Zestaw I
Jednorodny walec o promieniu R i masie m leży powierzchnią boczną na płaszczyżnie poziomej. Oblicz moment bezwładności walca względem osi przechodzącej wzdłuż lini jego styku z powierzchnią. Długość h gęstość ρ = const..
Dane: R,m,h
V= Πr2h m=ρV
dV=2Πrh dm=ρdV
I=
r2dm =
r2ρdV =
r2ρ2ΠrhdV = ρ2Πh
r3dV ==
ρ2Πh 0,25 r4
=
Πρh r4 =
ΠρhR4 =
ΠρhR2R2 =
=
mR2
2.Znaleść natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez jednorodną cienką powłokę kulista o promieniu R i gęstości powierzchniowej ρ - a) wewnątrz powłoki b) na jej powierzchni c) na zewnątrz powłoki
Dane : R, ρ szuka: E1, E2,E3
a) r<R ρ=
=
ρ=
m1=
Πr13 ρ
Eds = 4ΠGM1
4ΠMG = 4Πr2E M=δ*S
E4Πr2=4ΠδSG :S=4Πr2
E4Πr2=4ΠδSG 4Πr2
E=4ΠδG
b) dla r=R
4ΠR2=4ΠMG M=δ4ΠR2
4ΠR2=4ΠG δ4ΠR2
E=4ΠδG
c) dla r>R
E 4Πr2=4ΠMG M=δS
E 4Πr2=4ΠG δS S=4ΠR2
E=4ΠGSR2/r2
Wnętrzu kuli rośnie liniowo, na powierzchni jest stałe, na zewnątrz maleje ze wzrostem odległości
3.W ciągu t=5min. Energia drgań tłumionych zmniejszyła się
4 - krotnie po jakim czasie od chwili początkowej ampituda zmniejszy się 8 razy? Jaka jest wartość dekrementu tłumienia jeżeli częstotliwość f = 1000 Hz.
Dane :t1= 5 min. , f = 1000 Hz , A2 =
,
=
A2= A0eβt
= (
)2
8 = e
2= eβt
3 ln 2 = βt2
t2=
i β=
ln2 = βt1
β=
t2= 3t1 t2 = 15 min.
Λ= βT Λ= β
, β=
Λ=
Λ=
Λ= 2,3 * 10-6
4. Jaka musi być gęstość kuli drewnianej o promieniu R, aby wypłynęła ona z wody o gęstości ρ ze stałą prędkością V, jeżeli współczynnik lepkości wynosi η?
Dane : R, ρw,η, V szukane : ρ
M = ρV , V =
ΠR3 , gm = - 6ΠηRV
ΠR3(ρw - ρk)g = 6 ΠηRV
2ΠR3ρg - ρkg2ΠR3 = 9 ΠηRV
ρk =
ρw =
[
] = [
]
Zestaw2
Zad 1
Oblicz moment bezwładności jednorodnego płaskiego krążka o promieniu R i gęstości powierzchniowej σ względem osi prostopadłej do płaszczyzny krążka i przechodzącej przez jego środek.
Dane R σ I=?
I=x2dm σ=m/ΠRr2
σ=m/I
d=2Πxdx
dm=σ 2Πxdx
d=2dm=x22Πσxdx=2Πσx3dx
I=∫0R2Πσx3dx=2Πσ R4/4= ½ ΠσR4= ½ΠR2σR2=½mR2
Zad 2
Znaleźć natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego przez jednorodnie naładowaną płaszczyznę o gęstości powierzchniowej ładunku σ.
Dane σ szukane Eδ=?
E=Fq/m E=G M/R2
Eσ =G M/R2 =G σR/R2=G σ2ΠR/R=Π2σG
Zad 3
W czasie t=20s amplituda drgań tłumionych w okresie T=0,2 zmniejszyła sie 2 razy. Po jakim czasie amplituda zmaleje 16 razy? Jak zmieni się wówczas energia całkowita oscylatora? Ile wynosi wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia?
t1 =20s T=0,2s
A1=A0/2 A2=Ao/16
A1=A0 e-βt
½= e-βt
2= eβt
ln2=βt1
β=ln2/t1
A2=A0 e-βt
1/16= e-βt
16= eβt
4ln2=βt2
t2 =4ln2/β[s]
t2 =4ln2⋅20/ln2=80
t2=80s
λ=βt
λ=ln2⋅0,2⋅1/20=6,9⋅10-3
E/E0=(A2/A0)2
E/E0=1/162
Zad 4
Dźwięk z ulicy o poziomie natężenia dźwięku 90 dB, słychać w mieszkaniu z poziomem natężenia 60 dB. Znaleźć stosunek natężeń dźwięku na ulicy i w mieszkaniu.
p1=90dB poziom natężenia dźwięku na ulicy
p2=60dB poziom natężenia dźwięku w mieszkaniu
p1-p2=30dB
p1=10log I1/I0
p2=10log I2/I0
10log I1/I0 - 10log I2/I0=30
log I1/I0 - log I2/I0=3
log I1/I2=3
I1/I2=103
Zestaw III
Oblicz moment bezwładności jednorodnego cienkiego pierścienia o promieniu R i gęstości liniowej masy τ względem osi przechodzącej przez środek pierścienia i prostopadłej do płaszczyzny na której leży pierścień.
