Pytania z ekonomii matematycznej

1. Zdefiniuj pojęcie koszyka towarów, podaj matematyczne ujęcie i przykłady.

2. Co to jest wektor cen? Podaj interpretację składowych wektora.

- wektor cen

3. Podaj definicję: Metryki, przestrzeni metrycznej oraz przynajmniej jeden przykład przestrzeni metrycznej.

Jeśli założymy, iż Ω będzie niepustym zbiorem, to metryką w Ω nazywamy funkcję rzeczywistą
spełniającą warunki:

I.

II.
- wartość f(x) jednakowa.

III.

Zbiór Ω z tak określoną metryka q nazywamy przestrzenią metryczną.

Mówimy, że zbiór X jest przestrzenią metryczną, jeśli dowolnym dwóm punktom x,y
X odpowiada liczba rzeczywista d (x,y) zwana odległością od x do y taką, że:

a)

b)

c)

4. Scharakteryzuj przestrzeń towarów, podaj przykład

Zbiór X
Rⁿ₊ dostępnych na rynku wiązek (koszyków) towarów z normą IxI = max Ix_iI nazywamy przestrzenią towarów.

Przy czym R⁺_n jest zbiorem wszystkich nieujemnych wektorów o wymiarze n.

Wektor x=(x₁, x_2, x₃,…x_n)
X
Rⁿ₊ opisuje zestaw (koszyk) towarów.

5. Co należy rozumieć pod pojęciem zbioru budżetowego?

Zbiór budżetowy konsumenta to zbiór wiązek towarowych, spośród których konsument może dokonać wyboru, przy założeniu ograniczeń budżetowych.

6. Co się dzieję ze zbiorem budżetowym, gdy jedna z cen rośnie, a pozostałe czynniki są bez zmiany?

Gdy jedna z cen rośnie, a reszta czynników pozostaje bez zmiany, zbiór budżetowy zmniejszy się.

7. W jaki sposób racjonalnie wpływa na zbiór budżetowy?

8. Czym różni się zbiór budżetowy od krzywej obojętności?

9. Co można powiedzieć o koszykach towarów „leżących” na krzywej obojętności?

Konsument jest obojętny wobec dowolnych dwóch koszyków znajdujących się na tej samej krzywej obojętności.

10. Jak wyznacza się wartość wiązki towarowej?

Wartość wiązki towarów, q jest iloczyn skalarny p*q =p₁*q₁ + …. + p_nq_n

Wektor p - wektor cen wektor q - wektor zawierający ilość towarów badanej wiązki.

11. Zdefiniuj relację preferencji.

Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór p wszystkich takich par koszyków, że pierwszy koszyk w parze jest nie gorszy od drugiego.

Relacja preferencji jest zupełna i przechodnia, tzn.

a)

b)

12. Jak należy rozumieć „preferencje wypukłe”?

Preferencje są wypukłe wtedy, kiedy konsumenci lubią mieszanki.

X jest mieszanką wiązek a i b.

13. Co to znaczy, że relacja preferencji jest ciągła? Jakich wyborów dokona konsument kierujący się ciągłą relacją preferencji?

Relacja preferencji konsumenta
nazywamy ciągłą na przestrzeni towarów X, jeżeli
istnieją takie otoczenia U_E (x) C X, e

Tzn., że jeżeli dla konsumenta kierującego się ciągłą relacją preferencji pewien koszyk x jest lepszy od koszyka y, to każdy koszyk x^' „niewiele” różniący się od koszyka x jest lepszy od koszyka y^' „niewiele różniącego się od y.

Jeżeli relacja preferencji konsumenta jest ciągła i silnie wypukła na Rⁿ₊, to w zbiorze D(p,I) (zbiór koszyków spełniających ograniczenie budżetowe) istnieje dokładnie jeden optymalny koszyk towarów
spełniających warunek:
koszyk
utożsamiany z popytem konsumenta przy dochodzie I oraz wektorze cen P.

14. Wyjaśnij, na czym polega optymalny wybór konsumenta.

15. Czym różni się zbiór preferencyjny od pola preferencji?

Przestrzeń towarów
ze zdefiniowaną na tej przestrzeni relacją preferencji konsumenta P nazywamy polem preferencji konsumenta i oznaczamy symbolem (X,P).

Zbiór postaci:
nazywamy zbiorem preferencyjnym.

Zbiór S zawiera wszystkie wiązki (koszyki) x, które konsument lubi, co najmniej tak, jak y.

Brzeg zbioru S jest gładką krzywą obojętności. Konsument jest obojętny wobec dowolnych dwóch koszyków znajdujących się na tej samej krzywej obojętności.

