Sprawdzenie prawa Hooke'a. Wyznaczanie modułu Younga.

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie prawa Hooke'a oraz wyznaczenie

modułu Younga przez pomiar wydłużenia drutu zawieszonego pionowo

i obciążonego obciążnikami.

Wstęp teoretyczny:

Zajmując się analizą ruchu lub stanu równowagi ciała posługujemy się modelami matematycznymi, które stanowią dopuszczalne przybliżenie ciał rzeczywistych. Za przykład mogą tutaj posłużyć pojęcia punktu materialnego (gdyż każde ciało ma różną od zera objętość) oraz ciała doskonale sztywnego (gdyż każde ciało, nawet najtwardsze, jak np.diament, ulega odkształceniom zmieniającym jego objętość lub kształt. Odkształcenia te mogą być niewielkie (ciała stałe) lub znaczne (ciecze,a szczególnie gazy). W rozważanym zagadnieniu szczególnie ważne jest pojęcie sprężystości.

Ciałem sprężystym nazywamy ciało, w którym odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, zanikają zupełnie po usunięciu tych sił.Rozróżniamy kilka rodzajów odkształceń:

-odkształcenie jednostronne - siły działają na dwie przeciwległe ścianki ciała, prostopadle do nich (tak, że suma ich momentów względem dowolnego punktu ciała jest w każdej chwili równa zeru). Skutkiem działania sił jest przyrost długości (L odkształcenie bezwzględne; δL odkształcenie względne ). Podczas rozciągania L > 0, a podczas ściskania L < 0.

-odkształcenie wszechstronne - na każdy element powierzchni ciała działa siła do niego prostopadła. Skutkiem działania siły jest przyrost objętości wzięty ze znakiem minus -V. Dzięki temu odkształcenie podczas ściskania ma wartość dodatnią ( Vk < Vp ).

-ścinanie - działające siły są styczne do powierzchni ciała. Miarą odkształcenia jest w tym przypadku kąt skręcenia ścianek . Wprowadzono tzw. współczynnik Poissona , który jest charakterystyczny dla danego materiału. Wyraża on stosunek względnej zmiany wymiarów poprzecznych (d/d) do względnej zmiany wymiarów podłużnych (L/L). Wartości liczby Poissona dla większości metali zmieniają się w granicach 0,2-0,5.

Naprężeniem nazywamy wektor o wartości równej stosunkowi wartości siły do powierzchni, na którą ona działa, o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem siły:

Jednostką naprężenia w układzie SI jest :

PRAWO HOOKE'A:

Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.

Odpowiednio:

gdzie:

E - moduł Younga; K - moduł ściśliwości; G - moduł sztywności.

Przebieg pomiarów:

- Pomiar początkowej długości części pomiarowej drutu (odległość między punktem A i B).

Pomiary wykonane przyrządem milimetrowym. Punkt A jest górnym początkiem części pomiarowej, pionowo ustawionego drutu, natomiast punkt B, dolnym końcem części pomiarowej drutu.

L = |AB| = 650 mm L =  = + 1 mm

- Pomiary: średnicy drutu (d) - Tab1, średnic wskaźników punktu A i B na drucie - Tab. 1a.

Pomiary zostały wykonane śrubą mikrometryczną.

Tab. 1

nr pom.	di [mm]	di [mm]
1	0,87	0,01
2	0,88	0,00
3	0,87	0,01
4	0,88	0,00
5	0,87	0,01
6	0,88	0,00
7	0,88	0,00
8	0,87	0,01
9	0,88	0,00
wart. średn.	dśr= 0,88	dśr = 0,01

Za błąd bezwzględny d przyjmuję sumę błędu śruby mikrometrycznej i błędu średniego kwadratowego,:

d_śr = 0.0070   mm]

średnica drutu: d = d_śr = (0,88 + 0,02) [mm]

Tab.1a

nr pomiar.	wAi [mm]	wAi [mm]	wBi [mm]	wBi [mm]
1	0,57	0,00	0,67	0,00
2	0,57	0,00	0,67	0,00
3	0,57	0,00	0,67	0,00
wart. średnia	wAśr= 0,57	wAśr= 0,01	wBśr= 0,67	wBśr= 0,01

grubość górnego wskaźnika A: gA = wA = wA_śr = (0,57 + 0,01) [mm]

grubość dolnego wskaźnika B: gB = wB = wB_śr = (0,67 + 0,01) [mm]

- Pomiar grubości wskaźników za pomocą mikroskopu.

