1. 
   Narysuj i krótko objaśnij układ równikowy ekwinokcjalny

P - biegun północny światła

P' - biegun południowy

PP' - (linia) oś światła

δ - deklinacja gwiazdy

G - gwiazda

Z - zenit

Nd - nadir

W wyniku przecięcia się płaszczyzny równika ziemskiego ze sferą niebieską otrzymamy równik niebieski. Płaszczyzna równika jest ┴ do osi światła.

Jedną ze współrzędnych gwiazdy może być odległość kątowa gwiazdy od równika, tj. deklinacja gwiazdy.

Deklinacja δ wzrasta na biegunie północnym P od 0° na równiku do +90° , natomiast na biegunie południowym P' maleje od 0° do -90°, zatem -90° ≤ δ ≤ +90°. Deklinacja nie jest zależna od ruchu dobowego gwiazdy. Gwiazda w swym pozornym ruchu dobowym przesuwa się po równoleżniku niebieskim. Płaszczyzna równoleżnika jest równoległa do płaszczyzny równika, a więc i δ nie ulega zmianie.

Drugą współrzędną moglibyśmy mierzyć po równiku niebieskim, począwszy od jakiegoś stałego punktu położonego na równiku, np. jasna gwiazda. Ale nie ma jasnej gwiazdy, której δ równałaby się 0°, poza tym gwiazdy posiadają niewielkie ruchy. Z tych względów za początek liczenia drugiej współrzędnej przyjęto 1 z ptk. przecięcia się ekliptyki z równikiem, zwany punktem równonocny wiosennej (ptk. Barana - γ) lub ekwinokcjum.

EKLIPTYKA - wyznacza ją pozorny ruch Słońca na sferze niebieskiej. Ziemia obraca się dookoła Słońca po orbicie ekliptycznej, a odbiciem tego ruchu jest pozorny roczny ruch Słońca na tle gwiazd. Jest to również koło wielkie powstałe na skutek przecięcia się płaszczyzny orbity Ziemi ze sferą niebieską.

Za ptk początkowy liczenia drugiej wsp przyjmuje się punkt Barana zwany rektascensją.

Rektascensja jest to kąt dwuścienny zawarty między południkiem niebieskim przechodzącym przez ptk Barana a południkiem danej gwiazdy. Liczymy ją po równiku w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Mierzona jest w stopniach, ale wygodniej w godzinach. Wzrasta ona w kierunku z zachodu na wschód.

Podsumowując stwierdza się, że wsp równikowe ekwinokcjalne gwiazd nie ulegają zmianie na skutek ruchu obrotowego sfery niebieskiej i mają te same wartości dla różnych obserwatorów na ziemi.

Istnieją spisy wsp uporządkowanych wg wzrastających rektascensji - są to katalogi gwiazdowe, pomagają w wyznaczeniu wartości wsp dla gwiazd.

2. Narysuj i krótko objaśnij układ równikowy godzinny

P - biegun północny światła

P' - biegun południowy

PP' - (linia) oś światła

δ - deklinacja gwiazdy

G - gwiazda

t - kąt godzinny

S' - południk miejscowy

Podstawowe płaszczyzny to płaszczyzna równika niebieskiego oraz płaszczyzna południka miejscowego.

Jedną ze współrzędnych jest deklinacja współrzędnych, czyli odległość kątowa gwiazdy od równika.

Drugą wsp jest kąt godzinny t zawarty między płaszczyzną południka miejscowego a południkiem danej gwiazdy. Kąt t mierzy się po równiku począwszy od południowej części południka miejscowego S' w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara od 0^h do 24^h.

Wartość δ nie zmienia się w zależności od pozornego ruchu dobowego sfery niebieskiej oraz nie zależy od położenia obserwatora na Ziemi.

Wartość t wzrasta proporcjonalnie do upływu czasu zgodnie z ruchem pozornym gwiazdy po równoleżniku niebieskim. Zmiana kąta o 360° (24^h) odpowiada jednemu obrotowi Ziemi dookoła osi i stanowi jednostkę czasu zwana doba gwiazdową. Kąt t zależy od położenia obserwatora na Ziemi.

