Elementy mechaniki kwantowej

1. 
   

2. 
   

Moment Pędu

Równanie Schrődingera

Zadanie 1

Cząstka o masie m w jednowymiarowej przestrzeni w pewnym stanie stacjonarnym jest opisana funkcją falową
, gdzie a i C to stałe

1. wyznacz wartość stałej C zakładając, że a jest znane. Wskazówka:
   

2. wyznacz energię potencjalną cząstki w zależności od wartości x wiedząc, że jej energia całkowita wynosi:
   

Ad. 1.

Ad. 2.

dla oscylatora:

Wynik jest stanem stacjonarnym dla stanu podstawowego.

Zadanie 2.

Wyznaczyć współczynniki transmisji i odbicia dla cząstki o energii E przechodzącej przez schodkowy potencjał o wysokości V₀.

Współczynnik transmisji:

Współczynnik odbicia:
w obszarach 1 i 2 mamy różne wektory falowe.

z warunków ciągłości

Zadanie 3.

Wyznacz możliwe wartości energii cząstki znajdującej się w nieskończenie wysokiej studni potencjału o szerokości L.

Oczekiwana postać funkcji:

Obszar II U=0

Zadanie 4

Jaka jest szerokość studni potencjału, z nieskończenie wysokimi ściankami, jeśli przy przejściu elektronów z 2 poziomu na 1 emitowana jest energia E=1eV.

Korzystam z obliczeń z zadania 3

Zadanie 5

Cząstka znajduje się w 3D prostopadłościennym pudle z całkowicie nieprzepuszczalnymi ściankami. Krawędzie pudła mają odpowiednio wymiary a, b, c. Wyznaczyć możliwe wartości energii tej cząstki.

Równanie Schrődingera

Zadanie 6

Rozważ elektron uwięziony w cienkiej warstwie półprzewodnika. Wyznacz grubość warstwy, wiedząc, że różnica energii pomiędzy poziomem podstawowym i pierwszym poziomem wzbudzonym wynosi 0,05eV.

Korzystam z obliczeń z zadania 3

Zadanie 7

Wyznaczyć dla jakiej szerokości studni potencjału różnica poziomu energii staje się porównywalna z energią ruchu termicznego w temperaturze T dla cząstki o masie m.

Korzystam z obliczeń z zadania 3

Zadanie 8

Cząstka o masie m porusza się wzdłuż osi x w jednowymiarowym polu potencjalnym
(oscylator harmoniczny) stosując zasadę nieoznaczoności Heisenberga, ocenić najmniejszą energię cząstki w tym polu.

Zadanie 9 Domowe

Wyznaczyć średniokwadratowe wychylenie i średniokwadratową energię potencjalną kwantowego oscylatora harmonicznego

Krystalografia

Odwzorowaniem przestrzennego rozmieszczenia atomów jest sieć przestrzenna utworzona przez powtórzenie w trzech kierunkach podstawowego elementu tzw. komórki zasadnicza.

Metody badania

Rentgenowskie

Dyfrakcja elektronów

a, b, c - osie krystalograficzne

typy komórek zasadniczych oznaczamy następującymi symbolami:

• P - prosta (prymitywna)

• C - centrowana w podstawie

• F - płasko centrowana (centrowana na każdej ścianie)

• I - przestrzennie centrowana

Współczynnikiem upakowania - nazywamy stosunek objętości zajmującej przez stykające się kule których środki znajdują się w węzłach sieci do objętości całej sieci.

Zadanie 10

Oblicz upakowanie sieci regularnej płaskiej.

Zadanie 11

Oblicz wsp. Upakowania płaskiej sieci układu heksagonalnego

Zadanie 12

Oblicz współczynnik upakowania sieci regularnej prostej, płasko centrowanej i przestrzennie centrowanej.

Zadanie 13

Oblicz współczynnik upakowania dla prymitywnej sieci heksagonalnej przyjmując że a=b≠c; α=β=90º i

Fonony i drgania sieci

Jeżeli w sieci jest r atomów to liczba drgań wynosi 3r. Drgania można podzielić na:

• drgania akustyczne - 3 → fonony akustyczne

• drgania optyczne - 3r-3 → fonony optyczne

• zakładamy, że w komórce elementarnej mamy jeden atom

• dwa atomy na komórkę

6 stopni swobody, 3 gałęzie akustyczne i 3 optyczne.

