Zadanie 2
Zaprzecz każdemu ze zdań z podpunktów a)-e) na trzy sposoby. Odpowiedzi należy uzasadnić.
.
a) Z: Nieprawda, że niektóre ptaki potrafią latać.
b) Z: Każdy Amerykanin lubi jeść.
c) Z: Niektóre nazwy wyraźne nie są ostre.
d) Z: Niektóre ssaki są bezkręgowcami.
e) Z: Tylko ssaki nie są bezkręgowcami.
f) Wykaż, że zaprzeczeniem zdania Z jest zdanie Z', gdy:
Z: Każdy przestępca jest izolowany od społeczeństwa lub żaden przestępca nie jest
izolowany od społeczeństwa.
Z': Tylko niektórzy przestępcy są izolowani od społeczeństwa.
Zadanie 3
a) Podaj jedno zdanie równoważne logicznie ze zdaniem Z (i jednocześnie nie będące tym zdaniem).
Z: Nieprawda, że każda norma prawna jest zawarta w jednym przepisie prawnym.
b) Podaj dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z, ale nie równoważne logicznie z tym zdaniem.
Z: Tylko niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji.
c) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z (nie będące tym zdaniem) i dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z.
Z: Tylko owady są motylami
d) Na podstawie kwadratu logicznego podaj zdanie przeciwne do zdania Z (nie będące sprzecznym ze zdaniem Z) oraz zdanie sprzeczne ze zdaniem Z..
Z: Żaden człowiek nie jest blondynem
e) Podaj zdanie podprzeciwne do zdania Z.
Z: Nieprawda, że żaden człowiek nie jest uczciwy.
f) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z.
Z: Tylko czyny dozwolone nie są czynami zakazanymi.
g) Podaj trzy zdania prawdziwe, z których wynika logicznie zdanie Z.
Z: Niektórzy żołnierze są inżynierami
Rozwiązania
Zadanie 2
a) Z: Nieprawda, że niektóre ptaki potrafią latać.
P- ptak, L- zwierzę potrafiące latać
Sch Z: (PiL)
Sch Z1: PiL
Sch Z2:(PeL)
Sch Z3:(LeP)
Z1: Niektóre ptaki potrafią latać.
Z2: Nieprawda, że żaden ptak nie potrafi latać.
Z3: Nieprawda, że żadne zwierzę potrafiące latać nie jest ptakiem.
Uzasanienie:
Szukamy zdań Z1, Z2, Z3, równoważnych logicznie ze zdaniem Z.
Ponieważ negacja zdania jest jego zaprzeczeniem, to również zdanie bez negacji jest zaprzeczeniem odpowiedniego zanegowanego zdania. Stąd Z1 jest zaprzeczeniem zdania Z.
Zgodnie ze związkiem sprzeczności wynikającym z kwadratu logicznego prawem logicznym jest wyrażenie: PiL (PeL), a skoro zdanie o schemacie: PiL jest zaprzeczeniem zdania Z, to również zdanie o schemacie: (PeL) jest zaprzeczeniem zdania Z. Zatem Z2 spełnia warunki zadania.
Na podstawie prawa konwersji: PeL LeP wiadomo, że parę zdań równoważnych tworzą zdania o schematach: PeL, LeP. W związku z tym negacje tych zdań też są wzajemnie równoważne logicznie. Skoro zdanie o schemacie:(PeL) spełnia warunki zadania, więc zdanie o schemacie (LeP) również spełnia warunki zadania. Zdanie Z3 jest zatem zaprzeczeniem zdania Z.
b) Z: Każdy Amerykanin lubi jeść.
A- Amerykanin
J- osoba lubiąca jeść.
Sch Z: AaJ
Sch Z1: (AaJ)
Z1: Nieprawda, że każdy Amerykanin lubi jeść.
Uzasadnienie: Negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.
Sch Z2: AoJ
Z2: Niektórzy Amerykanie nie lubią jeść.
Uzasadnienie: Zgodnie z kwadratem logicznym parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: AaJ oraz AoJ.
Sch Z3: (TylkoJaA)
Z3: Nieprawda, że tylko osoby lubiące jeść są Amerykanami.
Uzasadnienie: Zgodnie z definicją odpowiedniego zdania ze słowem „tylko” prawem logicznym jest wyrażenie: (TylkoJaA) JaA. Wobec tego (TylkoJaA) jest równoważna z (AaJ) , zatem jest schematem zaprzeczenia zdania o schemacie AaJ.
c) Z: Niektóre nazwy wyraźne nie są nazwami ostrymi
W-nazwa wyraźna, O- nazwa ostra
Sch Z: WoO
Sch Z1: (WoO)
Z1: Nieprawda, że niektóre nazwy wyraźne nie są nazwami ostrymi.
