TWIERDZENIE FOURIER'A. Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej i przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach k⋅f, gdzie f=1/T, natomiast k=1,2,3,..., jeżeli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta: 1) w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna: ∫f(t)dt<∞. 2) w każdym przedziale o długości T f-cja f(t) ma co najmniej skończoną liczbę maksimów i minimów. 3) funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice: lewostronna i prawostronna. Postać trygonometryczna szeregu Fourier'a: f(t) = A₀ + _k=1Σ^∞A_mk⋅sin(kω₀+α_k), gdzie A_mk - amplituda k-tej harmonicznej; α_k - faza początkowa k-tej harmonicznej. f(t) = C₀/2 + _k=1Σ^∞(B_ksinkω₀ + C_kcoskω₀); B_k = A_mkcosα_k; C_k = A_mksinα_k; A_mk = √(B_k²+C_k²); α_k = arctg(C_k/B_k).

WŁASNOŚCI FUNKCJI.

Funkcje przemienne: Wartość średnia za okres jest równa zero. ₀∫^Tf(t)dt=0; ₀∫^Tf(t)dt = (C₀/2)T = 0; C₀=0. Funkcje przemienne nie posiadają w szeregu Fourier'a składowej stałej. Rys.1.

Funkcje parzyste: f(-t)=f(t); B_k=0, dla k=1,2,3,... .Są to funkcje symetryczne względem osi rzędnych.. Rys.2.

Funkcje nieparzyste: f(-t)=-f(t); C₀=0, C_k=0 dla k=1,2,3,... . Jest symetryczna względem początku ukł. współrzędnych. Rys.3.

Funkcje asymetryczne: f(t+T/2) = -f(t). Kształt jest taki sam, ale rzędne różnią się znakiem. C₀=0; B_2k=0; C_2k=0; k=1,3,5,... . Istnieją B_k,C_k dla k=1,3,5,... .Rys.4.

SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKÓW C₀, B_K I C_K W SZEREGU FOURIER'A. C₀ = (2/T)₀∫^Tf(t)dt; C_k = (2/T)₀∫^Tf(t)coskω₀tdt dla k=1,2,3,..; B_k = (2/T)₀∫^Tf(t)sinkω₀tdt dla k=1,2,3,... .

SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKÓW C₀, B_K I C_K W SZEREGU FOURIER'A W ZALEŻNOŚCI OD WŁASNOŚCI FUNKCJI.

1) Funkcja parzysta: B_k=0; C_k = (4/T)₀∫^T/2 f(t)coskω₀tdt dla k=1,2,3,...

2) Funkcja nieparzysta: B_k = (4/T)₀∫^T/2 f(t)sinkω₀tdt dla k=1,2,3,...; C_k=0.

3) Funkcja asymetryczna: B_k = (4/T)₀∫^T/2 f(t)sinkω₀tdt dla k=1,3,5,...; C_k = (4/T)₀∫^T/2 f(t)coskω₀tdt dla k=1,3,5,... .

4) Funkcja parzysta asymetryczna: B_k=0; C_k = (8/T)₀∫^T/4 f(t)coskω₀tdt dla k=1,3,5,... .

5) Funkcja nieparzysta asymetryczna: B_k = (8/T)₀∫^T/4 f(t)sinkω₀tdt dla k=1,3,5,...; C_k=0.

TW. PARSEVALA. Jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi zależność: (1/T)₀∫^Tf(t)g(t)dt = _k=-∞Σ^∞ f_k⋅g_k* = _k=-∞Σ^∞ f_k*⋅g_k.

CHARAKTERYSTYKA ODKSZTAŁCENIA.

1) Współczynnik szczytu: Jest to stosunek wartości maksymalnej do skutecznej: s=A_max/A_sk; dla sinusoidy: A_sk=A_max/√2, s=√2; dla prostokąta: A_max=A; A_sk=A; s=1.

2) Współczynnik kształtu: Jest to stosunek wartości skutecznej do wartości średniej z modułu: k=A_sk/A_śr; dla sinusoidy: A_śr = 2A_max/π; k = (A_max/√2)(π/2A_max) = 1,11; dla prostokąta: k = A/A = 1.

3) Współczynnik zawartości harmonicznych: Jest to stosunek wartości skutecznej przebiegu po usunięciu z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartości skutecznej przebiegu po usunięci z niego składowej stałej: dla sinusoidy: h=0; dla prostokąta: A₀=0; A_sk=A; h=0,43.

4) Współczynnik odkształcenia: Jest to stosunek wartości skutecznej I harmonicznej do wartości skutecznej całego przebiegu: k₀ = A₁/A_sk; dla sinusoidy: k₀=A/A=1; dla prostokąta: k₀ = 4/π√2 = 0,9.

5) Współczynnik zawartości k-tej harmonicznej: Jest to stosunek wartości skutecznych k-tej harmonicznej do I harmonicznej: h_k = A_k/A₁.