Położenie ciała niebieskiego w tym układzie będzie jednoznacznie określone przez podanie, oprócz wsp t i δ również momentu obserwacji T

oraz wsp geograficznych φ i λ.

3. Narysuj i krótko objaśnij układ horyzontalny.

P - biegun północny światła

P' - biegun południowy

PP' - (linia) oś światła

δ - deklinacja gwiazdy

G - gwiazda

h - wysokość horyzontalna

A_N - azymut gwiazdy

Zenit (Z) i nadir (Nd) to przedłużenie linii pionu do przecięcia się ze sferą niebieską.

Horyzont obserwatora - koło wielkie w przecięciu się płaszczyzny horyzontu ze sfera niebieską.

Biegun światła - biegun P i P' - przedłużenie osi Ziemi do przecięcia się ze sferą niebieską.

Oś światła - linia łącząca dwa bieguny.

Południk miejscowy - przechodzenie koła wielkiego przez zenit i nadir oraz bieguny światła.

Wertykał - przechodzenie koła wielkiego przez zenit i nadir.

Almukantaratam - koło małe, równoległe do horyzontu.

Orientując oś celową teodolitu do ptk północy N położenie gwiazdy wyznaczyć można przez pomiar kąta poziomego zawartego między ptk N i G' oraz kata pionowego miedzy płaszczyzną horyzontu i kierunkiem do danej gwiazdy. Kąty te w układzie wsp to: azymut i wysokość.

Azymut gwiazdy A_N to kąt dwuścienny zawarty między północną częścią płaszczyzny południka miejscowego a płaszczyzną wertykału danej gwiazdy. Azymut mierzymy w horyzoncie od punktu północy N, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a więc przez ptk E, S i W, od O° do 360°. Azymut mierzymy w geodezji od północy, w astronomii od południa.

Wysokość gwiazdy h to kąt, jaki tworzy kierunek do danej gwiazdy z płaszczyzną horyzontu. Wysokość zmienia się w kierunku do zenitu od 0° do +90°, a w kierunku do nadiru od 0° do -90°.

Często stosuje się również odległość zenitalną, z która jest dopełnieniem wysokości do 90°: z= 90° - h.

Odległość z liczona jest od zenitu, wzdłuż wertykału, do nadiru. Przyjmuje wartości: -0° ≤ z ≤ 180°.

Układ ten ma swoje niezgodności:

• Miejsce zenitu uzależnione jest od położenia obserwatora na kuli ziemskiej;

• Układ jest układem lokalnym;

• Jest to układ chwilowy, gdyż Ziemia się obraca dookoła swej osi, odbiciem tego ruchu jest pozorny ruch gwiazd na sferze niebieskiej wokół osi świata, a gwiazdy wówczas w swym pozornym ruchu obracają się po równoleżnikach niebieskich wokół bieguna niebieskiego, co powoduje ciągłą zmianę A i h.

Położenie ciała niebieskiego w tym układzie będzie jednoznacznie określone przez podanie, oprócz wsp A_N i h również momentu obserwacji T oraz wsp geograficznych φ i λ.

Układ horyzontalny nie nadaje się do skatalogowania położeń ciał niebieskich.

4. Podaj zasadnicze różnice między czasem słonecznym prawdziwym a czasem słonecznym średnim

1) Czas słoneczny prawdziwy Tυ definiowany jest wg wzoru: Tυ = t₀ +12^h, gdzie t₀ to kąt godzinny środka tarczy Słońca. Ze wzoru wynika, że początkiem prawdziwej doby słonecznej jest moment dolnej kulminacji środka tarczy Słońca. Czas słoneczny średni Tm jest mierzony katem godzinnym średniego Słońca równikowego: Tm = t_{0 równ.} + 12^h lub Tm = t_m + 12 h.

2) Do wyznaczania czasu słonecznego prawdziwego stosuje się prawdziwe Słońce, natomiast w czasie słonecznym średnim wprowadzono ptk fikcyjny zwany Słońcem średnim równikowy. To kolejna znaczna różnica.

