x_n} taki że lim(k→) x_nkU

Zbiór UX jest ograniczony jeśli  x₀X  r> takie że UK(x₀,r)

Jeżeli UX zwarty to U ograniczony i domknięty Jeśli URⁿ domknięty i ograniczony to U zwarty

-Niech {x_n}X mówimy że {x_n} spełnia warunek Couchyego w x jeśli V>0 m,n>n₀ d(x_n,x_m)<

Jeśli {x_n}X zbieżny w X to {x_n} spełnia warunki Coushecgo w X

-Przestrzeń metryczna (X,d) w której każdy ciąg spełnia warunki Cou. jest zbieżny w X nazywamy
przestrzenią zupełną Rⁿ (n≥1) jest przestrzenią zupełną Podzbiór dowolnej przestrzeni zupełnej też

-Jeśli {x_n}R to ciąg {x_n} nazywamy ciągiem liczbowym wtedy Vx,yR d(x,y)=|x-y| zatem

lim(n→) a_n=aR V>0 n_ n>n_ a₀-a_n|<

-Twierdzenie o 3 ciągach Niech {a_n}{b_n}{c_n}R oraz lim(n→) a_n=lim(n→) c_n=bR to jest
Vn>n₀ a_nb_nc_n to lim(n→)b_n=b

-niech {a_n}R oraz {a_n}{a_nk} jeśli  lim(k→) a_nk (właściwa lub niewłaściwa)to tę granice nazywamy
granicą częściową lub punktem skupienia ciągu {a_n}

Niech A zbiór wszystkich granic częściowych ciągu {a_n}R wtedy granica górna oraz dolna ciągu
{a_n} określony odpowiednio jako

lim (n→) sup a_n= {+ gdy + {supA gdy + i AR0 {- gdy 

lim (n→) inf a_n=  gdy - {infA gdy - i AR0 {+ gdy 

-Warunki konieczne zbieżności szeregu Jeśli szereg a_n jest zbieżny to lim (n→) a_n =0

jeżeli nie jest zbieżny to jest rozbieżny

-Kryterium porównawcze Niech {a_n}{b_n}, wtedy jeżeli n₀ Vn>n₀ a_nb_n to

1 Jeśli b_n zbieżny to a_n też zbieżny 2 Jeśli b_n rozbieżny to a_n też rozbieżny

-Zasada zagęszczania Niech {a_n}(, oraz VnN a_n+1a_n wtedy szeregi a_n oraz 2ⁿ_a2k
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne

-kryterium Couchyego niech {a_n}(,) oraz lim (n→) ⁿa_n=q wtedy jeśli

1. q<1 to a_n zbieżny 2. q>1 to a_n rozbieżny 3. q=1 to kryterium nie rozstrzyga zbieżności

-kryterium d 'Alamberta Niech {a_n}(,) oraz q= lim (n→) a_n+1/a_n wtedy jeśli

1. q<1 to a_n zbieżny 2. q>1 to a_n rozbieżny 3. q=1 to kryterium nie rozstrzyga zbieżności

-Szereg (-1)ⁿ⁺¹ a_n gdzie VnN a_n>0 nazywamy szeregiem przemiennym

Kryterium zbieżności Niech (-1)ⁿ⁺¹ a_n szereg przemienny oraz

1. lim (n→) =0 2. VnN a_n+1a_n to szereg (-1)ⁿ⁺¹ a_n Jest zbieżny i a₁-a₂ (-1)ⁿ⁺¹ a_n a₁

-Szereg  a_n nazywamy bezwzględnie zbieżnym gdy zbieżny jest szereg a_n|

-Jeśli szereg  a_n jest zbieżny a a_n| jest rozbieżny to szereg  a_n nazywamy zbieżnym warunkowo

-Niech (x,d_x) (y,d_y) przestrzenie metryczne oraz f:D_fX→Y i x₀D_f^d Mówimy, że f ma w punkcie x₀ granicę
qy co zapisujemy lim (x→x₀) f(x)=q  V{x_n}D_f/{x₀}i lim (n→)x_n=x₀  lim (n→) f(x_n)=q

-Niech f: D_fX→Y i x₀D_f Mówimy ze f jest ciągła w punkcie x₀ V{x_n}D_f i lim (n→) x_n=x₀  lim
(n→) f(x_n)=f(x₀)

-funkcję f:X→Y nazywamy ciągłą w UX gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru U

-Niech (X,d_x)(Y,d_y)(Z,d_z) przestrzenie metryczne oraz f:X→Y, g:Y→ Wtedy jeśli f jest ciągła w punkcie
x₀X oraz g jest ciągła w punkcie y₀=f(x₀) to gf: X→Z jest ciągła w punkcie x₀

-Niech f ma postać f: Ux = (x₁,x₂...x_n)→f(x)=f(x₁),f(x₂)...f(x_n)R^m Oznaczenie fi: U→R i=1...n
nazywamy wtedy i-tą składową funkcji f

-Niech f:UR_n→R_m oraz x₀U^d Wtedy lim (x→x₀) f(x)=q=(q₁,q₂...q_m)R^m  Vi=1...m lim (x→x₀) f_i(x)=q_i

-Mówimy że f: D_fR→R ma granice lewostronną (prawostronną) w punkcie x₀(D_f(-,x₀)) (x₀(D_f(x_0,+))
równą qR{-,+} V{x_n}D_f i VnN x_n<x₀ (x_n>x₀₎ i lim(n→) x_n=x₀  lim (n→) f(x_n)=q i
piszemy wtedy lim (x→x₀^-) f(x)=q ((x→x₀⁺) f(x)=q)