ZASADA SUPERPOZYCJI.

Funkcje wymuszające rozwiniemy w szereg Fouriera, otrzymując dla napięcia u: u=U₀+_k=1Σ^∞U_mk(kω₀+ϕ_uk) oraz dla prądu i: i=I₀+_k=1Σ^∞I_mk(kω₀+ϕ_ik). Uwzględniając skończoną liczbę harmonicznych możemy źródło napięcia u przedstawić w postaci szeregowego połączenia źródeł odpowiadających poszczególnym harmonicznym. Podobnie źródło prądu zastępujemy połączeniem równoległym. W celu obliczenia odpowiedzi obwodu stosujemy zas. superpozycji, pozostawiając w poszczególnych źródłach tylko jedną harmoniczną tego samego rzędu i przyrównując do zera wielkości źródłowe odpowiadające pozostałym harmonicznym. Obliczenia przeprowadzamy kolejno dla harmonicznych wszystkich uwzględnianych rzędów i wyznaczone w ten sposób odpowiedzi chwilowe sumujemy.

WPŁYW INDUKCYJNOŚCI I POJEMNOŚCI NA WYŻSZE HARMONICZNE PRĄDU I NAPIĘCIA. Indukcyjność: Rozpatrzmy cewkę liniową o indukcyjności L: I_mk/I_m1=(U_mk/kω₀L)(ω₀L/U_m1) = (U_mk/U_m1)(1/k), przy czym dla wyższych harmonicznych k>1, a zatem I_mk/I_m1<U_mk/U_m1. Indukcyjność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne prądu i pobudzająco na wyższe harmoniczne napięcia. Pojemność: Rozpatrzmy kondensator liniowy o pojemności C. I_mk/I_m1=(U_mk⋅kω₀C)(U_m1⋅ω₀C) = k(U_mk/U_m1)>U_mk/U_m1. Pojemność działa tłumiąco na wyższe harmoniczne napięcia i pobudzająco na wyższe harmoniczne prądu.

MOC PRĄDÓW ODKSZTAŁCONYCH.

Moc czynna dwójnika równa się sumie mocy wytworzonej przez składowe stałe U₀, I₀ oraz mocy czynnych poszczególnych harmonicznych prądu i napięcia tego samego rzędu: P=U₀I₀+_k=1Σ^∞U_k⋅I_k⋅cosϕ_k. Moc bierną definiujemy jako sumę mocy biernych poszczególnych harmonicznych: P= _k=1Σ^∞U_k⋅I_k⋅sinϕ_k. Mocą pozorną nazywamy iloczyn wartości skutecznych prądu i napięcia: S_p=U_skI_sk. Moc odkształcenia: Dla niesinusoidalnych przebiegów ogólnie nie obowiązuje trójkąt mocy. Zachodzi natomiast nierówność: P²+Q²≤S_p², w związku z czym wprowadza się pojęcie mocy zniekształcenia T, korzystając z relacji: P²+Q²+T²=S_p².

ANALIZA OBWODÓW RC W STANIE NIEUSTALONYM.

Rozpatrzmy obwód przedstawiony na Rys.5.

pobudzany napięciem u=U_msin(ωt+ϕ_u). W analizowanym obwodzie zastosujemy NPK: u=Ri+u_C, a następnie podstawimy i=C(du_C/dt), otrzymując: RC(du_C/dt)+u_C = U_msin(ωt+ϕ_u); RC(du_CS/dt)+u_CS=0. Rozwiązanie u_CS ma postać wzoru Helmholtza: u_CS=Ae^-t/RC i zawiera składową stałą A zależną od warunku początkowego. Zatem pełna odpowiedź obwodu wynosi: u_C = u_CW + u_CS = u_CW + Ae^-t/RC i po upływie dostatecznie długiego czasu dąży do u_CW. Wprowadzone wyżej napięcia u_CW i u_CS noszą odpowiednio nazwę składowej wymuszonej i składowej swobodnej rozwiązania u_C.

Obwód RC opiszemy równaniem różniczkowym I rzędu: RC(du_C/dt)+u_C=e_Z, przy czym RC=τ nosi nazwę stałej czasowej obwodu. Dzielimy obie strony równania przez τ: (du_C/dt)+(1/τ)u_C=(1/τ)e_Z. Stałą A znajdujemy pisząc równanie : u_C = u_CW + Ae^-t/RC dla chwili t=0. Otrzymujemy: A=u_C(0)-u_CW(0), co po rozwiązaniu prowadzi do pełnego rozwiązania: u_C = u_CW + [u_C(0)-u_CW(0)]e^-t/τ.