3) Czas słoneczny prawdziwy jest czasem nierównomiernym. Przyczyna tego jest niejednostajny ruch roboczy Ziemi po orbicie oraz nachylenie ekliptyki do równika. Długość doby słonecznej prawdziwej jest zmienna - latem krótsza, zimą dłuższa. Natomiast w czasie słonecznym średnim ptk fikcyjny porusza się po równiku z prędkością jednostajną, dokonując w ciągu tego samego czasu (jednego roku), co Słońce ekliptyczne jednego obiegu dookoła równika.

4) Kolejna różnica to taka, że czas słoneczny prawdziwy jest niedogodny do stosowania zarówno w życiu praktycznym, jak i w astronomii, a czas słoneczny średni ma zastosowanie w cywilnej rachubie czasu oraz w astronomii geodezyjnej.

5. Wyjaśnij zależność liczbową między dobą średnią a dobą gwiazdową

Doba gwiazdowa - odstęp czasu między dwiema kolejnymi kulminacjami górnymi ptk wiosennego, jest to jednostka czasu gwiazdowego. Miarą czasu gwiazdowego jest kąt godzinny ptk Barana Ө = t_γ. Początkiem doby gwiazdowej jest kulminacja górna ptk wiosennego (t_γ = 0). Dobę gwiazdową dzielimy na 24 godziny gwiazdowe, godzinę na 60 minut gwiazdowych, minutę na 60 gwiazdowych sekund.

Doba średnia - Na podstawie wielu obserwacji stwierdzono, że odstęp czasu miedzy 2 kolejnymi przejściami Słońca prawdziwego przez ptk równonocny wiosennej ( rok zwrotnikowy) wynosi365, 24219… średnich dób słonecznych.

Wiadomo też, że średni punkt równonocny wiosennej wykona w tym samym czasie 366,24219… obrotów. Zatem:

Zależność ta umożliwia dokonanie przeliczania skal czasów:

6. Metoda Legendre'a rozwiązywania małych trójkątów sferycznych

Metoda LEGENDRE'A - stosuje się do obl przybliżonych i oparta jest na stwierdzeniu, że każdy kąt w tr sfer jest o 1/3 ekscesu większy od odpowiadającego mu kąta w tr płąskim o tych samych długościach boków a,b,c.

1. A', B', C', a ->b,c

-obliczenie sumy pomierzonych kątów: ΣA'B'C'

-wyznaczyć eksces

-obliczyć wyrównane kąty:

;
;

-obliczyć kąty płaskie:
, B°, C°-analogicznie

-wyznaczenie boków trójkąta sferycznego:

7. Metoda additamentów rozwiązywania małych trójkątów sferycznych

Metoda ADDITAMENTÓW(Soldnera)-stos się do trójkątów o małych bokach w odniesieniu do kuli o promieniu R, wykorzystuje additamenty liniowe do obliczenia wielkości w trójkącie sferycznym.

2. -pomniejszyć bok o additament:
   -gdzie
   to addit. boku a,
   

-obliczyć boki b' i c' na podstawie wzorów:

-obl. additamentów dla boków b' i c', a następnie b i c:

8. Obecna klasyfikacja geodezyjnej osnowy wysokościowej

Osnowy dzielimy na:

1. osnowa podstawowa - 1mm
   

2. osnowa podstawowa I klasy - 2mm
   

3. osnowa szczegółowa I i II klasy - 4mm
   

4. osnowa szczegółowa I,II,III klasy - 10mm
   

5. osnowa pomiarowa I - IV klasy - 20mm
   

Klasyfikacja wysokościowej osnowy geodezyjnej

Podstawowa i szczegółowa geodezyjna osnowa wysokościowa dzieli się na cztery klasy oznaczane cyframi rzymskimi, z czego do osnowy podstawowej zaliczono punkty niwelacji precyzyjnej 1 I II klasy, do osnowy szczegółowej punkty wysokościowe III i IV klasy.
Punkty osnowy pomiarowej nie są dzielone na klasy.

1/ Długości odcinków niwelacyjnych podstawowej osnowy wysokościowej powinny wynosić:

- na terenach intensywnie zagospodarowanych - przeciętnie 0,8 km,

- na terenach pozostałych - przeciętnie 2,0 km.

