FALOWE WŁASNOŚCI MIKROCZĄSTEK: SPRAWDZANIE HIPOTEZY DE BROGLIE'A

Podstawą naszych rozważań jest zaobserwowane przez Einsteina zjawisko: fale elektromagnetyczne w oddziaływaniu z elektronem zachowują się jak strumień cząstek (fotonów), chociaż wykazują własności charakterystyczne dla fal, czyli interferencję i dyfrakcję.

Hipoteza de Broglie zakłada, że każdej cząstce można przypisać falę o długości λ= h/p, gdzie h jest stałą Planka, ą p pędem cząstki. Jest to przekształcenie wzoru wyrażającego pęd fotonu p=hν/c = h/λ. Takiego przekształcenia można dokonać przyjmując założenie de Broglia, że podstawą własności całej materii jest dualizm korpuskularno - falowy, czyli każda cząstka materii zachowuje się zarówno jak fala, jak i jak korpuskuła. Słuszność hipotezy de Brogila udowadniamy dowodząc, że cząstki podlegające zjawiskom charakterystycznym dla ruchu falowego (dyfrakcja, interferencja) spełniają zależność λ= h/p. Hipotezę de Broglia potwierdzili doświadczalnie: C. Davisson i L. Germer, G.P. Thompson oraz P.S. Tatarkowski.

Potwierdzenie teorii de Broglia:

Aby zaobserwować zjawisko interferencji należy użyć siatki dyfrakcyjnej o stałej siatki zbliżonej do długości fali. Obserwowane cząstki powinny mieć znaczną energię czyli bardzo niewielką długość fali aby mogły przenikać bardzo cienkie warstwy materii Skonstruowanie siatek dyfrakcyjnych o odpowiednio małej stałej siatki jest nie możliwe dlatego w doświadczeniu tym używamy kryształu, w którym atomy rozmieszczone są w sposób okresowy a odległość między nimi wynosi zaledwie kilka angstremów.

Fale padające na kryształ zachowują się zgodnie ze wzorem Bragga: 2dsinθ = nλ, gdzie d jest odległością między płaszczyznami atomowymi, a θ kątem poślizgu, czyli kątem między promieniem padającym a płaszczyzną atomową, n są to kolejne liczby naturalne. Odbicie braggowskie przedstawia poniższy rysunek.

Jeżeli kryształ zaczniemy obracać względem osi pokrywającej się z kierunkiem wiązki padającej to otrzymamy powierzchnie stożkowe o kącie rozwarcia 4θ.

Takie same powierzchnie będą tworzyć wiązki odbite gdy równoległa i monochromatyczna fala pada na polikryształ, czyli kryształ zawierający dużą liczbę małych monokryształów zorientowanych w sposób przypadkowy. Efekt taki uzyskujemy ponieważ zawsze znajdzie się pewna liczba krystalitów dla których warunek Bragga będzie spełniony dla danego kąta θ. Na ekranie postawionym na drodze wiązek odbitych zaobserwujemy wiązki, jeżeli użyte promieniowanie oddziaływuje z ekranem.

Na podstawie doświadczenia Thompsona, ale przy użyciu wiązki elektronowej o niezwykle małym natężeniu możemy stwierdzić, że: jeżeli oddziaływanie cząstki jest tego rodzaju, że nie możemy stwierdzić z jaką częścią obiektu oddziaływuje cząstka to ujawniają się jej własności falowe, a w przypadku oddziaływania cząstki z konkretnymi (określonymi) atomami zachowuje się ona jak korpuskuła.

Prawa rządzące zachowaniem się cząstek mają statystyczny charakter. Opisem zachowania się cząstek z uwzględnieniem ich własności falowych zajmuje się mechanika kwantowa. Stan cząstki w mechanice kwantowej opisuje funkcja falowa trzech zmiennych będąca rozwiązaniem równania Schrodingera.

W wykonywanym ćwiczeniu do sprawdzenia hipotezy de Brogila używałyśmy lampy oscyloskopowej, w której na drodze wiązki elektronowej została umieszczona cienka folia aluminiowa. Emitowane przez katodę lampy oscyloskopowej elektrony są przyśpieszane do energii kinetycznej równej eU przez przyłożenie napięcia, którego wartość można regulować. Następnie elektrony padają na kryształ, gdzie zachodzi zjawisko dyfrakcji i interferencji. Okręgi interferencyjne możemy obserwować na ekranie. Ponieważ odległość folii od ekranu jest większa niż średnica otrzymanych okręgów możemy przyjąć, że sin4θ =4θ = D/r, gdzie r jest odległością folii od ekranu. Z powyższego przybliżenia wynika, że sinθ = θ = D/4r. Korzystając z tej zależności i ze wzoru Bragga otrzymujemy, że dD/2r = nλ. Wiemy także, że λ=h/p, a p =2meU. Uwzględniając te wszystkie zależności dla n = 1 otrzymujemy wzór:: D = 2rh/d 2meU, gdzie D jest średnicą okręgu interferencyjnego. D powinna być odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego napięcia przyśpieszającego elektrony.