Przy wyznaczaniu wartości początkowej u_C(0) korzystamy z zas. zachowania ładunku kondensatora. Ładunek kondensatora q(t) nie może zmienić się momentalnie, a stąd wynika, że q(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczmy przez q(t₀-) lewostronną, a przez q(t₀+) prawostronną granicę q(t) w chwili t=t₀. Zachodzi zależność q(t₀-) = q(t₀+) +_t0-∫ ^t0+i_C(τ)dτ. Ponieważ t₀⁺-t₀^-=0. Z zas. ciągłości ładunku wynika zas. ciągłości napięcia liniowego kondensatora o stałej pojemności C, czyli u_C(t₀⁺) = u_C(t₀^-). Wykres u_CS(t). Interpretacja geometryczna stałej czasowej Rys.6.

ANALIZA OBWODÓW RL W STANIE NIEUSTALONYM.

Weźmiemy pod uwagę obwód z Rys.7

i zbudujemy równanie tego obwodu, posługując się PPK przy uwzględnieniu zależności u_L=L(di_L/dt). Otrzymujemy: (di_L/dt)+(1/τ)i_L=(1/τ)i_Z, gdzie τ=L/R_Z jest stałą czasową analizowanego obwodu. i_L=i_Lw+Ae^-t/τ, gdzie A=i_L(0)-i_Lw(0), a stąd: i_L = i_Lw + [i_L(0)-i_Lw(0)]e^-t/τ. W powyższych wymuszeniach i_Lw jest składową wymuszoną, a i_LS = Ae^-t/τ składową swobodną prądu i_L. Wyznaczając warunek początkowy i_L(0), korzystamy z zas. zachowania strumienia magnetycznego skojarzonego z cewką. Według tej zasady strumień magnetyczny skojarzony nie może zmienić się momentalnie, czyli Ψ(t) jest ciągłą funkcją czasu. Oznaczamy przez Ψ(t₀^-) lewostronną oraz przez Ψ(t₀⁺) prawostronną granicę Ψ(t) w chwili t=t₀. Obowiązuje zależność: Ψ(t₀⁺) = Ψ(t₀^-) + _t0-∫ ^to+u_L(τ)dτ. Ponieważ przedział całkowania równa się zeru, _t0-∫ ^to+u_L(τ)dτ znika dla skończonego u_L(t₀-). Wobec tego Ψ(t₀⁺) = Ψ(t₀^-). W przypadku cewki liniowej (ψ=L⋅i_L): i_L(t₀^-) = i_L(t₀⁺).

STAN NIEUSTALONY W SZEREGOWYM OBWODZIE RLC.

Rys.8.

W celu sformułowania równania obwodu zastosujemy NPK: Ri + L(di/dt) + u_C = u, i podstawimy i=C(du_C/dt), otrzymując LC(d²u_CS/dt²) + RC(du_CS/dt) + u_CS = 0. Równanie to zapiszemy w postaci: (1) (d²u_CS/dt²) + 2α(du_CS/dt) + ω_n²uCS = 0, gdzie α=R/2L nosi nazwę stałej tłumienia, zaś ω_n = 1/√(LC) jest pulsacją drgań nietłumionych. Rozwiązanie równania (1) zależy od pierwiastków równania charakterystycznego s²+2αs+ω_n²=0, wynoszących: s_1,2 = -α ± √(α²-ω_n²). Rozróżniamy trzy przypadki: 1) α>ω_n, czyli R>2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne, a ponadto s₁≠s₂. Rozwiązanie swobodne określa wzór: u_CS = A₁e^s1t+A₂e^s2t, zaś: i_S = C(dU_CS/dt) = C(A₁s₁e^s1t+A₂s₂e^s2t), przy czym A₁ i A₂ są stałymi zależnymi od warunków początkowych. Przebiegi mają charakter aperiodyczny i znikają od zera dla t→∞. 2) α=ω_n, czyli R=2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są jednakowe, rzeczywiste i ujemne, a ponadto s₁ = s₂ = -α. Rozwiązanie jest następujące: u_CS = (A₁+A₂t)e^-αt, a zatem: i_S = C(dU_CS/dt) = C[A₂-α(A₁+A₂t)]e^-αt. Przebiegi aperiodyczne, graniczne, zanikające do zera dla t→∞. 3) α<ω_n, czyli R<2√(L/C) - pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone, sprzężone s_1,2 = -α ± jω₀, gdzie ω₀ = √(ω_n²-α²) nosi nazwę pulsacji drgań własnych. Rozwiązanie równania ma postać: u_CS = Ae^-αtsin(ω₀t+ψ), gdzie A i ψ są stałymi. Stąd: i_S = C(dU_CS/dt) = CA[-αsin(ω₀t+ψ) + ω₀cos(ω₀t+ψ)]. Otrzymujemy ostatecznie: i_S = A√(L/C)e^-αtcos(ω₀t+ψ+η), przy czym: η = arctg(α/ω₀). Stopień tłumienia określa dekrement tłumienia ∂. Dla napięcia swobodnego u_CS otrzymujemy: ∂ = u_CS(t)/u_CS(t+T₀) = e^αTo, a stąd wynika następujący wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia: ln∂ = αT₀.