2/ Długości odcinków niwelacyjnych szczegółowej osnowy wysokościowej powinny być krótsze od 1,5 km.

1/ Podstawowa osnowa wysokościowa I klasy jest zbiorem punktów niwelacji precyzyjnej /reperów/ wyrównywanych jako sieć jednorzędowa, w której wprowadzono poprawki ze względu na nierównoległość powierzchni ekwipotencjalnych na podstawie danych siły ciężkości,

2/ Na sieci niwelacji precyzyjnej I klasy składają się:

a/ linie niwelacji precyzyjnej sieci międzynarodowej, zawierające punkty fundamentalne i wiekowe,

b/ linie niwelacji precyzyjnej dzielące poligony sieci międzynarodowej tak aby średnia długość linii I klasy wynosiła około 50 km.

3/ Miarę dokładności podstawowej. osnowy wysokościowej I klasy jest średni błąd niwelacji po wyrównaniu, który powinien być mniejszy od ......... 1,0 mm/km.

1/ Podstawowa osnowa wysokościowa II klasy jest zbiorem punktów sieci niwelacji precyzyjnej wyrównywanych w obrębie poligonów I klasy i w nawiązaniu do punktów osnowy wysokościowej I klasy, Przy wyrównaniu wprowadzono poprawki ze względu na nierównoległość powierzchni ekwipotencjalnych na podstawie danych siły ciężkości,

2/ Na poszczególne sieci niwelacji precyzyjnej II klasy składają się :

a/ linie niwelacyjne o średniej długości 25 km dzielące poligony I klasy,

b/ sieci niwelacji precyzyjnej założone dla obszarów intensywnie zainwestowanych jak sieci niwelacji precyzyjnej większych miast i obszarów uprzemysłowionych o średniej długości linii 8 km.

3/ Miarą dokładności podstawowej osnowy wysokościowej II klasy jest średni błąd niwelacji po wyrównaniu, który powinien być mniejszy od....... 2,0 mm/km.

1/ Szczegółowa osnowa wysokościowa III klasy jest zbiorem punktów sieci niwelacji, wyrównywanych w obrębie poligonów II klasy w nawiązaniu do punktów osnowy wysokościowej I i II klasy.

2/ Na poszczególne sieci niwelacji III klasy składają się:

a/ linie niwelacji precyzyjnej nie zakwalifikowane do klas I i II,

b/ linie niwelacji technicznej.

Długości linii nie powinny być dłuższe od 18 km a na terenach intensywnie zainwestowanych od 6 km.

3/ Miarą dokładności szczegółowej osnowy wysokościowej III klasy jest średni błąd niwelacji po wyrównaniu, który powinien być mniejszy od ....... 4,0 mm/km.

1/ Szczegółowa osnowa wysokościowa IV klasy jest zbiorem punktów wysokościowych wyrównywanych w nawiązaniu do punktów osnowy wysokościowej I, II i III klasy.

2/ Do punktów wysokościowych IV klasy włącza się:

a/ punkty wysokościowe linii niwelacji technicznej nie zakwalifikowane do III klasy,

b/ sieci niwelacji technicznej wyrównane w obrębie poligonów sieci niwelacyjnych III klasy.

3/ Miarą dokładności szczegółowej osnowy wysokościowej IV klasy jest średni błąd niwelacji po wyrównaniu który powinien być mniejszy od ....... 10 mm/km.

1/ Pomiarową osnowę wysokościową stanowi zbiór punktów wysokościowych o określonych wysokościach nad poziom odniesienia - zakładanych stosownie do lokalnych potrzeb danego terenu.

2/ Do punktów wysokościowych osnowy pomiarowej włącza się:

a/ punkty ciągów niwelacji technicznej nie zakwalifikowane do klas III i IV,

b/ punkty ciągów niwelacji technicznej zakładane dla opracowań rzeźby terenu dla mapy zasadniczej i map topograficznych,

c/ punkty osnów wysokościowych wykonywane dla określonych potrzeb gospodarczych.