Uzasadnienie: Zanegowanie zdania daje jedną z form jego zaprzeczenia.
Sch Z2: WaO
Z2: Każda nazwa wyraźna jest nazwą ostrą.
Uzasadnienie: Zgodnie z kwadratem logicznym parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: WoO oraz WaO.
Sch Z3: TylkoOaW
Z3: Tylko nazwy ostre są nazwami wyraźnymi.
Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu: Tylko O jest W, jest równoważne logicznie ze zdaniem typu: Każde W jest O. Skoro zatem zdanie Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z, to zdanie Z3 też jest zaprzeczeniem zdania Z.
Z: Niektóre ssaki są bezkręgowcami.
S-ssak, B- bezkręgowiec
Sch Z: SiB
Sch Z1: (SiB)
Z1: Nieprawda, że niektóre ssaki są bezkręgowcami.
Uzasadnienie: Negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.
Sch Z2: SeB
Z2: Żaden ssak nie jest bezkręgowcem.
Uzasadnienie: Na podstawie zwiąku sprzeczności podanego w kwadracie logicznym wiadomo, że parę zdań sprzecznych stanowią zdania o schematach: SiB, SeB.
Sch Z3: BeS
Z3: Żaden bezkręgowiec nie jest ssakiem.
Uzasadnienie: Zdanie Z3 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z2 na mocy prawa konwersji: BeS SeB. Skoro Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z, więc wobec powyższego Z3 jest też zaprzeczeniem zdania Z.
e) Z: Tylko ssaki nie są bezkręgowcami.
S- ssak, B- bezkręgowiec
Sch Z: TylkoSeB
SchZ1: (TylkoSeB)
Z1: Nieprawda, że tylko ssaki nie są bezkręgowcami.
Uzasadnienie: negacja zdania jest jedną z form jego zaprzeczenia.
SchZ2: (nie-S a B)
nie-S - zwierzę nie będące ssakiem (czyli w skrócie: nie-ssak)
Z2: Nieprawda, że każde zwierzę nie będące ssakiem jest bezkręgowcem (skrócona wersja: Nieprawda, że każdy nie-ssak jest bezkręgowcem)
Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu: tylko S nie jest B, jest równoważne logicznie ze zdaniem typu: każdy nie-S jest B. Zatem negacja zdania pierwszego typu jest równoważna logicznie negacji zdania drugiego typu.
Sch Z3: nie-S o B
Z3: Niektóre zwierzęta nie będące ssakami nie są bezkręgowcami. (skrócona wersja: Niektóre nie-ssaki nie są bezkręgowcami).
Uzasadnienie: Na podstawie kwadratu logicznego (związku sprzeczności) wiadomo, że prawem logicznym jest wyrażenie: (nie-S o B) (nie-S a B). Prawa strona tej równoważności jest schematem zaprzeczenia zdania Z, zatem lewa strona również.
f) Wykaż, że zaprzeczeniem zdania Z jest zdanie Z', gdy:
Z: Każdy przestępca jest izolowany od społeczeństwa lub żaden przestępca nie jest
izolowany od społeczeństwa.
Z': Tylko niektórzy przestępcy są izolowani od społeczeństwa.
S- przestępca, P- osoba izolowana od społeczeństwa.
Sch Z: SaP SeP
Sch Z': SiP SoP
Wystarczy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia: Z' Z, czyli w tym wypadku funkcja zdaniowa: (SiP SoP) (SaP SeP).Stosując do II prawa De Morgana: (p q) (p q ), następujące podstawienia:p/SaP, q/SeP, otrzymujemy jako prawo logiczne wyrażenie: (SaP SeP) (SaP) (SeP)]. Na podstawie kwadratu logicznego- związku sprzeczności- prawami logicznymi są też wyrażenia: SiP (SeP), SoP (SaP). W każdej funkcji zdaniowej można zamiast jego dowolnej części wstawić wyrażenie równoważne logicznie z tą częścią i to co otrzymamy będzie równoważne logicznie z wyjściową funkcją zdaniową. Zatem w szczególności zastępując (SaP) przez SoP, a (SeP) przez SiP otrzymujemy z wyrażenia: (SaP) (SeP) funkcję zdaniową: SoP SiP.
Wnioskujemy zatem, że prawem logicznym jest wyrażenie: (SaP SeP) (SoP SiP). Z kolei prawa strona tego wyrażenia jest równoważna logicznie (na mocy przemienności koniunkcji) z koniunkcją: (SiP SoP). Zatem prawem logicznym jest funkcja zdaniowa: (SiP SoP) (SaP SeP).