16. Kiedy pole preferencji jest silnie wypukłe?

Relację preferencji P określoną na wypukłej przestrzeni towarów X nazywamy silnie wypukłą na X, jeżeli

Spełniony jest warunek:

Z twierdzenia wynika, że jeżeli konsument kierujący się silnie wypukłą relacją preferencji uzna, że koszyk x jest lepszy od koszyka y, to uzna także, iż każda kombinacja koszyków x i y jest lepsza od koszyka y.

Jeżeli natomiast stwierdzi, że koszyki x i y są dla niego jednakowo dobre, to każda kombinacja tych koszyków będzie dla niego lepsza, zarówno od samego koszyka x, jak i od samego koszyka y.

17. Podaj definicję funkcji użyteczności i jej podstawowe własności.

Funkcją użyteczności konsumenta nazywamy określoną na przestrzeni towarów

X = Rⁿ₊ funkcję u: Rⁿ₊ R¹ spełniającą dla dowolnej pary koszyków x,y
Rⁿ₊ warunki:

I.

II.

18. Scharakteryzuj zjawisko niedosytu.

Mówimy, że w polu preferencji konsumenta (Rⁿ₊, P) obserwujemy zjawisko niedosytu, jeżeli funkcja użyteczności jest rosnąca, czyli:

19. Co można powiedzieć o funkcji użyteczności, gdy w polu preferencji występuje niedosyt?

20. Podaj związek pomiędzy powierzchnią obojętności i funkcją użyteczności

21. Co nazywamy hesjanem? Kiedy Hesjan jest określony ujemnie?

Hesjanem dwukrotnie różniczkowalnej funkcji
nazywamy macierz utworzoną z jej wszystkich pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.

Hesjan H(x) nazywamy ujemnie określonym na Rⁿ₊, jeżeli
zachodzi:

.

22. Jaki związek zachodzi między ujemna określonością Hesjanu i wypukłością funkcji użyteczności?

Jeżeli funkcja użyteczności
i jej Hesja H(x) jest ujemnie określony na Rⁿ₊, to jest ona funkcją silnie wklęsłą na Rⁿ_+.`

23. Co oznacza termin „krańcowa stopa substytucji”?

Termin „Krańcowa Stopa substytucji” pokazuje, o ile powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

24. Jaki związek zachodzi między krańcową stopą substytucji i elastycznością substytucji?

Dla różnych funkcji użyteczności, przy takim samym dochodzie i cenach, różne mogą być optymalne koszyki
oraz krańcowe użyteczności
, to krańcowa stopa substytucji Si(
) jest zawsze taka sama, jeżeli tylko funkcja użyteczności jest rosnąca, różniczkowalna i silnie wklęsła.

25. O czym informuje elastyczność substytucji i-tego towaru?

Elastyczność substytucji pokazuje, o ile % powinna się zwiększyć ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o 1% ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka była bez zmian.

26. Podaj warunki istnienia rozwiązania zadania maksymalizacji funkcji użyteczności.

27. Zdefiniuj pojęcie „funkcja popytu”.

Funkcją popytu konsumenta nazywamy odwzorowanie
, które każdej parze (p,I)>0 przyporządkowuje odpowiadające jej rozwiązanie:
zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji.

28. Przedstaw interpretację funkcji popytu.

Funkcja popytu konsumenta q(p,I) opisuje jak (wraz ze zmianą cen i dochodu) zmienia się popyt konsumenta na poszczególne towary, jeżeli maksymalizuje on użyteczność nabywanego koszyka.

29. Określ związki funkcji popytu z relacją preferencji i funkcją użyteczności.

Jeżeli pewne dwie funkcje użyteczności U¹(x) i U²(x) opisują tę samą relację preferencji konsumenta, to odpowiada im jedna i ta sama funkcja popytu q(p,I).

Z twierdzenia wynika, że różnych funkcji popytu jest tyle, ile jest różnych relacji preferencji, a nie funkcji użyteczności.

Jeżeli funkcja użyteczności n:Rⁿ₊ R¹ jest rosnąca, silnie wklęsła i ciągła, to odpowiadająca jej funkcja popytu q(p,I) jest ciągła na int R^n-1₊, czyli:

jeżeli

30. Co oznacza, że funkcja popytu jest ciągła?

Ciągłość funkcji popytu oznacza, że bardzo małe zmiany cen i (lub) dochodu konsumenta nie mogą spowodować gwałtownych, skokowych zmian popytu na żaden towar.

31. Zdefiniuj krańcową użyteczność dochodu.

32. Podaj znaczenie pośredniej funkcji użyteczności.

Pośrednia funkcja użyteczności to odwzorowanie
, które każdej parze (p,I)>0 przyporządkowuje użyteczność
optymalnego koszyka
będącego rozwiązaniem zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji.

