Akademia Górniczo-Hutnicza

Im. Stanisława Staszica w Krakowie

Teoria Maszyn i Mechanizmów

Temat: Analiza kinematyczna i kinetostatyczna mechanizmu

Nr projektu 5B

Bębenek Dawid

Rok II „D” Grupa 29

Rok akademicki 2009/2010

Prowadzący: dr inż. Józef Felis

Analiza mechanizmu dźwigniowego

1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu

1.1 ZDEFINIOWANIE WYMIARÓW MECHANIZMU, PARAMETRÓW POŁOŻENIA, OGRANICZENIA GEOMETRYCZNE.

• Symboliczny zapis struktury i parametrów projektowanego mechanizmu:

Zakres danych	Parametry mechanizmu
1. Struktura mechanizmu.
2. Parametry kinematyczne członu napędzającego.	(s1,v1,0)
3. Masy i parametry bezwładności członów (mi, JSi).	(0,0) ; (0,0) ; (m3JS3)
4. Obciążenie uogólnionymi siłami zewnętrznymi (Pi, Mi).	(0,0) ; (0,0) ; (P3,M3)
5. Uogólniona siła równoważąca do wyznaczenia (PR1 lub MR1).	PR1

• Schemat ideowy mechanizmu ma postać:

• Przyjęte wymiary dla mechanizmu:

|AB| = 40cm (0,4m)

|BC| = 100cm (1m)

|CD| = 40cm (0,4m)

α=30⁰

• Przyjęte parametry:

Prędkość członu napędowego:

v=2

Przemieszczenie członu napędowego:

S₁ = 20cm (0,2m)

Sc = 40cm (0,4m)

t = 0

• Ograniczenia geometryczne:

Działanie mechanizmu jak i wszystkie parametry takie jak prędkość czy przyśpieszenie poszczególnych elementów uzależnione są od zadanych przez nas długości wszystkich członów mechanicznych jak i zakresu w jakim pracują poszczególne pary kinematyczne.

Przy moich założonych parametrach długości mechanizm może pracować w takim zakresie:

Suwak z nr 3 może przesuwać się po prowadnicy w prawo na odległość 0.2 m.

Nazwa strukturalna mechanizmu: mechanizm suwakowo - jarzmowy.

1.2 RUCHLIWOŚĆ ORAZ KLASA MECHANIZMU

• Ruchliwość teoretyczna:

w = 3n - 2p₅ - p₄

p₅ -Liczba par kinematycznych klasy V- (0,1), (1,2), (2,3), (3,0)

p₄ -Liczba par kinematycznych klasy IV- Brak par kinematycznych klasy IV

n- liczba członów- 3

w = 3*3 - 2*4

w = 1

Oznacza to, że liczba więzów jaką trzeba narzucić na człony aby łańcuch kinematyczny był nieruchomy względem podstawy wynosi 1 oraz oznacza to także, że jeden z jego członów poruszających się względem podstawy jest członem napędowym.

• Podział mechanizmu na grupy strukturalne:

Analizowany mechanizm składa się z członu napędzającego 1 oraz grupy strukturalnej klasy 2

Ruchliwość grupy strukturalnej:

Ilość członów n = 2,

Ilość par kinematycznych klasy V p₅ = 3; (0,2), (2,3), (3,0).

w = 3n - 2p₅ =

w = 3*2 - 2*3

w = 0

2. Analiza kinematyczna mechanizmu

2.1 Model mechaniczny zbudowany w programie SAM42.

2.2 Charakterystyki przemieszczeń, prędkości, przyspieszeń liniowych charakterystycznych punktów w programie SAM42.

1. Analiza kinematyczna metodą grafoanalityczną

|AB|=40cm (0,4m)

|BC|=100cm (1m)

|CD|=40cm (0,4m)

α=30⁰

Zadanie będziemy rozwiązywać wykreślnie korzystając z programu AutoCAD.

