1. Rozkład sygnału okresowego w zespolony szereg Fouriera oraz całkowe przekształcenie Fouriera

Zespolony szereg Fouriera	Całkowe przekształcenie Fouriera
(wzór syntezy)	(wzór analizy)
(wzór analizy)	(wzór syntezy)

1.1 Oblicz i narysuj widmo sygnału okresowego o okresie T (rozkładając sygnał w zespolony szereg Fouriera) a) prostokątnego o wypełnieniu D i amplitudzie A; b) trójkątnego symetrycznego o amplitudzie A, c) piłokształtnego o wartości międzyszczytowej 2A (rysunki poniżej).

Odp.

Dla przykładu a)

1.2 Oblicz i narysuj widmo a) impulsu prostokątnego
; b) trójkątnego symetrycznego o amplitudzie A
; c)
.

1.3 Udowodnij, że na wyjściu filtru o rzeczywistej odpowiedzi impulsowej i znanej transmitancji H(s) przy pobudzeniu sygnałem x(t)=Acos(Ω₀t) pojawi się sygnał y(t)=A|H(jΩ₀)|cos(Ω₀t+arg(H(jΩ₀))). Wykorzystaj symetrię Hermite'a: H(jΩ)= H*(-jΩ).

1.4 Narysuj i zapisz wzorem widmo sygnału x(t) = 1 + sin(t) + cos(πt) + exp(j5t) oraz widmo odpowiedzi y(t) tzw. filtru analitycznego o charakterystyce częstotliwościowej
na pobudzenie x(t).

Odp.

Widmo pobudzenia:

Widmo odpowiedzi:

2. Próbkowanie

2.1 Podaj twierdzenie o próbkowaniu. Jakie zjawisko wystąpi w przypadku niespełnienia jego założeń? Co to jest częstotliwość Nyquista, a co oznacza szybkość Nyquista?

2.2 Falę prostokątną o amplitudzie A, częstotliwości podstawowej F₀ i wypełnieniu D=50% (patrz: zad. 1.1a)) spróbkowano z szybkością F_S = 8F₀. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.

Wskazówka: Narysuj widmo sygnału przed próbkowaniem i po spróbkowaniu, a następnie po rekonstrukcji.

2.3 Symetryczny sygnał trójkątny o amplitudzie A i częstotliwości podstawowej F₀ (patrz: zad. 1.1b)) spróbkowano z szybkością F_S = 4F₀. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych sygnału po rekonstrukcji.

2.4 Sygnał x(t) = 5cos(6000πt) + 4cos(12000πt) + 8cos(24000πt) spróbkowano z szybkością F_S = 8000 Sa/s (próbek na sekundę). Podaj postać sygnału x[n] po spróbkowaniu. Wyznacz amplitudy i częstotliwości składowych tego sygnału po rekonstrukcji. Jaka jest częstotliwość Nyquista? Co się zmieni, gdy sygnał przed próbkowaniem poddamy filtracji antyaliasingowej w filtrze dolnoprzepustowym o charakterystyce amplitudowej jak na rysunku i zerowej charakterystyce fazowej?

Zwróć uwagę na dobór częstotliwości granicznej filtru. Jaki ma to związek z szybkością próbkowania i z tym, że filtr aby być przyczynowy, nie może być idealny?

Odp.

W pierwszym przypadku (bez filtru) sygnał po rekonstrukcji:

y(t) = 4cos(4000πt) + 5cos(6000πt) + 8cos(8000πt);

w drugim:

y(t) = cos(4000πt) + 5cos(6000πt) + 0.5cos(8000πt).

W rozwiązaniu należy sprawdzić, czy częstotliwości składowych po rekonstrukcji są nie większe od częstotliwości Nyquista (F_S/2).

3. Splot (liniowy)

3.1 Oblicz splot sygnałów x[n] i h[n], metodą graficzną i metodą algebraiczną, korzystając z właściwości delty Kroneckera:

1. h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2], x[n] = {1, 2}; Odp. y[n] = {1, 4, 7, 6}

2. h[n] = δ[n+1] + 2δ[n] + 3δ[n-1], x[n] = {1, 2}; Odp. y[n] = {1, 4, 7, 6}

3. h[n] = δ[n-1] + 2δ[n-2] + 3δ[n-3], x[n] = {1, 2}; Odp. y[n] = {0, 1, 4, 7, 6}

Zwróć uwagę na różnice w sygnałach. Jakie ogólne prawo obrazują?

3.2 Znajdź odpowiedzi systemów cyfrowych o danych odpowiedziach impulsowych h[n] na podane sygnały pobudzające x[n]. Czy systemy te są typu SOI (FIR) czy NOI (IIR)? Czy są przyczynowe? Które są stabilne?