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A:

Przekształceniem lub transformatą Laplace'a funkcji f(t) nazywamy wyrażenie: α{f(t)} = F(s) = ₀∫^∞ f(t)e^-stdt, gdzie s = δ+jω jest zmienną zespoloną. Funkcję f(t) nazywamy funkcją pierwotną lub oryginałem, natomiast funkcję F(s) transformatą Laplace'a funkcji f(t).

TWIERDZENIA PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE'A:

Twierdzenie o liniowości. Jeżeli a i b są dowolnymi stałymi, to α{af(t)+bg(t)}= aF(s)+bG(s). Prawdziwość twierdzenia wynika bezpośrednio z faktu, że całkowanie jest operacją addytywną i jednorodną.

Twierdzenie o podobieństwie. Jeżeli a jest liczbą rzeczywistą dodatnią, to α{f(at)} = (1/a)F(s/a).

Twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zespolonej. Jeżeli k jest dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną, to α{e^ktf(t)} = F(s-k). Twierdzenie to pokazuje jaki wpływ w dziedzinie przekształcenia Laplace'a ma pomnożenie funkcji f(t) przez czynnik e^kt.

Twierdzenie o opóźnieniu. Jeżeli h jest stałą rzeczywistą dodatnią, to α{f(t-h)u(t-h)} = e^-shF(s).

Twierdzenie o transformacie pochodnej. α{df/dt} = sF(s)-f(0), gdy F(s) = α{f(t).

Twierdzenie o transformacie całki. α{₀∫^t f(τ)dτ} = F(s)/s, gdy F(s) = α{f(t).

Twierdzenie o transformacie splotu (Borela). α{f(t)*g(t)} = F(s)G(s).

ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A.

Jeżeli funkcja f(t) jest bezwzględnie transformowalna i α{f(t)} = F(s) oraz w każdym przedziale <0,T>, T>0, ma ograniczoną zmienność, to dla dowolnej ustalonej wartości c>x_a: (1/2πj)[_c-j∞∫^c+j∞ F(s)ds = f(t) dla t>0 i (1/2πj)[_c-j∞∫^c+j∞ F(s)ds = 0 dla t<0. Zachodzi wzór: f(t) = α^-1{F(s)} = (1/2πj)[_c-j∞∫^c+j∞ e^st F(s)ds, zwany wzorem Riemanna - Mellina. Rozkład na ułamki proste. Rozpatrzmy funkcję wymierną postaci F(s) = n(s)/d(s), gdzie n(s) i d(s) są wielomianami takimi, że stopień n(s) jest mniejszy od stopnia d(s). Załóżmy na wstępie, że zera wielomianu d(s), czyli pierwiastki równania d(s)=0 są pojedyncze i wynoszą s₁,s₂, ..., s_m, gdzie s_i≠s_j. Pierwiastki te nazywamy biegunami funkcji F(s). Przy przyjętych założeniach funkcja F(s) ma postać F(s) = αn(s)/[(s-s₁)(s-s₂)...(s-s_m)]. Funkcję F(s) można rozwinąć na ułamki proste o postaci F(s) = _j=1Σ^m [k_j/(s-s_j)]. W celu wyznaczenia k₁ mnożymy F(s) przez (s-s₁): (s-s₁)F(s) = k₁ + _j=1Σ^m [k_j/(s-s_j)](s-s₁) i przyjmujemy, że s→s₁. Wobec czego zachodzi: k₁ = lim_s→s1(s-s₁)F(s). Po odpowiednich przekształceniach znajdujemy odwrotne przekształcenie Laplace'a: α^-1(F(s)) = _j=1Σ^m α^-1[k_j/(s-s_j)] = _j=1Σ^m k_je^pjt, t ≥ 0.

IMPULS DIRACA.

Impulsem Diraca nazywamy wielkość δ(t) o następujących właściwościach: δ(t) = {0 dla t≠0} i δ(t) = {+∞ dla t=0}, oraz _-∞∫^∞ δ(t)dt = 1. Impuls Diraca będzie aproksymowany za pomocą funkcji δ(t,h) dwóch zmiennych: t∈(-∞; +∞) oraz h>0. Przykładem funkcji aproksymującej jest funkcja pokazana na Rys.9,

określona zależnością: δ(t,h) = {1/h dla 0<t<h} i {0 dla t<0 oraz t>h}, lub w postaci wzoru δ(t,h) = (1/h)[u(t)-u(t-h)]. Korzystając z powyższego wzoru znajdujemy transformatę δ(t,h) α{δ(t,h)} = (1/h)[1/s-(1/s)e^-sh]. Z zależności δ(t) = {0 dla t≠0} i δ(t) = {+∞ dla t=0}, oraz _-∞∫^∞ δ(t)dt = 1, definiujących impuls Diraca, wynika: _-∞∫^t δ(τ)dτ = 1 dla t>0 i _-∞∫^t δ(τ)dτ = 0 dla t<0. Stąd otrzymujemy _-∞∫^t δ(τ)dτ = u(t) i po zróżniczkowaniu dochodzimy do relacji wiążącej impuls Diraca z funkcją jednostkową δ(t) = (d/dt)u(t).