(Dwukrotne podkreślenie oznacza że znamy kierunek i wartość działającej siły, jednokrotne podkreślenie oznacza że znamy tylko kierunek działającej siły)

• ANALIZA PRĘDKOŚCI.

=2

=1,73

=1

• ANALIZA PRZYŚPIESZEŃ

=

3. Analiza kinematyczna metodą analityczną

Zamknięty wielobok wektorowy mechanizmu:

Mechanizm opisany został prze 5 wektorów . Należy zatem przyjąć do obliczeń:

2 n -2 = 8 parametrów. (n-liczba wektorów)

Długości poszczególnych wektorów:

s₁ = s₀ + v_A*t = (0,2 + v_A * t)

l₁=0,4 [m]

l₄=1,066 [m]

l₅= 0,1 [m]

l₆=0,4[m]

Przyjęty czas: t=0 (s=0,2 m)

Dane kąty:

Parametry do obliczenia:

l₃= l₃ (t) ,
=
(t),
,

Dla zamkniętego wieloboku wektorowego można zapisać następujące równanie wektorowe:

Wszystkie wektory oprócz
i
mają stałą długość natomiast podane wektory zmienia swoją długość podczas ruchu mechanizmu.

Rzutując wektory na osie układu współrzędnych OX i OY mamy:

Podnosząc do kwadratu oba równania otrzymujemy :

Dodając stronami oraz wyciągając czynnik
przed nawias z lewej strony otrzymamy
oraz jedynkę trygonometryczną, pierwiastkując obustronnie otrzymamy równanie:

= 0,9999 [m]

Dzieląc równania (**) stronami otrzymamy:

= -30⁰

Prędkości jarzma 3.

W celu wyznaczenia prędkości kątowych i liniowych jarzma różniczkujemy pierwsze równanie z układu (*), podstawiając

Obracając układ współrzędnych OXY o kąt
otrzymujemy na podstawie ostatniego równania prędkość względną punktu na jarzmie 3 poruszającego się względem suwaka 2.

= -1,73 [
]

Prędkość kątową jarzma
znajdziemy, obracając układ współrzędnych o kąt:

Oraz:

=1

W celu wyznaczenia przyśpieszeń kątowych i liniowych różniczkujemy równanie:

Podstawiając
.

W celu wyznaczenia przyspieszenia względnego
obracamy układ współrzędnych o kąt
. Otrzymujemy:

=1

Obracając układ współrzędnych o kąt
otrzymamy przyspieszenie kątowe jarzma

=3,46

Prędkość punktu D:

Na podstawie rysunku wieloboku wektorowego widzimy, iż:

Rzutując na osie współrzędnych układu OXY otrzymamy:

Różniczkując równania otrzymujemy:

sin(
) = cos(
)

cos(
) = - sin(
)

= - 0,34[m/s]

=0,2

Korzystając z tw. Pitagorasa:

=0,4 [m/s]

Przyśpieszenie obliczamy różniczkując ostatni układ równań:

Analogicznie: a_DX=-0.69
a_DY=-1,2
a=1,4

2.5. Podsumowanie analizy kinematycznej mechanizmu oraz zestawienie wyników.

Parametr [jednostka]	Metoda Grafoanalityczna	Metoda Analityczna
φ3	330	330
VB3B2	1,73	-1,73
VB3	1	1
VD	0,4	0,4
ω3	1	1
aB2	0	0
aB3	1	1
aD	1,42	1,4
a^tB3B2	1	1
ε3	3,46	3,46

Zgodność parametrów przedstawionych w tabeli oznacza, że nie został popełniony błąd.

Dodatkowo parę poszczególnych parametrów zostało sprawdzonych w programie SAM42, wyniki były w przybliżeniu takie same. (program SAM42 podawał nam dokładniejsze parametry).