-Mówimy że f:(a,+)R→R (f:(-,a)R→R ) ma granice w + (-) równa qR{+,-} V{x_n}(a,+) i
lim (n→) x_n=+ (V{x_n}(-,a) i lim (n→) x_n= -lim (n→) f(x_n)=q i piszemy
lim(x→+) f(x)=q (lim(x→ ) f(x)=q)

-Proste o równaniu x=x₀ nazywamy asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) funkcji
f:(a,x₀)(x₀,b)→R(a<x₀<b) gdy lim (x→x₀^-) f(x)= ((x→x₀⁺) f(x)=

-Proste o równaniu y=y₀ nazywamy asymptotą poziomą funkcji
f(-,a)R→R ( f(a,+)R→R) w - (+ jeżeli lim (x→-) f(x)=y₀ (lim (x→+) f(x)=y₀)

-proste o równaniu y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną funkcji
f(-,a)→R (f(a,+)→R) w - (+) jeżeli lim (x→) (f(x)-(ax+b))=0

POCHODNE

-Niech f:UR→R, U otwarty. Wtedy funkcja f nazywamy różniczkowalną w punkcie
x₀U  x₀R: f(x) -f(x₀)=Ax₀(x-x₀)+r(x₀x) gdzie r(x₀,):U→R spełnia warunki lim (x→x₀) (r(x₀-x))/(x-x₀)=0

(lim (h→0) (f(h+x₀)-f(x₀))/h))

-interpretacja geometryczna pochodnej tg_=lim (h→0) (f(h+x₀)-f(x₀))/h) czyli
współczynnik kierunkowy stycznej l do funkcji f w punkcie (x₀,f(x₀)) jest równy f '(x₀)=tg i
wtedy l: y-f(x₀)=f '(x₀)(x-x₀)

-(Tw La 'Grangea) Niech f:<a,b>→R fC⁰(<a,b>)i f różniczkowalna w (a,b) to x₀(a,b) że f '(x₀)=(f(b)-f(a))/(b-a))

-(Tw Taylora) niech f:<a,b>→R i f^(n-1) różniczkowalna w (a,b) oraz x₀,x<a,b> x₀x wtedy c(a,b)
zawarty między x₀,x taki że f(x)=f(x₀)+(f '(x₀)/1!)(x-x₀)+(f '(x₀)/2!)(x-x₀)²+...+(f 'ⁿ(x₀)/n!)/(x-x₀)ⁿ
(gdzie (f 'ⁿ(x₀)/n!)/(x-x₀)ⁿ to n-te rozwinięcie wzoru Taylora)

-Niech (X,d) przestrzeń metryczna i f:X→R Mówimy ze f ma maksimum (minimum) lokalne
(globalne) w punkcie x₀X gdy r>0 VxK(x₀,r)/{x₀} f(x₀)>f(x) (f(x₀)<f(x))

-Niech f:(a,b)→R, fCⁿ((a,b)) Wtedy jeśli w punkcie x₀(a,b) f '(x₀)=...=f^(n-1) '(x₀)=0 oraz f^{n '}(x₀)0 to

1 jeżeli n parzysta wtedy f ma w punkcie x₀ ekstremum i jest to maksimum gdy fⁿ ' (x₀)<0 a minimum gdy fⁿ ' (x₀)>0

2 Jeżeli n nieparzyste to f nie ma ekstremum w punkcie x₀

f(x)> f '(x₀)(x-x₀)+ f(x₀) - wklęsła f(x)< f '(x₀)(x-x₀)+ f(x₀) - wypukła

-Niech f:(a,b)→R i x₀(a,b) i r>0 że f różniczkowalna w (x₀-r,x₀+r)(a,b) wtedy punkt (x₀,f(x₀))
nazywamy punktem przegięcia funkcji f jeżeli funkcja f jest wklęsła (wypukła) V(x₀-r,x₀) i
wypukła (wklęsła) Vx(x₀,x₀+r)

-Niech f:(a,b)→R, f ' różniczkowalna w (a,b) i Vx(a,b) f ' '(x)>0 (f ' '(x)<0) to funkcja f jest wklęsła (wypukła) w (a,b)

-Niech f:(a,b)→R i r>0 że fc²((x₀-r,x₀+r)) wtedy jeżeli f ma punkt przegięcia w punkcie x₀(a,b) to f ' '(x)=0

-Niech f:(a,b)→R f różniczkowalna w x₀(a,b) oraz r>0 że f ' jest różniczkowalna w (x₀-r,x₀)(x₀,x₀+r) i

V x(x₀-r,x₀) f ' '(x)<0 oraz Vx(x₀,x₀+r) f ' '(x)>0 punkty (x₀,f(x₀)) jest punktem przegięcia f.

Jeżeli f ' ' ma stały znak w (x₀-r,x₀)(x₀,x₀+r) to x₀ nie jest punktem przegięcia f.

-(reguła De L 'Hospitala) Niech f,g: U→R oraz VU

1. (a,x₀) -a<x₀ 2.(a,x₀) -x₀ <a 3.(a,x₀)(x_0,b) -a<x₀ <b

oraz f i g są różniczkowalna w V i g '(x)0 VxX Ponadto niech lim(x→x₀)
f(x)=lim(x→x₀) g(x)=0 lub lim(x→x₀) f(x)= i lim(x→x₀) g(x)= wtedy jeśli
 lim(x→x₀)(f '(x)/g '(x))=qR{+,} to lim(x→x₀)(f(x)/g(x))=q

-całkowanie przez podstawienie niech U,VR przedziały, fC⁰(V) g:U→V gC²(U) wtedy VxU

f '(g(x))g '(x)dx=f(g(x))+C

-Całkowanie przez zamianę zmiennej f(x)dx=f(g(t))g '(t)dt x=g(t)

-całkowanie przez części niech f,gC¹(U)wtedy f '(x)g(x)=f(x)g(x)-f(x)g '(x)dx

---