RÓWNANIA OPERATOROWE.

Dla dwójników skupionych, liniowych, stacjonarnych przy zerowych warunkach początkowych, równanie operatorowe ma postać U(s) = Z(s)I(s), lub I(s) = Y(s)U(s), przy czym Z(s), Y(s) jest funkcją wymierną rzeczywistą (o współczynnikach rzeczywistych). Z(s) nosi nazwę impedancji operatorowej, zaś Y(s) admitancji operatorowej dwójnika. Pisząc PPK dla wartości chwilowych Σi_k(t) = 0 i dokonując przekształcenia Laplace'a otrzymujemy ΣI_k(s) = 0. Analogicznie w przypadku NPK dochodzimy do równania ΣU_k(s) = 0. Powyższe relacje wskazują, że PPK i NPK dla transformat prądów i napięć formułuje się identycznie jak dla wartości chwilowych. Rezystor: Z zależności u=Ri, po dokonaniu transformacji Laplace'a, otrzymujemy U(s) = RI(s), a zatem Z_R(s) = R. Cewka: Poddając obie strony równania u = L(di/dt) przekształceniu Laplace'a i korzystając z tw. o transformacie pochodnej, znajdujemy U(s) = sLI(s)-Li(0). Kondensator: Z zależności napięciowo prądowej dla wartości chwilowych u = u(0) + (1/C)₀∫^t i(τ)dτ otrzymujemy w wyniku przekształcenia Laplace'a i uwzględnienia tw. o transformacie całki, równanie operatorowe U(s) = u(0)/s + (1/sC)I(s).

CZWÓRNIKI.

Czwórnik - połączenie mające cztery zaciski: dwa zaciski wejściowe (pierwotne) oraz dwa zaciski wyjściowe (wtórne). Zaciski wejściowe oznaczamy 1, 1', a wyjściowe 2, 2'. Napięcie u₁ między 1,1' nazywa się wejściowym, natomiast u₂ między 2,2' - wyjściowym. Podobnie prądu i₁ oraz i₂. Czwórnik liniowy - gdy wszystkie elementy z których zbudowany jest czwórnik są liniowe. Czwórnik nieliniowy - jeżeli choć jeden z elementów jest nieliniowy. Czwórnik aktywny - jeżeli w wewnętrznych połączeniach znajdują się niezależne źródła energii. Czwórnik nie zawierający żadnego źródła nazywa się pasywnym.

RÓWNANIA CZWÓRNIKA PASYWNEGO.

Równanie admitancyjne: [I₁; I₂] = y[U₁; U₂]; y = [y₁₁, y_12; y₂₁, y₂₂] (to co w [...] - macierze pisane wierszami. „ ;” - rozdziela wiersze). Elementy macierzy admitancyjnej wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U₂=0) oraz strony wejściowej (U₁=0) czwórnika. Równanie impedancyjne: [U₁; U₂] = z[I₁; I₂]; z = [z₁₁, z₁₂; z₂₁, z₂₂] = [y₁₁, y_12; y₂₁, y₂₂]^-1. Elementy wyznacza się rozpatrując stany jałowe strony wyjściowej (I₂=0) oraz strony wejściowej (I₁=0) Równanie łańcuchowe: [U₁; I₁] = a[U₂; I₂]; a = [a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan jałowy (I₂=0)oraz stan zwarcia (U₂=0) strony wyjściowej czwórnika. Równanie mieszane (hybrydowe): [U₁; I₂] = h[I₁; U₂]; h = [h₁₁, h₁₂; h₂₁, h₂₂]. Elementy wyznacza się rozpatrując stan zwarcia strony wyjściowej (U₂=0) oraz stan jałowy strony wejściowej (I₁=0).

CZWÓRNIKI ODWRACALNE I SYMETRYCZNE.