Fonon w liniowym łańcuchu

Akustyczne	Optyczne
wszystkie atomy drgają w jednakowej fazie	atomy drgają w przeciwnej fazie

Modele opisujące zachowanie się ciepła właściwego.

Model Klasyczny:

• Drgania normalne występujące w sieci krystalicznej traktujemy jako niezależne klasyczne oscylatory harmoniczne

• Drgania z tą samą częstością

Czyli model zda się psu na budę bo w rzeczywistości C_V nie jest stałe. Pokrywa się z wynikami dośw. tylko dla wysokich temperatur.

Model Einsteina:

• oscylatory są oscylatorami kwantowymi

• drgają z jednakową częstością

• nie wykazują dyspersji

Innymi słowy model ten opisuje fonony optyczne.

dalej brak zgodności z wynikami doświadczalnymi, czyli ten model też jest do dupy!

Model Debaya:

• oscylatory są oscylatorami kwantowymi

• drgają z różnymi częstością

• więc wykazują dyspersję, są traktowane jako kolektywne drgania sieci krystalicznej

Innymi słowy model ten opisuje fonony akustyczne.

θ - temperatura Debaya, wielkość stała charakterystyczna dla każdego kryształu. Mówi o zakresie wysokich i niskich temperatur.

W modelu Debaya strefa Brillouina ma kształt kuli o promieniu q_D zwanym wektorem falowym Debaya i w przybliżeniu odpowiada rozmiarom strefy Brillouina rzeczywistego kryształu.

Drgania akustyczne o stosunkowo małych częstościach są wzbudzane znacznie silniej w krysztale niż drania optyczne. Wobec tego mają one decydujący wkład do E_wewn. Sieci krystalicznej.

Wyprowadzenie modelu Einsteina

Średnia energia oscylatora harmonicznego

• wysokie temperatury

dla 1 mola kryształu

• niskie temperatury

Wyprowadzenie modelu Debaya

- funkcja gęstości stanów, opisuje wkład częstości drgań w sieci

- średnia częstość oscylatora

normowanie f. gęstości stanów:

1. Temperatura Debaya θ oddziela obszar statystyk kwantowych od
   obszaru klasycznej fizyki statystycznej.

2. Wektor falowy Debaya q_D nie pokrywa się z granicą pierwszej strefy Brillouina

3. Temperatura Debaya θ jest miarą sztywności kryształu tzn. miarą nachylenia zależności ω(q).

Na podstawie modelu Debaya możemy mówić o typie wiązań.

Siły różnych wiązań występujących w kryształach wyrażamy przez temperaturę Debaya.

• kryształ kowalencyjny - diament (θ=1910K)

• Kryształ Jonowy - np. NaCl (θ=281K)

• Kryształ metaliczny - Na (θ=172K)

• Kryształ molekularny - (z wiązaniami wodorowymi) H₂O (θ=192K)

• Kryształy Van der Vallsa - krystaliczny chlor C₂ (θ=115K)

Zadanie 14

Obliczyć minimalną długość fali cieplnej w tytanie jeśli
a

Zadanie 15

Jaka jest maksymalna energia fononów w krysztale ołowiu jeżeli

Zadanie 16

Określić ilość ciepła potrzebną do ogrzania kryształu NaCl o masie m=20g od temp T₁=2K do T₂=4K θ=310K.

Zadanie 17

Przy podgrzewaniu srebra (o masie atomowej
M=108^g/_mol) o masie m = 10g od T₁=10K do T₂=20K zużyto pewną ilość ciepła
. Określić temperaturę Debaya dla srebra przy założeniu że T<<θ.

Zadanie 18

Obliczyć granicę częstotliwości Debaya
, jeżeli wiadomo, że ciepło molowe C_V dla srebra przy temp T=20K

Zadanie 19

Określić pęd fononów o częstotliwości
. Średnia wartość prędkości dźwięku w krysztale wynosi
a

Metody rozproszeniowe

Absorpcja, rozpraszanie

Tu widać przesunięcie, przez silną dyspersję następuje zmiana długości wektora falowego.