Jest to złożenie funkcji użyteczności z funkcją popytu.

33. Co to jest popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego towaru?

34. Czym różni się „towar normalny” od „towaru Giffena”?

35. Jak definiuje się proces technologicznie dopuszczalny?

Jeżeli dowolnie mała zmiana wektora nakładów x lub wektora wyników y (lub obu wektorów jednocześnie) w pewnym procesie (x,y) prowadzi do procesu technologicznie dopuszczalnego, to proces (x,y) jest też technologicznie dopuszczalny.

36. Podaj różnicę między przestrzenią p-produkcyjną i c-produkcyjną.

Zbiór
wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji z normą IZI=max IŻ_iI nazywamy przestrzenią produkcyjną w ujęciu procesów

(przestrzeń p-produkcyjna). Przestrzeń p-produkcyjna spełnia założenie proporcjonalności nakładów i wyników oraz założenia możliwości marnotrawstwa.

Zbiór wektorów produkcji czystej
z normą IxI=maxIx_iI nazywamy przestrzenią c-produkcyjną.

37. Podaj dowolnie wybrane prawa produkcji wraz z interpretacją.

38. Kiedy proces (x,y) jest technologicznie efektywny?

Proces
nazywamy technologicznie efektywnym, jeżeli spełnia warunek:

39. Zdefiniuj funkcję produkcji.

Skalarną funkcją produkcji nazywamy funkcję
, która każdemu wektorowi nakładów
przyporządkowuje maksymalną wielkość produkcji danego produktu
, możliwą do uzyskania z wektora x.

40. Co to jest izokwanta produkcji?

Izokwantą produkcji na poziomie y₀ > 0 nazywamy zbiór G wszystkich wektorów nakładów X, którym odpowiada ten sam poziom produkcji y₀, co można zapisać:

41. Zdefiniuj pojęcie krańcowej efektywności i-tego czynnika.

Krańcowa efektywność i-tego czynnika pokazuje, o ile wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o jednostkę, a nakłady pozostałych czynników nie ulegną zmianie.

gdzie:

42. Zdefiniuj pojęcie elastyczności produkcji względem i-tego czynnika.

Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika to wyrażenie pokazujące o ile % wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1% (a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną zmianie).

43. Zdefiniuj pojęcie elastyczności produkcji względem skali nakładów.

Elastyczność produkcji względem skali nakładów pokazuje, o ile % wzrośnie produkcja, jeżeli wszystkie czynniki produkcji wzrosną o 1%.

44. Jak należy rozumieć „izokwantę produkcji”?

Izokwantą produkcji na poziomie y₀>0 nazywamy zbiór G wszystkich wektorów nakładów X, którym odpowiada ten sam poziom produkcji Y₀, co można zapisać:

45. Co oznacza „techniczne uzbrojenie pracy”?

Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy wyrażenie:

U = K/Z K≥0 Z›0

Określa liczbę jednostek kapitału przypadających na jednostkę pracy.

46. Podaj przykład funkcji produkcji. Czy jest ona funkcją wklęsła?

47. Wyjaśnić pojęcie alokacji dopuszczalnej.

Alokacją dopuszczalną, nazywamy każdy (n * m) - wymiarowy wektor x=(x¹,…x^m), który spełnia warunek:

48. Co oznacza termin „alokacja blokowana”?

Alokację
nazywamy blokowaną przez koalicję
, jeżeli istnieje taka

alokacja
, że

:

(i)
,

(2i)
oraz przynajmniej dla jednego

.

Alokacja jest blokowana przez koalicję handlowców, jeżeli wymieniając się towarami tylko między sobą handlowcy z koalicji są w stanie poprawić sytuację przynajmniej jednego z nich, nie pogarszając sytuacji żadnego handlowca z koalicji.

49. Zdefiniuj pojęcie „Jądro wymiany”.

Jądrem wymiany nazywamy zbiór C(a) złożony ze wszystkich alokacji nieblokowanych.

Jądro wymiany to zbiór wszystkich punktów styczności krzywych obojętności - ale tylko tych, które leżą wewnątrz soczewki (lub na jej brzegach).

50. Kiedy alokacja jest „Pareto-optymalna”?

Alokację
nazywamy Pareto-optymalną, jeżeli nie istnieje żadna inna alokacja
taka, że:

(i)


, k= 1,...,m;

(2i)
przynajmniej dla jednego
.

Innymi słowy, alokacja
jest Pareto-optymalna, jeżeli nie istnieje inna alokacja
, która dla wszystkich handlowców jest nie gorsza od x, a przynajmniej dla jednego handlowca jest lepsza.

Gorsze wiązki

S lepsze

wiązki

b

a

x

---