Zestaw 1

1. Sformułuj tw Laplace'a (o macierzy kofaktorów)

Niech
będzie taka, że det A = 2. Niech c(A) oznacza macierz kofaktorów A. Wówczas det c(A) = …..

2. Podaj definicję odwzorowania liniowego.

Odwzorowanie α: R → R dane przez α(x) = 2x + 1 nie jest (R) liniowe bowiem

………………………………………………………………………

3. W standardowej interpretacji geometrycznej {z ∈ C :
   } jest to okrąg o promieniu ….

4. Niech
   oraz
   . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie:
   .

Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

5. Niech (Q-endomorfizm) α : Q^2×2 → Q^2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + 3X^t. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

6. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:




Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

7. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

8. Niech ubazy B, C, S w R² dane będą przez: B =
   oraz C =
   oraz S =
   . Niech α : R² → R² będzie liniowe takie, że m_CB(α) =
   (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

Wówczas: m_SS(α) = ……..

9. Niech (wymierna macierz)
   . Niech B = A⁵⁷. Wówczas B₃₃ = ….

10. Niech (zespolona macierz)
    . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

Odp:

m_A = ……………………

i^A = ……………………..

pJord = ………………….

Zestaw 2

1. Sformułuj tw Cauchy'ego (o wyznaczniku iloczynu)

Niech
będą takie, że det A = 2 oraz det B = 3.

Wówczas det (-2A^-1B) = …..

2. Podaj definicję przestrzeni ortogonalnej (do zbioru w przestrzeni z iloczynem skalarnym).

Wskaż niezerowy wektor o współczynnikach całkowitych ortogonalny do
span{(1, 2, 3), (1, 3, 1)} w R³ (standardowy il skal.). Odp: …………….

3. W standardowej interpretacji geometrycznej {z ∈ C :
   } jest to okrąg o promieniu ….

4. Niech
   oraz
   . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie:
   .

Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

5. Niech (Q-endomorfizm) α : Q^2×2 → Q^2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + 2X^t. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

6. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:




Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

7. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

8. Niech ubazy B, C, S w R² dane będą przez: B =
   oraz C =
   oraz S =
   . Niech α : R² → R² będzie liniowe takie, że m_CB(α) =
   (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

Wówczas: m_SS(α) = ……..

9. Niech (wymierna macierz)
   . Niech B = A⁸⁵. Wówczas B₃₃ = ….

10. Niech (zespolona macierz)
    . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

Odp:

m_A = ……………………

i^A = ……………………..

pJord = ………………….

Zestaw 3

1. Podaj jaki jest związek między wymiarami jądra i obrazu odwzorowania liniowego.

Niech odwzorowanie liniowe α : Q⁷ → Q⁵ będzie takie, że dim ker α = 3.

Wówczas dim im α = …..

2. Podaj definicję wielomianu minimalnego (macierzy).

Niech (Q macierz) A = diag(1, 2, 1). Wówczas m_A(x) = …………….

3. W standardowej interpretacji geometrycznej {z ∈ C :
   } jest to okrąg o promieniu ….

4. Niech
   oraz
   . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie:
   .

Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

5. Niech (Q-endomorfizm) α : Q^2×2 → Q^2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + 5X^t. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

6. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:




Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

7. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

8. Niech ubazy B, C, S w R² dane będą przez: B =
   oraz C =
   oraz S =
   . Niech α : R² → R² będzie liniowe takie, że m_CB(α) =
   (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

Wówczas: m_SS(α) = ……..

9. Niech (wymierna macierz)
   . Niech B = A⁷⁵. Wówczas B₃₃ = ….

10. Niech (zespolona macierz)
    . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

Odp:

m_A = ……………………

i^A = ……………………..

pJord = ………………….

Zestaw 4

1. Sformułuj tw Hamilton'a - Cayley'a (o wielomianie charakterystycznym)

Niech
będzie taka, że ch_A(x) = x³ + x - 1. Wskazać wielomian w ∈ Q[x] taki, że deg w ≤ 2 oraz w(A) = A^-1. Odp: w(x) = …..

2. Podaj definicję podprzestrzeni wektorowej (pewnej przestrzeni wektorowej).

Niech L = {(x, y)∈R³: x + y = 3}. Zbiór L nie jest podprzestrzenią wektorową R² bowiem ………………………………………………………………………

3. W standardowej interpretacji geometrycznej {z ∈ C :
   } jest to okrąg o promieniu ….

4. Niech
   oraz
   . Wskazać (lub stwierdzić, że nie istnieje) wymierną macierz X spełniającą równanie:
   .

Odp: Istnieje? (T/N) X = …..

5. Niech (Q-endomorfizm) α : Q^2×2 → Q^2×2 dany będzie wzorem: α(X) = X + X^t. Wówczas: det α = ………… oraz tr α = ……..

6. Niech (Q-liniowe) odwzorowanie α ma w pewnych ubazach macierz:




Wówczas: dim ker α = …………. oraz dim im α = ……….

7. Sformułować tw Kronecker'a-Capelli (o rozwiązalności)

Czy (wymierny) układ równań którego macierzą rozszerzoną jest macierz z zadania 6 jest niesprzeczny? Odp: (T/N) ……. . Jeśli jest niesprzeczny to podać też wymiar jego zbioru rozwiązań. Odp: dim = ……..

8. Niech ubazy B, C, S w R² dane będą przez: B =
   oraz C =
   oraz S =
   . Niech α : R² → R² będzie liniowe takie, że m_CB(α) =
   (przypomnienie: notacja oznacza, że B jest ubazą w dziedzinie…).

Wówczas: m_SS(α) = ……..

9. Niech (wymierna macierz)
   . Niech B = A⁹¹. Wówczas B₃₃ = ….

10. Niech (zespolona macierz)
    . Wypisz wielomian minimalny, ciąg niezmienników wielomianowych (wielomiany zmiennej x) oraz jakąś (dolną) postać Jordana macierzy A.

Odp:

m_A = ……………………

i^A = ……………………..

pJord = ………………….

8