BS; RS - nieelastyczne. Rozpraszanie Rayleya - całkowicie elastyczne.

Rozpraszanie Brillouina

θ - kąt rozpraszania światła

Wektor rozproszony

Fonon

Światło padające

geometria rozproszona

w procesie oddziaływania promieniowania EM z drganiami sieci (fononami o częstości
i wektorze falowym
) mogą powstawać lub zanikać fonony Stokesowskie i antystokesowskie linie Brillouinowskie.

Zadanie 20

Światło laserowe o
pada na kryształ kwarcu ulegając rozproszeniu w skutek drgań akustycznych w sieci krystalicznej. Obliczyć względną zmianę częstości rozpraszanego światła laserowego. Przyjąć

Zadanie 21

Na kryształ lodu pada światło o
. Pod kątem 65˚ obserwujemy światło rozproszone w skutek efektu Brillouina. Obliczyć częstość fononów, oraz wartość ich pseudo pędu przyjmując:

Zadanie 22

Oblicz prędkość dźwięku w krysztale o strukturze regularnej prostej dla którego T_D=300K a stała sieci kryształu a=2,5Ǻ

Zadanie 22

oblicz prędkość fal dźwiękowych w krysztale mającym sieć regularną przestrzennie centrowaną o
dla którego

Wstęp do teorii grup

Element symetrii - to jeden z elementów grupy symetrii

Operacja symetrii - to operacja, która zmieniając położenia atomów w molekule nie zmienia ich konfiguracji, czyli nie zmienia całej molekuły.

Elementy symetrii i związane z nimi operacje symetrii:

1. oś symetrii

2. płaszczyzna symetrii - polega na zwierciadlanym odbiciu atomów w tym lustrze

3. środek symetrii „i” - polega na zwierciadlanym odbiciu w środku symetrii

4. oś obrotowo inwersyjna S_n.

Grupa punktowa to grupa elementów symetrii występujących w danej molekule.

3N - stopnie swobody

Wewnętrzne:

3N-6 nieliniowe

3N-5 liniowe

W cieczach niema drgań sieci!

Typy drgań normalnych molekuł:

Reprezentacja A,B (1-D nie zdegenerowane)

A - drgania symetryczne względem osi o najwyższej krotności

B - drgania anty symetryczne względem osi o najwyższej krotności

E i F (E - 2krotnie zdegenerowane; F - 3krotnie zdegenerowane)

Symbole występujące przy typach drgań:

g - symetryczność drgań względem środka symetrii „i”

u - drganie anty symetryczne względem środka symetrii „i”

1 - drganie symetryczne względem osi symetrii innej niż oś o największej krotności (np. A_1g)

2 - drganie anty symetryczne względem osi symetrii innej niż oś o największej krotności

` - symetria drgań względem płaszczyzny δ (gdy molekuła ma wiele płaszczyzn symetrii indeks dotyczy tylko δ_H)

`` - anty symetria drgań względem płaszczyzny δ

Tabela wkładów at. nie zmieniających swego położenia w danej operacji symetrii do pełnego char. Operacji na danej molekule

Operacja Symetrii	Wkład
E C2 C3 C4 C6 δ i S3 S4 S6	3 -1 0 1 2 1 -3 -2 -1 0

Przykład H₂O (C_2V)

Określamy całkowitą redukowaną reprezentację Γ opisującą możliwe drgania.

Liczba nie przemieszczających się atomów	3	1	3	1
Wkład	3	-1	1	1
Reprezentacja redukowana Γ	9	-1	3	1

Magiczna formuła

Tabela charakterów:

3 rep. o sym. A₁.

Zadanie 23

Wyznacz całkowitą reprezentację nieredukowalną opisującą drgania molekuły amoniaku o symetrii C_3V

h=6

Liczba nie przemieszczających się atomów	4	1	2
Wkład	3	0	1
Reprezentacja redukowana Γ	12	0	2

Zadanie 24

Wyznaczyć liczbę i symetrię drgań oscylacyjnych dla molekuły CCl₄ o symetrii

5	2	1	1	3
3	0	-1	-1	1
15	0	-1	-1	3

h=24

Zadanie 25

Obliczyć aktywność modów Ramanowskich i abs. w podczerwieni dla kryształu Tytanu Baru (BaTiO₃) posiadających przejście fazowe w temp 120˚C Faza wysoko temp. kryształu ma symetrię kubiczną (paraelektryczna) natomiast faza nisko temp. ma symetrię tetragonalną.