OPRACOWANIE WYNIKÓW:

Uzyskane wyniki:

Napięcie kV	d1 mm	d2 mm	1/U^-1/2
3	26	46	0,578
3,5	24	44	0,535
4	22	42	0,5
4,5	20	38	0,472
5	19	37	0,446
5,5	18	34	0,426
6	17	33	0,408
6,5	16	31	0,392
7	16	30	0,379
7,5	15	29	0,365
8	15	28	0,353
8,5	15	27	0,344
9	15	27	0,333
9,5	15	26	0,322
10	14	24	0,316

Aby sprawdzić czy uzyskane przez nas wyniki są zgodne z hipotezą de Broglia sporządziłyśmy wykres zależności średnicy okręgu o większej średnicy i odwrotności pierwiastka kwadratowego napięcia przyśpieszającego.

Korzystając z metody najmniejszych kwadratów wyznaczyłyśmy współczynnik nachylenia tej prostej.

x	y	x*y	x*x	a*x	a*x+b	y-(a*x+b)=d	d*d
46	0,578	26,588	2116	0,5336	0,5617	0,0163	0,000266
44	0,535	23,54	1936	0,5104	0,5385	-0,0035	1,22E-05
42	0,5	21	1764	0,4872	0,5153	-0,0153	0,000234
38	0,472	17,936	1444	0,4408	0,4689	0,0031	9,61E-06
37	0,446	16,502	1369	0,4292	0,4573	-0,0113	0,000128
34	0,426	14,484	1156	0,3944	0,4225	0,0035	1,23E-05
33	0,408	13,464	1089	0,3828	0,4109	-0,0029	8,41E-06
31	0,392	12,152	961	0,3596	0,3877	0,0043	1,85E-05
30	0,379	11,37	900	0,348	0,3761	0,0029	8,41E-06
29	0,365	10,585	841	0,3364	0,3645	0,0005	2,5E-07
28	0,353	9,884	784	0,3248	0,3529	1E-04	1E-08
27	0,344	9,288	729	0,3132	0,3413	0,0027	7,29E-06
27	0,333	8,991	729	0,3132	0,3413	-0,0083	6,89E-05
26	0,322	8,372	676	0,3016	0,3297	-0,0077	5,93E-05
24	0,316	7,584	576	0,2784	0,3065	0,0095	9,03E-05
496	6,169	211,74	17070				0,000923

Podstawiając do wzorów z metody najmniejszych kwadratów otrzymujemy:

a =

= (496*6,169-15*211,74)/(496*496-15*17070) = (3059,824-3176,1)/(246016-256050) = -116,276/-10034 = 0,0116

Wartość b ponieważ nie jest nam potrzebna w dalszych rozważaniach możemy odczytać z wykresu korzystając z programu Microsoft Excel: b = 0,0281.

Korzystając z kolejnego wzoru metody najmniejszych kwadratów wyznaczamy wartość błędu a, Δa =

= 1/13*0,000923 * 15/(15*17070-246016) = 0,084*0,0387 = 0,0003.

Odległość między płaszczyznami atomowymi d, które dają w odbiciu braggowskim obserwowany przez nas pierścień wyznaczamy ze wzoru: a = rh/d* 2/me, gdzie
r - odległość folii od ekranu = 125 [mm]

h - stała Planka = 6,626*10-34 [J*s]

e - ładunek elektronu = 1,602*10^-19 [C]

m - masa elektronu = 9,109*10^-31 [kg]

Po przekształceniu otrzymujemy wzór: d = rh/a*2/me.

Podstawiając odpowiednie wartości wyliczamy odległość d = 125*10^-3*6,626*10-34
2/9,109*10^-31*1,602*10^-19/0,0116 = 828,25*10^-37*2/14,59*10^-50/0,0116 =
828,25*10^-37*0,37*10²⁵ /0,0116 = 306,45*10^-12/0,0116 = 26418*10^-12 [m] =
26,42*10^-2[A] = 0,26 [A]

Błąd pomiaru d wyznaczamy ze wzoru:

Δd = ∂d/∂r*Δr + ∂d/∂a*Δa

Δd = h*2/me/a*Δr + -rh*2/me/a2*Δa = 2,45*10^-9*10^-3/0,000134 + -0,31
*10^-12*0,0003/0,000135 = 1,83*10^-12 + 0,69*10^-12 = 1,14*10^-12 [m] = 0,01 [A].

Otrzymane przez nas wyniki to: odległość między płaszczyznami atomowymi
d = (0,26+-0,01)*10^-12 [A] oraz prosta o równaniu y = 0,0116x + 0,0281 przedstawiająca odwrotną proporcjonalność średnicy okręgu interferencyjnego do pierwiastka kwadratowego napięcia przyśpieszającego elektrony.

Nasze wyniki eksperymentalne potwierdziły oczekiwane zależności opisane wyżej dlatego nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy de Brogila.

---