Zadanie 3
a) Podaj jedno zdanie równoważne logicznie ze zdaniem Z (i jednocześnie nie będące tym zdaniem).
Z: Nieprawda, że każda norma prawna jest zawarta w jednym przepisie prawnym.
Rozwiązanie:
S- norma prawna, P-to co jest zawarte w jednym przepisie prawnym
Sch Z: (SaP)
Sch Z1: SoP
Z1: Niektóre normy prawne nie są zawarte w jednym przepisie prawnym.
Uzasadnienie: wynika to ze związku sprzeczności podanym w kwadracie logicznym. Zgodnie z tym związkiem zdanie o schemacie: SoP, jest zaprzeczeniem zdania o schemacie: SaP.
Zgodnie z definicją zaprzeczenia SoP jest zatem równoważne logicznie z (SaP).
b) Podaj dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z, ale nie równoważne logicznie z tym zdaniem.
Z: Tylko niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji.
Rozwiązanie:
C- człowiek, Z- osoba znająca warunki poprawności dedukcji.
Sch Z: TylkoCoZ
Sch Z1: CoZ
Z1: Niektórzy ludzie nie znają warunków poprawności dedukcji
Sch Z2: CiZ
Z2: Niektórzy ludzie znają warunki poprawności dedukcji
Uzasadnienie: Zgodnie z definicją zdanie typu TylkoCoZ jest równoważne logicznie z koniunkcją: CoZ CiZ. Stosując podstawienia: p/CoZ, q/CiZ do praw pochłaniania dla koniunkcji ((p q)→ p oraz (p q)→ q ). Wnioskujemy, że prawami logicznymi są implikacje: (CoZ CiZ)→ CoZ oraz (CoZ CiZ)→ CiZ. Zdania Z1 i Z2 wynikają więc logicznie ze zdania Z. Należy też wykazać, że nie ma wynikania w drugą stronę, czyli że prawami logicznymi nie są następujące funkcje zdaniowe:
CoZ→(CoZ CiZ),
CiZ→(CoZ CiZ),.
Na podstawie kwadratu logicznego wiadomo, że CoZ jest podprzeciwne względem CiZ. Oznacza to, że ze schematów CoZ, CiZ nie możemy jednocześnie otrzymać zdań fałszywych . W tabelce należy zatem sprawdzić pozostałe układy wartości dla zdań prostych o schematach: CoZ, CiZ.
Sprawdzenie:
CoZ CiZ CoZCiZ CoZ→(CoZ CiZ)
0 1 0 1
1 0 0 0
1 1 1 1
CoZ CiZ CoZCiZ CiZ→(CoZ CiZ)
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
Sprawdzane implikacje nie są prawami logicznymi, zatem ani ze zdania Z1 ani ze zdania Z2 nie wynika logicznie zdanie Z.
c) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z (nie będące tym zdaniem) i dwa zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z.
Z: Tylko owady są motylami
Rozwiązanie:
O-owad, M-motyl
Sch Z: TylkoOaM
Zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z:
Z1:Każdy motyl jest owadem.
Z2:Nieprawda, że niektóre motyle nie są owadami.
Uzasadnienie:
Sch Z1: MaO
Sch Z2: (MoO)
Zgodnie z definicją odpowiedniego zdania ze słowem „tylko” prawem logicznym jest wyrażenie: (TylkoOaM) MaO. Zatem zgodnie z definicją równoważności logicznej zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z. Z kolei zgodnie ze związkiem sprzeczności na podstawie kwadratu logicznego wiadomo, że prawem logicznym jest wyrażenie: MaO (MoO). Zatem zdanie Z2 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z1, czyli również ze zdaniem Z.
Zdania wynikające logicznie ze zdania Z i jednocześnie nie równoważne logicznie ze zdaniem Z:
Z3: Istnieją motyle będące owadami
Z4: Istnieją owady będące motylami.
Uzasadnienie:
Sch Z3: MiO
Sch Z4: OiM
Uzasadnienie:
Jedno z praw kwadratu logicznego mówiące o związku podporządkowania: MaO→ MiO. Zatem zdanie Z3 wynika logicznie ze zdania Z1 i nie jest z nim równoważne logicznie. Z kolei na podstawie prawa konwersji ograniczonej: MaO→ OiM, wiadomo, że zdanie Z4 wynika logicznie ze zdania Z1 nie będąc z nim równoważnym logicznie. Z kolei ze względu na to, że Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z wnioskujemy, że zdania Z3 i Z4 spełniają warunki zadania.
d) Na podstawie kwadratu logicznego podaj zdanie przeciwne do zdania Z (nie będące sprzecznym ze zdaniem Z) oraz zdanie sprzeczne ze zdaniem Z..