; dm=τ*dl
; dl=r*df
Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez jednorodną kulę o promieniu R i gęstości p: a) wewnątrz, b) na jej powierzchni, c) na zewnątrz kuli.
a) r<R m=4Πr2*b E=(GM)/r2=(G4Πr2*b)/R2=4ΠGb
b) r=R E=(GM)/R2=(G4ΠR2b)/R2=4ΠGb
c)r>R E=(GM)/r2=(G4ΠR2b)/r2
W ciągu czasu t1=1 min energia drgań tłumionych zmniejszyła się 9 razy. Po jakim czasie licząc od chwili początkowej amplituda zmniejszy się 27 razy? Jak jest wartość dekrementu tłumienia jeśli częstotliwość drgań wynosi f=2000Hz.
t1=60s
t2=?
E1/E2=1/9
E1/E0=(A1/A0)2
1/3=A1/A0
A1=A0e-βt1
1/3=(A0e-βt1)/A0
3=e-βt1
ln3=βt1
β=ln3/t1
A2=A0e-βt2
A0/27=A0e-βt2
27=eβt2
33=eβt2
3ln3=βt2
t2=3ln3/β
β=ln3/t1
t2=3ln3/(ln3/t1)
t2=3t1 [s]
t2=180s
Λ=βT
Λ=β/f
Λ=ln3/(t1*f)
Λ=ln3/(60*2000)
Λ=9,155*10-6
O ile przesunie się tłok strzykawki o przekroju poprzecznym S1=1 cm2 , aby ciecz wypłynęła z niej ruchem jednostajnym po czasie t = 3s, jeśli działamy na niego siłą F=10N, a przekrój otworu wynosi S2=1 mm2.
S1=1 cm2
S2= 1 mm2
t=3 s
F=10N
p1=p2
F=ma
Zestaw4
Zad1
Wdrążony jednorodny walec o promieniu zewnętrznym R, wew r i masie m leży powierzchnią boczną na płaszczyźnie poziomej. Oblicz korzystając z def momentu bezwładności walca względem osi przecgodziącej prze jego środek symetrii. Oblicz także moment bezwładności względem osi styku z płaszczyzna. Przyjąć że długość walca wynosi h a jego gęstość p jest stała.
Zad 2
Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez cienką jednorodna nieskonczenie dluga nic o gęstości liniowej r w punkcie odleglym o R od nici.
Zad3
Częstotliwość drgań tłumionych układu wynosi f. Oblicz okres drgań własnych jeżeli logarytmiczny dekrement tlumienia wynosi A. Ile razy zmaleje energia układu po czasie t=10/f
Zad4
Kulka o promieniu R i gęstości x opada w cieczy o gestości y ze stałą prędkością v. Wyznacz współczynnik lepkości czieczy n.
Zad 1 Dane m , g , R , r
V=Π(R2-r2)2h
M=ρV
dV=2Πhx
dm=ρdv=ρ2Πhx V=Πx2h
I=x2dm
I=∫x2ρ2Πhxdx
a)I=2Πρh∫x3dx=2Πρh*x4/4=2Πρh*(R2-r2)2/4=2ΠR2-r2*(R2-r2)/4=2m(R2/4-r2/4)=1/2m(R2-r2)
b)I=I0+mR2=1/2m(R2-r2)+mR2=m(1/2R2-1/2r2+R2)=m(3/2R2-1/2 r2)=1/2m(3R2-r2)
odp.moment bezwladniosci walca wzgledem osi przechodizacej przez jego srodek symetri wynosi I=1/2m(R2-r2) natomiast moment bezwladniosci walca wzgledem osi styku z plaszyzna wynosi I=1/2m (3R2-r2).
zad 2 dane : τ, R
τ = M/l l = 2R
E = GMR2 E = Gτ2/R
odp. Natęzęnie pola grawitacyjnego wynosi E = G2τ/R
zad 4
dane : R , ρk , ρc , V
F = GΠRηV mρ GΠRηV m = ρV
m = ρ4/3ΠR3 ρ = ( ρk - ρw)
ρ 4/3 Π R3ρ = GΠRηVk
( ρk - ρw)4/3ΠR3ρ = GΠR
2(ρk - ρw)R2ρ = ρη Vk
η= 2( ρk - ρw)R2ρ/ ρVk
odp. Wsp. lepkości cieczy wynosi ρ = .........
zad 3
dane : t = 10 / ρ , f , Λ
Λ= βT β= Λ/T β = Λρ
E/ Eo = ( A/A0)2 = A0 e- βt / A0 ) = Λ / e2βt = Λ / e 2Λf 10/ f = Λ/ e 20Λ
odp. okres drgań wynosi Λ/ e 20Λ