Algebra liniowa - zastawy egzaminacyjne I semestr UG informatyka, algebra


Zestaw 1

  1. Sformułuj tw Laplace'a (o macierzy kofaktorów)

  2. Niech 0x01 graphic
    będzie taka, że det A = 2. Niech c(A) oznacza macierz kofaktorów A. Wówczas det c(A) = …..

    1. Podaj definicję odwzorowania liniowego.

    2. Odwzorowanie α: RR dane przez α(x) = 2x + 1 nie jest (R) liniowe bowiem

      ………………………………………………………………………

      1. W standardowej interpretacji geometrycznej {zC : 0x01 graphic
        } jest to okrąg o promieniu ….

      2. Niech 0x01 graphic
        oraz 0x01 graphic
        . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie: 0x01 graphic
        .

      Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

      1. Niech (Q-endomorfizm) α : Q2×2Q2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + 3Xt. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

      2. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:

      0x01 graphic

      Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

      1. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

      2. Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

        1. Niech ubazy B, C, S w R2 dane będą przez: B = 0x01 graphic
          oraz C = 0x01 graphic
          oraz S = 0x01 graphic
          . Niech α : R2R2 będzie liniowe takie, że mCB(α) = 0x01 graphic
          (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

        Wówczas: mSS(α) = ……..

        1. Niech (wymierna macierz) 0x01 graphic
          . Niech B = A57. Wówczas B33 = ….

        2. Niech (zespolona macierz) 0x01 graphic
          . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

        Odp:

        mA = ……………………

        iA = ……………………..

        pJord = ………………….

        Zestaw 2

        1. Sformułuj tw Cauchy'ego (o wyznaczniku iloczynu)

        2. Niech 0x01 graphic
          będą takie, że det A = 2 oraz det B = 3.

          Wówczas det (-2A-1B) = …..

          1. Podaj definicję przestrzeni ortogonalnej (do zbioru w przestrzeni z iloczynem skalarnym).

          2. Wskaż niezerowy wektor o współczynnikach całkowitych ortogonalny do
            span{(1, 2, 3), (1, 3, 1)} w R3 (standardowy il skal.). Odp: …………….

            1. W standardowej interpretacji geometrycznej {zC : 0x01 graphic
              } jest to okrąg o promieniu ….

            2. Niech 0x01 graphic
              oraz 0x01 graphic
              . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie: 0x01 graphic
              .

            Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

            1. Niech (Q-endomorfizm) α : Q2×2Q2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + 2Xt. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

            2. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:

            0x01 graphic

            Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

            1. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

            2. Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

              1. Niech ubazy B, C, S w R2 dane będą przez: B = 0x01 graphic
                oraz C = 0x01 graphic
                oraz S = 0x01 graphic
                . Niech α : R2R2 będzie liniowe takie, że mCB(α) = 0x01 graphic
                (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

              Wówczas: mSS(α) = ……..

              1. Niech (wymierna macierz) 0x01 graphic
                . Niech B = A85. Wówczas B33 = ….

              2. Niech (zespolona macierz) 0x01 graphic
                . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

              Odp:

              mA = ……………………

              iA = ……………………..

              pJord = ………………….

              Zestaw 3

              1. Podaj jaki jest związek między wymiarami jądra i obrazu odwzorowania liniowego.

              2. Niech odwzorowanie liniowe α : Q7Q5 będzie takie, że dim ker α = 3.

                Wówczas dim im α = …..

                1. Podaj definicję wielomianu minimalnego (macierzy).

                2. Niech (Q macierz) A = diag(1, 2, 1). Wówczas mA(x) = …………….

                  1. W standardowej interpretacji geometrycznej {zC : 0x01 graphic
                    } jest to okrąg o promieniu ….

                  2. Niech 0x01 graphic
                    oraz 0x01 graphic
                    . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie: 0x01 graphic
                    .