Tab. 2

	wskaźnik A		wskaźnik B
nr. pomiaru	x góra wsk.	y dół wsk.	x góra wsk.	y dół wsk.
1	289	520	220	471
2	288	519	216	472
3	292	521	215	471
4	290	520	217	471
5	288	520	218	471
wart. średnia	xśr = 289	yśr = 520	xśr = 217	yśr = 471

Tab. 2a

wielkość mierzona	wskaźnik punktu A	w	wskaźnik punktu B	w
x - góra wskaźnika	289	1	217	1
y - dół wskaźnika	520	0	471	0
g' = (y-x) - grubość wskaźnika	231	1	254	1

* Wyliczenie wartości działki mikroskopu:

w = g / g' gdzie: g - grubość wskaźnika zmierzonego za pomocą śruby mikrometrycznej (wielkości: wA_śr i wB_śr - tabela 1a)

g' - liczba działek jaką zajmuje obraz wskaźnika (tabela 2a)

- dla wskaźnika A

w = wA_śr / 231 = 0,57 / 231 = 0,0025 [ mm / 1 działka mikroskopu ]

w = wA_śr / 231+(wA_śr*1) / 231² = 0.0000539  0.0001

- dla wskaźnika B

w = wB_śr / 254 = 0,67 / 254 = 0,0026 [ mm / 1 działka mikroskopu ]

w = 0.0001 [mm]

- Pomiar wydłużenia drutu pod wpływem obciążenia.

Tabela nr 3 zawiera nominalne wartości ciężaru pięciu odważników, oraz wyliczoną ich wartość średnią.

Tab. 3

Lp.	nr ciężarka	m [g]	m [g]
1	2	999,1	0,18
2	4	999,2	0,08
3	6	999,3	0,02
4	7	999,8	0,52
5	8	999,0	0,28
wartość średnia		mśr = 999,3	mśr = 0,2

średnia masa odważnika: m_śr = ( 999,3 + 0,2 ) [ g ]

Przykładowe obliczenia, jakich dokonałem tworząc poniższe tabele, znajdują się w dalszej części sprawozdania

Tab.4.Wyniki pomiarów i obliczeń dla pierwszej serii pomiarów.

m	wsk. A	wsk. B	L	L	(L)	L/L	(L/L)	P	P	E
[kg]	działka mikr.	działka mikr.	działka mikr.	[mm]	[mm]	[ *10^-3 ]	[ *10^-3 ]	N m^2	N m^2	[MPa]
0	293	213	0	0	0	0	0.02	0	0	0
1	280	173	27	0,07	0.01	0,108	0.03	1,6*10^7	0.7*10^6	148000
2	269	131	58	0,14	0.02	0,215	0.03	3,2*10^7	1.4*10^6	149000
3	261	112	69	0,17	0.02	0,261	0.03	4,8*10^7	2.1*10^6	183900
4	252	073	99	0,25	0.02	0,384	0.03	6,4*10^7	2.8*10^6	167000
5	241	044	117	0,29	0.02	0,446	0.03	8,0*10^7	3.5*10^6	179000
6	230	011	139	0,35	0.02	0,538	0.03	9,7*10^7	4.2*10^6	180000
5	238	042	116	0,29	0.02	0,446	0.03	8,0*10^7	3.5*10^6	179000
4	250	072	98	0,24	0.02	0,369	0.03	6,4*10^7	2.8*10^6	173000
3	258	100	78	0,19	0.02	0,292	0.03	4,8*10^7	2.1*10^6	164000
2	263	130	38	0,13	0.02	0,200	0.03	3,2*10^7	1.4*10^6	160000
1	273	168	25	0,06	0.01	0,092	0.02	1,6*10^7	0.7*10^6	174000
0	286	211	5	0,01	0.01	0,015	0.02	0	0	0

