Odległość Minkowskiego

Z Wikipedii

(Przekierowano z Metryka Minkowskiego)

Skocz do: nawigacji, szukaj

W matematyce, Odległość Minkowskiego (odległość L_m) to uogólniona miara odległości między dwoma punktami
,
. Dana jest wzorem:

Własności [edytuj]

W przestrzeni
odległość Minkowskiego jest uogólnieniem znanych metryk:

odpowiada metryce miejskiej (Manhattan), w teorii informacji znanej również jako odległość Hamminga,

odpowiada metryce euklidesowej,

odpowiada odległości Czebyszewa.

Okręgi jednostkowe w przestrzeni
dla różnych parametrów m odległości Minkowskiego

Przestrzeń metryczna

Definicja [edytuj]

Niech X będzie zbiorem niepustym. Metryką (lub odległością) w zbiorze X nazywamy każdą funkcję dwuargumentową
spełniającą następujące trzy warunki (aksjomaty metryki) dla wszystkich
:

1. d(a,b) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy a = b,

2. 
   (warunek symetrii)

3. 
   (warunek trójkąta).

Jeśli d jest metryką na zbiorze X to parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną^[1].

Uwagi [edytuj]

• Należy zwrócić uwagę, że niektórzy autorzy dodają warunek, że metryka przyjmuje wartości nieujemne. Wynika on jednak z aksjomatów sformułowanych powyżej:

a zatem
.

• Przestrzeń metryczną należy rozumieć jako uogólnienie przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej). Metryki można określać nie tylko na przestrzeniach euklidesowych, ale również na innych zbiorach (na przykład na zbiorze słów lub funkcji) lub na bardzo abstrakcyjnych przestrzeniach.

• Funkcja odległości (metryka) indukuje w przestrzeni metrycznej topologię (której bazą jest rodzina kul otwartych). W tym sensie przestrzenie metryczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych. W analizie matematycznej często topologia rozpatrywanej przestrzeni (euklidesowej lub pewnej powierzchni) stanowi jej najważniejszy aspekt dla danego rozważania (podczas gdy dla innych rozważań w analizie istotne są subtelniejsze własności).

• Każda przestrzeń unormowana
  jest także przestrzenią metryczną z odległością zdefiniowaną przez:

.

Lipschitzowska równoważność [edytuj]

Niech (X,d₁),(X,d₂) będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że metryki d₁,d₂ są równoważne lipschitzowsko, jeżeli istnieją λ₁,λ₂ > 0, że dla każdego
spełniony jest warunek
.

Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru X jest zbieżny w sensie metryki d₁, to jest także zbieżny w sensie metryki d₂. W przestrzeni liniowej rzeczywistej, o skończonym wymiarze, wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc topologicznie. Ogólniej, gdy dwie normy Banacha, zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej, są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Miasto [edytuj]

Zielona przekątna — odległość wg metryki euklidesowej (ok. 8,48 j.)
Pozostałe krzywe — odległość wg metryki miejskiej (dokładnie 12 j.)

Metryka Manhattan, taksówkowa, miejska, wielkomiejska - metryka na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce to suma wartości bezwzględnych różnic ich współrzędnych.

Wyobraźmy sobie, że z jakichś powodów (kwadratowa sieć ulic przypominająca plan Manhattanu) możemy poruszać się jedynie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Wtedy droga, jaką będziemy przebywać z jednego punktu do drugiego, wyniesie właśnie tyle, ile mówi o niej metryka miejska.

Dla 
,  mamy

.

W dowolnym wymiarze skończonym n, to znaczy w
, definiujemy:

.

Odległość (metryka) euklidesowa to funkcja, która w naturalny (z punktu widzenia człowieka) sposób mierzy odległość między punktami zbioru
.

Formalna definicja [edytuj]

Odległość (metryka) euklidesowa
to metryka w zbiorze

, która parze punktów
,
przyporządkowuje liczbę:

Przestrzeń metryczna z tak zdefiniowaną metryką to przestrzeń euklidesowa.

Własności [edytuj]

Z punktu widzenia algebry liniowej odległość euklidesową można zapisać jako:

,

gdzie
są traktowane jako macierze jednowierszowe,
oznacza mnożenie macierzy, a
transpozycję
.

Zapis ten jest przydatny w programowaniu (np. grafiki 3D) lub rozwiązywaniu problemów optymalizacji. W ten sposób widać również, że odległość euklidesowa stanowi szczególny przypadek odległości Mahalanobisa.

Odległość euklidesowa stanowi również przypadek odległości Minkowskiego
, z wartością parametru m = 2.

Odległość Czebyszewa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

W matematyce, Odległość Czebyszewa, to miara odległości między dwoma punktami
,
dana wzorem:

Miara ta została wprowadzona przez Pafnutija Czebyszewa i jest specjalnym przypadkiem odległości Minkowskiego.

W szachach jest to odległość między polami szachownicy wyrażona w ruchach, które musi wykonać figura króla. Stąd pochodzi jej angielska nazwa chessboard distance.

---