1. h[n] = u[n], x[n] = u[n] - u[n-N], N>0;

2. h[n] = u[n] - u[n-N], N>0, x[n] = u[n] - u[n-M], 0<N<M;

3. h[n] = aⁿu[n], 0<a<1, x[n] = u[n];

4. h[n] = nu[n], x[n] = u[n] - u[n-N], N>0;

5. h[n] = aⁿu[n], 0<a<1, x[n] = u[n] - u[n-N], N>0;

6. h[n] = n(u[n] - u[n-N]), N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<N<M;

7. h[n] = ၤ[n] - ၤ[n-N], N>0, x[n] = u[n] - u[n-M], 0<N<M;

8. h[n] = ၤ[n] - ၤ[n-N], N>0, x[n] = u[n] - u[n-M], 0<M<N;

9. h[n] = ၤ[n] - ၤ[n-N], N>0, x[n] = nu[n];

10. h[n] = ၤ[n] + ၤ[n-N], N>0, x[n] = nu[n];

11. h[n] = ၤ[n] - ၤ[n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<N<M;

12. h[n] = ၤ[n] + ၤ[n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<N<M;

13. h[n] = ၤ[n] - ၤ[n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<M<N;

14. h[n] = ၤ[n] + ၤ[n-N], N>0, x[n] = n(u[n] - u[n-M]), 0<M<N.

Zastanów się, jak zapisać sygnały h[n] i x[n], stosując symbol sumowania? Oblicz sygnały wyjściowe dla przypadku, gdy przekształceniom (odwróceniu w czasie i przesunięciu na osi czasu) podlega sygnał h[n], i dla przypadku z przekształcaniem sygnału x[n].

Odp.

a)
. Oba zapisy (z nawiasem klamrowym i za pomocą skoków jednostkowych) są oczywiście równoważne. W rozwiązaniach wystarczy podać jeden z nich.

3.3 Dwa systemy, jeden o odpowiedzi impulsowej
, drugi o odpowiedzi impulsowej
, połączono w kaskadę. Wyznacz wypadkową odpowiedź impulsową.

3.4 Wyznacz i naszkicuj odpowiedź systemu o odpowiedzi impulsowej
na pobudzenie ciągiem „rzadkich” delt Kroneckera, opisanym wzorem
, gdzie M>N oznacza odstęp między kolejnymi deltami.

3.5 Zamodeluj w dziedzinie czasu dyskretnego odbicia dźwięku od dwóch równoległych nieskończenie długich i nieskończenie wysokich ścian „pomieszczenia”. Opisz zjawisko wielokrotnego echa za pomocą odpowiedzi impulsowej. Jaki charakter powinna mieć (jaką funkcją należy ją wyrazić), aby odpowiadała zjawisku fizycznemu? Jak obliczyć odpowiedź „pomieszczenia” na dowolny sygnał pobudzający?

3.6 Udowodnij, że:

(splot z opóźnioną deltą daje opóźnienie sygnału)

4. Przekształcenie Z

(proste)

(odwrotne)

4.1 Oblicz transmitancje filtrów z zadania 3.2.

Odp.

1. 
   , obszar zbieżności (ROC):
   

2. 
   , obszar zbieżności (ROC):
   

3. 
   , obszar zbieżności (ROC):
   

4. Korzystamy z następującej właściwości: Jeżeli
   , to
   . Wówczas szukana transmitancja wynosi:
   , obszar zbieżności (ROC):
   

4.2 Stosując przekształcenie Z, wyznacz odpowiedź systemu o odpowiedzi impulsowej h[n]=(1/3)ⁿu[n] na pobudzenie sygnałem x[n] = (1/2)ⁿu[n].

Odp.

Transmitacja systemu:
, transformata pobudzenia:
. Transformata odpowiedzi:

,

gdzie
,

4.3 Oblicz odpowiedź y[n] systemu DLS y[n] = x[n] + ay[n-1] na pobudzenie sygnałem x[n]=10u[n]. Przyjmij a=1/2. Sprawdź poprawność rozwiązania za pomocą splotu. Oblicz transmitancję H(z) i odpowiedź impulsową h[n] systemu. Czy ten system jest przyczynowy? Czy jest stabilny? (zadanie z egzaminu z PCPS z 2003r., E. Hermanowicz)

4.4 Wyznacz odpowiedź y[n] systemu o transmitancji H(z) na pobudzenie x[n]. Narysuj schemat systemu. Czy system jest stabilny?

a)
,

b)
,

c)
,

Odp.

a)

b)

c)

4.5 Dane są sygnały:

a)
,

b)
,

Jaką transmitancję ma system, który pobudzony sygnałem x[n] daje na wyjściu odpowiedź y[n]? Podaj równanie różnicowe opisujące ten system i jego odpowiedź impulsową. Następnie sprawdź metodą splotu, że
. Który z filtrów jest typu FIR, a który IIR? Kiedy są stabilne?

Odp.

a)
,
,

b)
,
,

Metodą splotu rozwiążemy drugi przykład z tego zadania jako mniej trywialny. Skorzystamy tu ze wzoru definicyjnego splotu.

Wymnożenie przez skok jednostkowy otrzymaliśmy z warunku, że suma typu
ma sens tylko wtedy, gdy górna granica sumowania jest nie mniejsza od dolnej. W tym przypadku n musi być dodatnie. Pierwsza próbka sygnału
ma wartość zero, z czego wynika równość sygnałów
i
.

D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, rok 2011/2012

3

3

-12dB/okt

0dB

F [kHz]

|H(j2πF)|

-3

---