Tomasz Madejski

WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMONIKACYJNYCH -SEMINARIUM.

Semestr zimowy 2000/2001.

Prowadzący: dr inż. Wojciech J. Krzysztofik.

Zadanie Z2/11.

Sygnał f(t) jest sygnałem modulującym przedstawionym na rysunku. Znaleźć wyrażenie określające odpowiedni sygnał SSB-SC gdy częstotliwość nośna jest równa f0=200kH.

1.Wstęp teoretyczny.

Tworzenie sygnałów zmodulowanych przebiega różnie w różnych rodzajach modulacji, zawsze jednak sygnał zmodulowany może być traktowany jako iloczyn dwóch funkcji czasu s(t)=c(t)m[f(t)] przy czym c(t) jest funkcją nośną, a m[f(t)] jest funkcjałem modulacji, przedstawiającym określoną operację na sygnale modulującym f(t).

Modulacja amplitudy polega na przesuwaniu widma częstotliwości sygnału modulującego przez pomnożenie go przez sygnał sinusoidalny, którego częstotliwość równa się częstotliwości o jaką musimy przesunąć widmo sygnału modulującego. Z twierdzenia o splocie w dziedzinie częstotliwości wynika, że funkcja widmowa funkcji
jest taka sama jak funkcji f(t) lecz jest przesunięta o ±
. To znaczy , jeśli
to
. Sygnał
jest zwany falą nośną. Pomnożenie funkcji
przez funkcję f(t) w rzeczywistości jest równoważne zmianie amplitudy nośnej proporcjonalnie do f(t). Stąd, ten sposób przesyłania nosi nazwę modulacji amplitudy (AM).Jak widać w sygnale zmodulowanym nie występuje fala nośna.

W procesie modulacji amplitudowej, widmo początkowe F(ω) jest przesuwane o ±
.Sygnał niezmodulowany zajmuje pasmo określone częstotliwością
,podczas gdy ten sam sygnał po modulacji zajmuje pasmo określone częstotliwością 2
.Jednakże nie jest to konieczne. Widma będące wynikiem modulacji są identyczne. Możemy dalej dostrzec, że widmo skupione przy częstotliwości
składa się z dwóch części : jedna część leży poza
i nosi nazwę wstęgi górnej

,a pozostała część leży przed
i nosi nazwę wstęgi dolnej. Podobnie ,widmo skupione przy -
ma wstęgę górną i dolną. Widzimy teraz, że te dwie wstęgi górne widma (lub dwie wstęgi dolne) zawierają pełną informację dotycząca F(ω).Toteż, zamiast przesyłać pełne widmo ,wystarczy przesłać tylko albo wstęgi górne albo wstęgi dolne widma. Taka modulacja nazywa się jednowstęgową modulacją amplitudy bez fali nośnej w skrócie SSB-SC. Analizując modulację jednowstęgową będę posługiwał się pojęciem sygnału analitycznego
.

gdzie:
jest transformatą Hilberta sygnału modulującego f(t),i przyjmijmy analityczną harmoniczną falę nośną
.

Analityczny sygnał zmodulowany ma postać:

Jako fizyczny sygnał zmodulowany przyjmiemy część rzeczywistą sygnału analitycznego s(t)

Biorąc pod uwagę, że widmo sygnału
ma postać
oraz korzystając z twierdzenia o splocie w dziedzinie częstotliwości znajdujemy

i

Widmo sygnału zmodulowanego otrzymamy sumując widma iloczynów

Powstały sygnał jednowstęgowy odpowiada górnej wstędze bocznej.

W celu otrzymania sygnału jednowstęgowego odpowiadającego dolnej wstędze bocznej należy przyjąć funkcjonał modulacji sprzężony z funkcjonałem określonym zależnością
.

2.Rozwiązanie zadania.

W celu określenia transformaty Fouriera funkcji f(t) znajduję współczynniki Fn.

Stąd:

i

Transformata Fouriera sygnału f(t) jest zatem równa :

Podstawiamy wartości liczbowe: τ=50 μs, T=100 μs,
=62,83
=20
π,A=1

Funkcja widmowa funkcji f(t) ma postać:

Sygnał SSB-SC będzie miał następującą postać:

Podstawiamy wartości liczbowe: τ=50 μs, T=100 μs,
=62,83
=20
π ,A=1,

Widmo sygnału jednowstęgowego (wstęga górna):

Wnioski:

Modulacja jest operacją polegającą na translacji widma częstotliwościowego sygnału. Modulacja jest stosowana w systemach telekomunikacyjnych w celu zwiększenia efektywności procesu transmisji. Obecnie wszystkie sygnały radiowe i telewizyjne są obecnie modulowane.

Dzięki zastosowaniu SSB-SC nie musimy przesyłać informacji które są nadmiarowe. Pasmo występowania sygnału wynosi tyle co przed modulacją czyli
.

---