Czwórniki, do których stosuje się tw. o wzajemności nazywamy odwracalnymi lub wzajemnymi, natomiast czwórniki do których nie stosuje się tw. o wzajemności nazywamy nieodwracalnymi lub niewzajemnymi. Czwórnikami nieodwracalnymi są czwórniki zawierające źródła sterowane. Czwórnik odwracalny określony jest przez trzy niezależne parametry: a= a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ = 1; z₂₁ = -z₁₂; y₂₁ = -y₁₂; h₂₁ = h₁₂. Czwórnik symetrycznym - gdy przy zmianie strony zasilania, prądy i napięcia nie zmieniają się. Jest rzeczą obojętną, którą stronę czwórnika symetrycznego zasilimy, a którą obciążymy. Macierz łańcuchowa czwórnika symetrycznego nie może zależeć od wyboru strony zasilania. Wynika stąd warunek jaki muszą spełniać elementy macierzy łańcuchowej czwórnika symetrycznego: a₂₂ = a₁₁; z₂₂ = -z₁₁; y₂₂ = -y₁₁; h = h₁₁h₂₂ - h₁₂² = 1. Impedancja falowa: Impedancją wejściową czwórnika symetrycznego nazywamy iloraz napięcia wejściowego U₁ przez prąd wejściowy I₁, czyli Z₁ = U₁/I₁.

POŁĄCZENIE ŁAŃCUCHOWE:

Połączeniem łańcuchowym czwórników nazywamy połączenie, w którym zaciski wyjściowe jednego czwórnika dołączone są do zacisków wejściowych czwórnika następnego. Rys.10 przedstawia połączenie łańcuchowe czwórników.

Równania łańcuchowe poszczególnych czwórników: [U₁; I₁] = a₁[U₂; I₂]; [U₂; I₂] = a₂[U₃; I₃], skąd po podstawieniu otrzymujemy: [U₁; I₁] = a₁a₂[U₃; I₃]. Równanie łańcuchowe czwórnika zastępczego jest następujące: [U₁; I₁] = a[U₃; I₃], gdzie a = a₁a₂. W przypadku połączenia łańcuchowego zawierającego n czwórników o macierzach łańcuchowych a₁, a₂, ..., a_n macierz łańcuchowa czwórnika zastępczego wyraża się wzorem: a = a₁a₂...a_n. Wynika stąd, że macierz łańcuchowa połączenia łańcuchowego jest równa iloczynowi ich macierzy łańcuchowych.

POŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE CZWÓRNIKÓW:

Połączenie szeregowe (regularne): Równania impedancyjne poszczególnych czwórników w połączeniu przybierają postać: [U₁'; U₂'] = z₁[I₁; I₂] oraz [U₁''; U₂''] = z₂[I₁; I₂]. Napięcie wejściowe U₁ oraz wyjściowe U₂ są sumą napięć po stronie wejściowej lub wyjściowej obu czwórników. Wynika stąd, że macierz impedancyjna połączenia szeregowego dwóch czwórników: z = z₁+z₂, a więc macierze impedancyjne dodają się.

Połączenie równoległe: W połączeniu równoległym dwóch czwórników zarówno strony wejściowe jak i wyjściowe obu czwórników połączone są równolegle, wobec czego napięcie U₁ istnieje po stronie wejściowej, a napięcie U₂ - po stronie wyjściowej każdego z czwórników. Równania admitancyjne poszczególnych czwórników tworzących połączenie wyrażają się wzorami: [I₁'; I₂'] = y₁[U₁; U₂] oraz [I₁''; I₂''] = y₂[U₁; U₂]. Macierz admitancyjna połączenia równoległego dwóch czwórników: y = y₁+y₂, co oznacza że przy połączeniu równoległym czwórników dodają się ich macierze admitancyjne.

CZWORNIK T - w stanie jałowym przy rozwartych zaciskach 2,2' mamy I₂=0 wobec tego napięcie na admitancji Y równa się U₂ a prąd wejściowy czwórnika I₁=YU₂. Macierz łańcuchowa niesymetrycznego czwórnika T ma postać a=[1+Z₁Y , Z₁+Z₂+Z₁Z₂Y ;Y , 1+Z₂Y] Czwórnik T jest symetryczny gdy Z₁=Z₂.

CZWÓRNIK Π - w stanie jałowym przy rozwartych zaciskach 2,2' mamy I₂=0 a I₁=(Y₁+Y₂+Y₁Y₂Z)U₂. . Macierz łańcuchowa niesymetrycznego czwórnika Π ma postać a=[1+Y₂Z , Z; Y₁+Y₂+Y₁Y₂Z , 1+Y₁Z]. Czwórnik Π jest symetryczny gdy Y₁=Y₂.

CZWÓRNIK SYMETRYCZNY X - przyjmujemy że Z₁(s)≠Z₂(s) , w stanie jałowym przy rozwartych zaciskach 2,2'. U₂=(Z₂-Z₁)I₁/2. Macierz łańcuchowa a=[(Z₂+Z₁)/(Z₂-Z₁) , 2Z₂Z₁/(Z₂-Z₁) ; 2/(Z₂-Z₁) , (Z₂+Z₁)/(Z₂-Z₁)] , a₂₂=a_11.

LINIA DŁUGA.