3. Analiza kinetostatyczna

3.1 Założenia analizy.

Dla mechanizmu przyjmujemy:

Masa członu nr 3 10 kg (tylko ten człon musi mieć zadaną masę-warunki zadania).

Moment bezwładności członu nr 3 względem środka masy liczony w połowie długości elementu nr 3:
(Stosujemy wzór uproszczony)

Mechanizm znajduję się w polu grawitacyjnym

Wartości sił obciążających mechanizm:

M₃=10Nm

P₃=10N

3.1.1 Wyznaczenie sił oraz momenty bezwładności działających na mechanizm:

Wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych oraz siły równoważącej metodą grafoanalityczną

Rozważany przeze mnie mechanizm składa się z członu napędzającego 1 oraz jednej grupy strukturalnej klasy 2. Ruchliwość mechanizmu w=1. Analizę można podzielić na dwa etapy :

W etapie pierwszym przeprowadzimy analizę grupy strukturalnej a w etapie drugim analizę członu napędzającego 1.

Analiza sił działających na grupę strukturalną:

Działające siły:

• siła ciężkości przyłożona do środka ciężkości członu nr 3.

• siła bezwładności (siła d'Alamberta) przyłożona do środka ciężkości członu nr 3 skierowana przeciwnie do przyśpieszenia członu nr 3.

• siły reakcji w przegubach (reakcję w punkcie C przedstawiamy w postaci 2 składowych styczną i normalną. Reakcja R₁₂ ma kierunek prostopadły do członu nr 3 co wykażemy w dalszej analizie).

Warunek równowagi sił przyłożonych do grupy strukturalnej, możemy zapisać:

(Dwukrotne podkreślenie oznacza że znamy kierunek i wartość działającej siły, jednokrotne podkreślenie oznacza że znamy tylko kierunek działającej siły)

Kierunki sił reakcji: kierunek siły R₁₂ jest prostopadły do członu 3 (ponieważ pomijamy tarcie w danej parze). Analogicznie mamy reakcje R₀₃.

Do wyznaczenia mamy trzy niewiadome w celu graficznego rozwiązania równania (*) musimy uprzednio wyznaczyć jedną z nich.

Wyznaczmy zatem reakcję
na podstawie algebraicznego warunku równowagi momentów wszystkich sił przyłożonych do grupy strukturalnej względem punktu B.

36,123

Obliczając analitycznie niewiadomą
do obliczenia pozostały nam tylko dwie niewiadome, które to obliczymy graficznie.

Rozwiązujemy graficznie powyższe równanie rysując zamknięty wielobok sił i wyznaczamy wartości sił.

Analiza sił działających na człon napędzający:

Działające siły:

Siła reakcji R₂₁ skierowana prostopadle do członu nr 3 oraz siła reakcji R₀₁ skierowana prostopadle do prowadnicy 1.

Siła równoważącą P_R1 oraz moment równoważący M₀₁

Obliczenie siły równoważącej metodą mocy chwilowej.

W celu uniknięcia błędu w analizie kinetostatycznej, wskazane jest sprawdzenie obliczonych wyników inną metodą. Dobrą metodą sprawdzającą jest metoda mocy chwilowej, która pozwala na szybkie wyliczenie momentu równoważącego przyłożonego do członu napędzającego.

Ze względu na fakt, iż metoda opiera się na sumowaniu mocy wszystkich uogólnionych sił zewnętrznych przyłożonych do członów mechanicznych konieczna jest znajomość prędkości punktów przyłożenia sił odpowiednich prędkości kątowych członów obciążonych momentami sił oraz kątów pomiędzy wektorami sił uogólnionych i prędkości uogólnionych.

Równanie mocy chwilowych dla zadanego mechanizmu ma postać:

Wyznaczając z równania siłę równoważącą:

cosα₁=167⁰

cosα₂=150⁰

=

Wyznaczenie siły równoważącej w programie SAM (wykres sił). Wartość wyznaczona 32,2N

8

---