1)

struktura kubiczna ma symetrię opisaną

struktura tetragonalna ma symetrię opisaną
podwojenie objętości komórki elementarnej.

1 komórka ma 1 jed. Chemiczną (BaTiO₃)

a)

Statystyka

Funkcja Fermiego - Diraca.

dla T=0˚K

Funkcja rozkładu FD określa prawdopodobieństwo znalezienia ē w stanie o energii E.

Poziom Fermiego w zwykłych temperaturach.

gdzie n to koncentracja liczba ē w jednostce objętości.

Max energia ē na najwyższym zajętym poziomie energetycznym w metalu w T=0˚K

parametr zwyrodnienia poziomów energetycznych

W T=0˚K ē wypełniają najpierw najniższe stany energetyczne, a następnie wyższe, aż do E_F. W T>0˚K pewna niewielka część ē może przekroczyć tę wartość energii tak, iż E_F staje się średnią energią kinetyczną ē, które mogą przenosić się do stanów niezajętych, a więc są to ē swobodne.

Zadanie 26

Wyznacz funkcję rozkładu Fermiego f(E) w T=0˚K dla ē znajdującego się na poziomie Fermiego. Otrzymany wynik przedyskutować.

Zadanie 27

W jakich warunkach można stosować statystykę Boltzmana dla ē w metalu? Wyprowadzić f rozkładu Boltzmana z f(E) Fermiego.

Zadanie 28

Znajdź ΔE (w jed. KT) między ē znajdującymi się na poziomie Fermiego, a ē znajdującymi się na poziomie którego praw. Obsasz wynosi:

a)

b)

prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektron poziomu energetycznego o energii E w watunkach równowagi termodynamicznej elektronów w układzie wynosi

skąd

obliczenia prowadzą do następujących wartości

Zadanie 29

W jaki sposób i ile razy zmieni się prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektrony poziomu energetycznego w metalu, jeżeli poziom ten jest położony o 0,1eV poniżej poziomu Fermiego a temperatura zmienia się od 1000K do 300K?

zaniedbując zależność energii Fermiego od temperatury stwierdzamy, że prawdopodobieństwo obsadzenia poziomu leżącego o 0,1eV powyżej poziomu Fermiego przy zmianie temperatury od 1000K do 300K maleje aż 12 razy.

Zadanie 30

wyznaczyć prawdopodobieństwo zapełnienia pasma przewodnictwa przez elektrony w półprzewodniku, jeżeli wiadomo, że poziom Fermiego leży w środku pasma wzbronionego, a dla ē w paśmie przewodnictwa można posłużyć się rozkładem Boltzmana zamiast Fermiego (szerokość pasma energii wzbudzonych >>kT)

Zadanie 31

Obliczyć energię Fermiego w T=0K dla Aluminium. Przyjąć, że na każdy atom aluminium przypadają 3 ē swobodne.

Zadanie 32

Jaka jest ilość ē przewodnictwa w metalu w T=0K ma energię kinetyczną większą od 0,5E_F.

Zadanie 33

Wykazać, że w metalu w T=0K

1. średnia arytmetyczna prędkość ē przewodnictwa wynosi
   

2. prędkość średniokwadratowa wynosi
   

Zadanie 34

Wychodząc z funkcji rozkładu energetycznego ē przewodnictwa znaleźć funkcję rozkładu prędkości w metalu w T=0K i T>0K. Przedstawić przybliżony obraz tej funkcji dla obu temperatur.

Fizyka Ciała Stałego - Ćwiczenia prowadzący: dr. Runka

Marek Helman; FT semestr V godz.: 21:19 dnia 2005-01-18 7 z 20

Fizyka Ciała Stałego - Ćwiczenia prowadzący: dr. Runka

Marek Helman; FT semestr V godz.: 21:19 dnia 2005-01-18 18 z 19

0

Wkład wynik. reprez. reduk. Γ

Wkład wynik. Z tabeli charakt.

Liczba oper. Symetr w klasie

Rząd grup. punkt

---