Linia długa to dwuprzewodowa linia elektryczna wzdłuż której rozłożone są następujące parametry: 1) rezystancja R związana ze zjawiskiem wytwarzania energii cieplnej kosztem energii elektr. 2) indukcyjność L związana z istnieniem p. magnet. w otoczeniu przewodów wiodących prądy. 3) pojemność C związana z istnieniem p. elektr. między przewodami. 4) przewodność G spowodowana niedoskonałą izolacją między przewodami.

RÓWNANIA TELEGRAFISTÓW.

Rozpatrujemy linię długą o długości l. Równania telegrafistów: 1) -du/dx = Ri + L(di/dt); 2) -di/dx = Gu + C(du/dt), gdzie G - przewodność.

RÓWNANIA LINI DŁUGIEJ.

Niech U=U(x) oraz I=I(x) oznaczają wartości zespolone napięcia i prądu w punkcie linii odległym o x od jej początku. Stała przenoszenia falowego: γ = √[(R+jωL)(G+jωC)], jednostką jest [1/m]. Impedancja falowa linii długiej: Z_f = √[(R+jωL)/(G+jωC)], jednostką jest [Ω]. Równania linii długiej: 1) U = U₁chγx - Z_fI₁shγx; 2) I = (-U₁/Z_f)shγx + I₁chγx; 3) U = U₂chγx' - Z_fI₂shγx'; 4) I = (U₂/Z_f)shγx' + I₂chγx'.

PARAMETRY FALOWE: Stała rozprzestrzeniania γ oraz impedancja falowa Z_f . Stała γ=α+jβ , α -stała tłumienia (tłumienność jednostkowa) , β - stała fazowa (przesuwność jednostkowa) , dla częstotliwości technicznych γ ≈√(jωCR) , α=β=√(ωCR/2).

ZJAWISKA FALOWE: U=A₁e^-γx+ A₂e^γx podstawiamy γ=α+jβ oraz przyjmujemy A₁=A₁e^jψ1 , A₂=A₂e^jψ2.Przyjmujac x=const. stwierdzamy ze u_I jest wielkością sinusoidalna o amplitudzie A₁√2e^-αx malejącą wykładniczo przy wzroście x czyli przy zbliżaniu się do końca linii, natomiast u _II maleje przy zbliżaniu się do początku linii. Przebiegiem wielkości u_I przy t=const jest sinusoida tłumiona wykładniczo o amplitudach malejących w miarę zbliżania się do końca linii. Faza wielkości u_I jest stała gdy ωt-βx+ψ₁=const - równanie ruchu jednostajnego. Prędkość fazowa fali v=ω/β. Fala ta ulega tłumieniu przy przesuwaniu się. Faza wielkości u_II jest stała gdy ωt+βx+ψ₂=const zatem v= -ω/β. Długość fali napięcia i prądu λ=vT=ωT/β=2π/β.

PREDKOSC FALI W LINII BEZSTRATNEJ: w linii bezstratnej R=0 , G=0 wiec γ=jω√(LC) wobec tego α=0 , β=ω√(LC). W linii bezstratnej fale napięcia i prądu są nie tłumione. Wnioskujemy wiec ze tłumienie jest spowodowane stratami mocy w linii. v=ω/β=1/√(LC) ;v≈c₀ / √(ε_rμ_r) ,c₀-pr.swiatla w próżni , ε_r,μ_r- przenikalności elektryczna i magnetyczna względna środowiska. Zjawiska w obwodach elektrycznych o parametrach rozłożonych maja charakter falowy. Zaznacza się on tylko wtedy gdy długość obwodu jest porównywalna z długością fali. Tak na przykład linie dwuprzewodowa o długości 1 metra należy traktować jako linie długą.

ODBICIE FAL Współczynnik n odbicia fali w końcu linii (x=l) określamy: n=U_w(l)/U_p(l)= I_w(l)/I_p(l). Współczynnik n jest równy ilorazowi wyrażeń zespolonych fali odbitej w końcu linii i fali pierwotnej. n=(Z₂-Z_f)/(Z₂+Z_f) gdzie Z₂=U₂/I₂ jest impedancją obciążenia linii długiej. W ogólnym przypadku n≠0 wobec tego w linii długiej istnieją fale odbite napięcia i prądu. Gdy impedancja obciążenia Z₂ równa się impedancji falowej linii długiej wówczas n=0 co oznacza ze nie ma w linii fal odbitych.

LINIA DŁUGA. Obwód o parametrach rozłożonych, w którym należy uwzględnić dwa rodzaje zmiennych niezależnych związanych z czasem i przestrzenią. Jeżeli zaburzeniem jest sygnał okresowy o okresie T, to definiuje się długość fali tego sygnału λ zgodnie ze wzorem: λ = vT = v/f, gdzie f - częstotliwość. Jeżeli układ ma taką konfigurację, że jego wymiary geometryczne w jednym kierunku są znacznie większe niż w innych kierunkach, to model takiego układu zawiera parametry rozłożone i nazywany jest linią długą.