Z: Żaden człowiek nie jest blondynem
Rozwiązanie:
Na podstawie kwadratu logicznego parę dań przeciwnych tworzą zdania o schematach: SaP, SeP. Jeśli zatem S-człowiek, P- blondyn, to zdanie Z ma schemat: SeP. Zdaniem przeciwnym z wyjściowym jest więc
Z1: Każdy człowiek jest blondynem
Sch Z1: SaP
Na podstawie kwadratu logicznego w związku sprzeczności są zdania o schematach: SeP, SiP. Zatem zdaniem sprzecznym z wyjściowym jest Z2:Niektórzy ludzie są blondynami (SchZ2: SiP).
e) Podaj zdanie podprzeciwne do zdania Z.
Z: Nieprawda, że żaden człowiek nie jest uczciwy.
Rozwiązanie:
C-człowiek, U-uczciwy
Sch Z: (CeU)
Zgodnie z jednym praw kwadratu logicznego mówiących o związku sprzeczności ( CiU (CeU)) zdaniem równoważnym logicznie ze zdaniem Z jest zdanie o schemacie: CiU. Z kwadratu logicznego wiadomo też, że parę zdań podprzeciwnych tworzą zdania o schematach: CiU oraz CoU. Zdaniem podprzeciwnym względem Z jest zatem zdanie o schemacie: CoU.
Z1: Niektórzy ludzie nie są uczciwi.
f) Podaj dwa zdania równoważne logicznie ze zdaniem Z.
Z: Tylko czyny dozwolone nie są czynami zakazanymi.
Rozwiązanie:
Z1: Każdy czyn niedozwolony jest czynem zakazanym.
Z2: Nieprawda, że niektóre czyny niedozwolone nie są czynami zakazanymi.
Uzasadnienie:
D-czyn dozwolony, Z-czyn zakazany.
Sch Z: TylkoDeZ
Sch Z1: nie-D a Z
Sch Z2: (nie-D o Z)
Zgodnie z prawami kwadratu logicznego parę zdań sprzecznych tworzą zdania o schematach: nie-D o Z, nie-D a Z. Związek ten wyraża się między innymi następującym prawem logicznym: (nie-D a Z) (nie-D o Z). Zatem zdania Z1 i Z2 są wzajemnie równoważne logicznie. Wystarczy zatem wykazać, że jedno z nich jest też równoważne logicznie ze zdaniem Z (automatycznie wtedy wychodzi, że to drugie zdanie jest równoważne logicznie ze zdaniem Z). Weźmy pod uwagę zdanie Z1. Jest ono równoważne logicznie ze zdaniem Z na mocy definicji: TylkoDeZ (nie-D a Z)
g) Podaj trzy zdania prawdziwe, z których wynika logicznie zdanie Z.
Z: Niektórzy żołnierze są inżynierami
Rozwiązanie:
Z1: Tylko niektórzy żołnierze są inżynierami
Z2: Tylko niektórzy żołnierze nie są inżynierami.
Z3: Niektórzy inżynierowie są żołnierzami
Uzasadnienie:
Zdania te są prawdziwe, ponieważ to co one głoszą jest zgodne z opisywanym przez nie kawałkiem rzeczywistości. Wystarczy wykazać, że z każdego z tych zdań wynika logicznie zdanie Z.
Niech Ż- żołnierz, I- inżynier.
Sch Z: ŻiI
Sch Z1: TylkoŻiI
Sch Z2: Tylko ŻoI
Sch Z3: IiŻ
Należy wykazać, że prawami logicznymi są schematy następujących implikacji: Z1 → Z, Z2→ Z, Z3→ Z, czyli kolejno:
(TylkoŻiI) → ŻiI
(TylkoŻoI) → ŻiI
IiŻ → ŻiI.
Implikacje 1) i 2) można uzasadnić podobnie jak w podpunkcie b) tego zadania. Jeśli chodzi o implikację 3) zauważmy, że na mocy jednego z praw konwersji nieograniczonej: IiŻ ŻiI, zdanie o schemacie IiŻ jest równoważne logicznie ze zdaniem o schemacie ŻiI. Ponieważ jednak równoważność logiczna to nic innego jak wynikanie logiczne w obydwie strony, wnioskujemy, że ze zdania Z3 wynika logicznie zdanie Z.
1