Gdzie:

m - przybliżona masa obciążenia

wsk. A i wsk. B - odczyt z mikroskopu położenia wskaźników

L = (293 - Ai) - (213 - Bi) - bezwzględne wydłużenia drutu

L/L -względne wydłużenie drutu

P = F / S = (4*m*g)/(p*d_śr²) - naprężenie drutu

Wyniki pomiarów i obliczeń z drugiej serii pomiarów.

m	wsk. A	wsk. B	L	L	(L)	L/L	(L/L)	P	P	E
[kg]	działka mikr.	działka mikr.	działka mikr.	[mm]	[mm]	[ *10^-3 ]	[ *10^-3 ]	N m^2	N m^2	[MPa]
0	286	493	0	0	0	0	0.02	0	0	0
1	278	450	35	0.09	0.01	0.135	0.03	1,6*10^7	0.7*10^6	119000
2	268	419	56	0.14	0.02	0.215	0.03	3,2*10^7	1.4*10^6	149000
3	259	392	75	0.18	0.02	0.285	0.03	4,8*10^7	2.1*10^6	169000
4	247	358	96	0.24	0.02	0.369	0.03	6,4*10^7	2.8*10^6	173000
5	239	330	116	0.29	0.02	0.446	0.03	8,0*10^7	3.5*10^6	179000
6	231	299	139	0.34	0.02	0.535	0.03	9,7*10^7	4.2*10^6	181000
5	237	328	116	0.29	0.02	0.446	0.03	8,0*10^7	3.5*10^6	179000
4	245	357	95	0.23	0.02	0.365	0.03	6,4*10^7	2.8*10^6	175000
3	251	383	75	0.18	0.02	0.288	0.03	4,8*10^7	2.1*10^6	166000
2	260	415	52	0.13	0.02	0.200	0.03	3,2*10^7	1.4*10^6	160000
1	271	445	33	0.08	0.01	0.127	0.02	1,6*10^7	0.7*10^6	126000
0	284	488	3	0.01	0.01	0.011	0.02	0	0	0

Tabela dla trzeciej serii pomiarów.

m	wsk. A	wsk. B	L	L	(L)	L/L	(L/L)	P	P	E
[kg]	działka mikr.	działka mikr.	działka mikr.	[mm]	[mm]	[ *10^-3 ]	[ *10^-3 ]	N m^2	N m^2	[MPa]
0	284	488	0	0	0	0	0.02	0	0	0
1	276	456	24	0.06	0.01	0.092	0.03	1.6*10^7	0.7*10^6	173000
2	265	421	48	0.12	0.02	0.185	0.03	3,2*10^7	1.4*10^6	173000
3	258	390	72	0.18	0.02	0.277	0.03	4,8*10^7	2.1*10^6	173000
4	250	359	95	0.24	0.02	0.365	0.03	6,4*10^7	2.8*10^6	175000
5	237	329	112	0.28	0.02	0.430	0.03	8,0*10^7	3.5*10^6	186000
6	228	299	133	0.33	0.02	0.511	0.03	9,7*10^7	4.2*10^6	190000
5	235	325	114	0.28	0.02	0.430	0.03	8,0*10^7	3.5*10^6	182000
4	244	355	93	0.23	0.02	.0358	0.03	6,4*10^7	2.8*10^6	179000
3	251	382	73	0.18	0.02	0.281	0.03	4,8*10^7	2.1*10^6	171000
2	258	417	45	0.11	0.02	0.173	0.03	3,2*10^7	1.4*10^6	185000
1	270	451	23	0.06	0.01	0.088	0.02	1,6*10^7	0.7*10^6	181000
0	289	489	4	0.01	0.01	0.015	0.02	0	0	0

Obliczenia:

* Wielkości stałe oraz często występujące podczas doświadczenia :

g = 9,81 [ m / s² ]

 = 3,1415

d_śr = 0,88  0.02 [ mm ]

L = 650   [ mm ]

wA_śr = 0,0025  0.0001 [ mm ]

wB_śr = 0,0026  0.0001 [ mm ]

* Wyliczenia wartości z tabeli 4:

- dla m = 1kg:

L = (293 - 280)*0.0025 - (213 - 173)*0.0026 = 0,07 [mm]

Błąd bezwzględny wydłużenia względnego liczę ze wzoru :

(L) = (L_A)*w_Aśr + w_Aśr *L_A + (L_B)* w_Bśr + w_Bśr*L_B = 0.01 [mm]

Dla większych wartości L błąd bezwzględny nie przekracza 0.02 mm.