                  Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

                  1. Niech (Q-endomorfizm) α : Q2×2Q2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + 5Xt. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

                  2. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:

                  0x01 graphic

                  Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

                  1. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

                  2. Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

                    1. Niech ubazy B, C, S w R2 dane będą przez: B = 0x01 graphic
                      oraz C = 0x01 graphic
                      oraz S = 0x01 graphic
                      . Niech α : R2R2 będzie liniowe takie, że mCB(α) = 0x01 graphic
                      (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

                    Wówczas: mSS(α) = ……..

                    1. Niech (wymierna macierz) 0x01 graphic
                      . Niech B = A75. Wówczas B33 = ….

                    2. Niech (zespolona macierz) 0x01 graphic
                      . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

                    Odp:

                    mA = ……………………

                    iA = ……………………..

                    pJord = ………………….

                    Zestaw 4

                    1. Sformułuj tw Hamilton'a - Cayley'a (o wielomianie charakterystycznym)

                    2. Niech 0x01 graphic
                      będzie taka, że chA(x) = x3 + x - 1. Wskazać wielomian wQ[x] taki, że deg w ≤ 2 oraz w(A) = A-1. Odp: w(x) = …..

                      1. Podaj definicję podprzestrzeni wektorowej (pewnej przestrzeni wektorowej).

                      2. Niech L = {(x, y)∈R3: x + y = 3}. Zbiór L nie jest podprzestrzenią wektorową R2 bowiem ………………………………………………………………………

                        1. W standardowej interpretacji geometrycznej {zC : 0x01 graphic
                          } jest to okrąg o promieniu ….

                        2. Niech 0x01 graphic
                          oraz 0x01 graphic
                          . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie: 0x01 graphic
                          .

                        Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

                        1. Niech (Q-endomorfizm) α : Q2×2Q2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + Xt. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

                        2. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:

                        0x01 graphic

                        Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

                        1. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

                        2. Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

                          1. Niech ubazy B, C, S w R2 dane będą przez: B = 0x01 graphic
                            oraz C = 0x01 graphic
                            oraz S = 0x01 graphic
                            . Niech α : R2R2 będzie liniowe takie, że mCB(α) = 0x01 graphic
                            (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

                          Wówczas: mSS(α) = ……..

                          1. Niech (wymierna macierz) 0x01 graphic
                            . Niech B = A91. Wówczas B33 = ….

                          2. Niech (zespolona macierz) 0x01 graphic
                            . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

                          Odp:

                          mA = ……………………

                          iA = ……………………..

                          pJord = ………………….

                          8



                          Wyszukiwarka

                          Podobne podstrony:
                          Baza pytań egzaminacyjnych, FiR UG, Informatyka TI (Marek Markowski)
                          Algebra liniowa 1 kolokwia i egzaminy Gewert Skoczylas
                          Algebra liniowa 1 kolokwia i egzaminy Gewert Skoczylas
                          inf, SGGW, Niezbędnik Huberta, Leśnictwo, Semestr 1, Technologia Informacyjna, Egzamin
                          Informacja dotycząca egzaminu, Semestr IV, PPUE
                          Informatyka pytania na egzamin semestr III, spis alfabetyczny
                          Inżynieria oprogramowania Przykładowe pytania na egzamin 4 semestr, edukacja i nauka, Informatyka
                          kilka pytan z egzaminu 2010 INFA, Studia WZR zarządzanie 2013-2014, semestr I, Technologia Informacy
                          pytania z egzaminu pORTFEL iNWESTYCYJNY PROF OSTROWSKA RÓŻNE LATA 2012-2015, Semestr 2 UG, Portfel I
                          inf-sciaga, SGGW, Niezbędnik Huberta, Leśnictwo, Semestr 1, Technologia Informacyjna, Egzamin
                          Egzamin ANA1 04092000, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od
                          Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu grafika komputerowa na semestr I, technik informatyk, soisk utk
                          Zagadnienia egzaminacyjne z Informatyki, STUDIA SGGW Wydział Leśny leśnictwo, Semestr 1 i 2, Technol
                          IP EGZAMIN, Studia PŚK informatyka, Semestr 5, Inżunieria programowania, Egzamin

                          więcej podobnych podstron