RÓWNANIA LINII DŁUGIEJ. Linię długą modeluje się za pomocą obwodu zawierającego elementy R, L, C, G. R jest rezystancją reprezentującą straty cieplne w linii, L - indukcyjnością reprezentującą energię zgromadzoną w p. magnet. linii, C - pojemność reprezentująca energię zgromadzoną w p. elektr. wytworzonym przez przewody, G - konduktancja reprezentująca straty cieplne w dielektryku w którym znajdują się przewody. Jeżeli parametry R, L, C, G są stałe (niezależne od x), to linię nazywamy jednorodną. Model linii długiej można traktować jako łańcuchowe połączenie czwórników. Na zaciskach pierwotnych występuje napięcie u(x,t) oraz prąd i(x,t), a na wtórnych u(x + Δx, t), i(x + Δx, t). Równania linii długiej: 1) -du/dx = Ri + L(di/dt); 2) -di/dx = Gu + C(du/dt). W szczególnym przypadku, gdy R=0 i G=0 mamy do czynienia z tzw. linią bez strat. Równania takiej linii: 1) LC(d²u/dt²) - (d²u/dx²) = 0; 2) LC(d²i/dt²) - (d²i/dx²) = 0 Prędkość rozchodzenia się fali: v = 1/√LC. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter falowy.

RÓWNANIA TRANSFORMAT. 1) (d²u/dx²) - γ²u = 0; 2) (d²i/dx²) - γ²i = 0, gdzie γ = √[(R+sL)(G+sC)] - współczynnik przenoszenia linii. Rozwiązania tych równań mają postać: u(x) = A₁(s)e^-γx + A₂(s)e^-γx; i(x) = B₁(s)e^-γx + B₂(s)e^-γx. Funkcje A₁(s), A₂(s) oraz B₁(s), B₂(s) są wzajemnie uzależnione. Znajdujemy B₁(s) = A₁(s) / Z_f; B₂(s) = A₂(s) / Z_f, gdzie Z_f = √[(R+sL) / (G+sC)] nazywamy impedancją falową linii długiej. Ostatecznie układ równań przyjmuje postać: 1) u(x) = A₁(s)e^-γx + A₂(s)e^-γx, 2) i(x) = (1/Z_f)[A₁(s)e^-γx + A₂(s)e^-γx]. W celu zdeterminowania funkcji A₁(s) i A₂(s) należy rozpatrzyć odpowiednie warunki brzegowe, czyli określić związki pomiędzy napięciami i prądami na początku i na końcu linii.

WARUNKI BRZEGOWE W LINII NIESKOŃCZENIE DŁUGIEJ. Rozpatrujemy linię długą zasilaną na początku (x=0) z generatora o napięciu źródłowym e₁(t) oraz impedancji operatorowej Z₁(s). Warunki początkowe w całym układzie są równe zeru: u(x,0) = 0 oraz u(x,0) = 0. Napięcie i prąd na początku linii: u₁(t) oraz i₁(t), a ich transformaty U₁ oraz I₁. Warunek brzegowy na początku linii: E₁ - U₁ = Z₁(s)I₁. A zatem równania linii długiej: 1) U(x) = [Z_f / (Z₁+Z_f)]E₁e^-γx; 2) I(x) = [Z_f / (Z₁+Z_f)]E₁e^-γx. W jednorodnej linii nieskończenie długiej stosunek transformat napięcia i prądu w dowolnym punkcie x jest równy impedancji falowej. Impedancja wejściowa linii nieskończenie długiej jest równa impedancji falowej tej linii.

WARUNKI BRZEGOWE LINII O SKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI. Analizujemy linię o skończonej długości l zasilanej z generatora E₁, Z₁(s) i na końcu z generatora E₂, Z₂(s). Na początku linii: x = 0: E₁ = U₁+Z₁(s)I₁. Na końcu linii: x = l: U₂ = Z₂(s)I₂ + E₂. Linia dopasowana falowo: Jeżeli impedancja operatorowa odbiornika równa się impedancji falowej, czyli Z₂ = Z_f. Linia zwarta na końcu: W przypadku zwarcia Z₂(s)=0. Linia rozwarta na końcu: Z₂(s)= ∞. Linia zrównoważona: Gdy zachodzi warunek: R/L = G/C, przy czym LC≠0. Linia bez strat: W linii bez strat zachodzi R=0, G=0 oraz LC≠0, co sprawia że w linii nie ma żadnych strat energii. W linii bez strat napięcie i prąd mają charakter fali płaskiej, której prędkość rozchodzenia się wynosi: : v = 1/√LC. Impedancja falowa linii bez strat równa się oporowi charakterystycznemu: Z_f = √(L/C), oraz współczynnik przenoszenia wyraża się wzorem: γ = s√LC = s/v.

---