Wydłużenie względne :

L/L = 0,07 / 650 = 0.108 * 10^-3

(L/L) = (L)/L + (L*L_AB)/L² = 0.02 * 10^-3

P = (4*999.3*9.81)/(*0.77) = 1,6*10⁷ [N / m²]

P =(4 / 3.14) * ((9.81*0.2*10^-3 / 0.77*10^-6) + (2*0.999*9.81*0.02*10^-3 / 0.68*10^-9))

P = 0.07 *10⁷ [MPa]

* Przykładowe wyliczenie modułu Young'a E :

- dla pierwszego obciążnika:

E = P / L/L = 1.6*10⁷ /0.108*10^-3 = 148000 [Mpa]

Dyskusja błędów:

-błąd w wyznaczeniu długości początkowej drutu L (błąd = 1* działka przymiaru milimetrowego):

L = ± 10 [mm]

-błąd w wyznaczeniu położenia A lub B (błąd przyrządu = 1 działka mikroskopu):

A = ± 1

B = ± 1

-błąd złożony wyznaczenia L:

(L) = wA_śr * A + wB_śr*B

(L) = 0.005  0.01 [mm]

-błąd złożony wyznaczenia modułu Younga :

Stosując metodę różniczki zupełnej otrzymujemy:

  6500 + 230 + 21224 = 28000 [MPa]

Wartość średnia modułu Young`a wynosi:

E_śr = 170000 Mpa

Wnioski:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie modułu Younga. Po pierwszej serii pomiarów wyznaczyłem wydłużenie drutu oraz inne dane potrzebne do obliczenia modułu.

Wyznaczanie modułu Younga jest dość trudnym zadaniem. Ćwiczenie wymagało dużej dokładności, gdyż wydłużenie drutu pod wpływem ciężaru było nieznaczne, mierzalne jedynie mikroskopem. Na zachowanie takiej dokładności wpływało wiele czynników, np. niedokładnie określony ciężar odważników - żaden z nich nie miał wagi równej dokładnie 1 kg - dane te zaczerpnąłem z ćwiczenia wykonanego wcześniej, odczyt z mikroskopu również był obarczony dużym błędem, ponieważ niezbędna do dokładnego odczytu ostrość była trudna do uzyskania, gdyż badana linka, na której zawieszone były ciężarki, znajdowała się ciągle w ruchu, huśtając się za każdym razem, kiedy dokładano ciężarek. Sam drut pod wpływem obciążenia wyginał się oddalając jednocześnie o okularu, co jeszcze bardziej pogarszało sytuację.

Po żmudnych obliczeniach otrzymałem moduł Younga. Błąd złożony bezwzględny nie różni się dla poszczególnych pomiarów, gdyż przeważającą jego część stanowi ostatnia część wzoru różniczki zupełnej, a ta zależy od wzrostu naprężenia P i wydłużenia bezwzględnego L - zmiany te znoszą się ponieważ jedna z tych wartości jest w liczniku, a druga w mianowniku. Przy porównaniu z wielkością tablicową (żelazo E = 216000 MPa, aluminium E = 71600 MPa) można stwierdzić, że otrzymany wynik w doświadczeniu jest obarczony znacznym błędem, lecz biorąc pod uwagę fakt, że badana metalowa linka jest wykonana ze topu stali i ma właściwości pośrednie pomiędzy stalą, a aluminium wyniki doświadczenia są wręcz doskonałe. Również wartość błędu pomiarowego modułu Younga jest do przyjęcia.

Laboratorium fizyki - 2 - Ćwiczenie 2

---