3/ Miarą dokładności osnowy pomiarowej jest średni błąd:

- niwelacji po wyrównaniu który powinien być mniejszy od ....... 20 mm/km,lub

- określenia wysokości punktu mniejszy od .................. 10 cm.

Sposób zakładania sieci wysokościowej i parametry dokładnościowe pomiaru oraz zasady włączania poszczególnych linii i sieci wysokościowych do wyrównania określają przepisy zawarte w instrukcjach technicznych G-2, G-4 i geodezyjnych instrukcjach resortowych.

9. Klasyfikacja metod obliczania współrzędnych na elipsoidzie obrotowej

• I metody bezpośrednie - polegają na rozwiązywaniu trójkąta elipsoidalnego, opartego na punktach P₁, P₂ i B (B - biegun elipsoidy), np. metody Bessela, Helmerta, Clarke'a - Robbinsa

• II metody wykorzystujące szeregi potęgowe - rozwijanie różnic B, L, A w szereg Maclcurin'a, względem długości linii geodezyjnej s (parametr naturalny). Powolna zbieżność szeregów - zastosowanie dla s150km, np. metoda Gaussa - modyfikacja szeregów, zastosowanie dla s200km.

• III metody z punktem pomocniczym - wprowadzają punkt dodatkowy, najczęściej prowadząc przekrój normalny z punktu P₂, prostopadły do południka punktu P₁, otrzymuje się punkt P'₂ na południku P₁, np. metoda Clarke'a (dla s30km, przy pewnych modyfikacjach dla s120km)

• IV metody wykorzystujące cięciwy elipsoidy (Mołdeński 1954) podejścia trójwymiarowe, zamiast linii geodezyjnych po powierzchni i wykorzystuje odcinki cięciw elipsoidy rozwiązuje się tu trójkąty sferyczne powstałe jako ślady cięciw na pewnej wybranej sferze

• V metody całkowania numerycznego

10. Metoda Clarke'a (zadanie wprost)

Przenoszenie współrzędnych metodą CLARKE'A (zadanie wprost) : P₁(B₁,L₁),S₁₂,A₁₂->P₂(B₂,L₂),A₂₁. Stosowana jest do 30km i należy do metod punktu pomocniczego.

*obl.nadmiaru sfer:
*wyznaczenie boków trójkąta u,v :


* obl. Różnicy szerokości geodezyjnej.
pkt. P₁ i P'₂ oraz współrz.B'₂ :

* obl. Szerokości geod. B₂
B₂=B₂' -

*wyznaczenie różnicy dłg.
i zbieżności południków
pkt. P₁ i P₂ :

L₂=

*obl. Azymutu A₂₁ :

*WARTOŚCI FUN. POMOCNICZYCH: (1)=
(2)=
(3)=

*WARTOŚĆ GŁ.PROMIENI KRZYWIZNY ELIPSY KRASOWSKIEGO obliczamy :

11. Metoda Gaussa (zadanie odwrotne)

Przenoszenie współrzędnych metodą średniej szerokości Gaussa (zadanie odwrotne).

P₁(B₁,L₁),P₂(B₂,L₂) A₁₂, A₂₁,s₁₂

-obliczanie wartości pomocniczych

b=B₂-B₁ l=L₂-L₁

t=tgB

-obliczenie wartości azymutu A oraz A₁₂ i A₂₁:

-obliczenie długości s₁₂:

12. Narysuj i nazwij powierzchnie, do których odnoszą się: wysokość ortometryczna (H), wysokość elipsoidalna (h) i odstęp geoidy od elipsoidy (N). Podaj zależność między tymi wielkościami

Wysokość ortometryczna jest to wysokość mierzona wzdłuż linii pionu

- jest to średnia z każdego punktu pionu

punktu pionu

Poprawka ortometryczna składa się z 3 różnych poprawek dynamicznych

g_s - średnie przyspieszenie siły ciężkości pomiędzy punktami A i B

g_A - przyspieszenie siły ciężkości w punkcie A

g_B - przyspieszenie siły ciężkości w punkcie B

Wysokość elipsoidalna to wysokość punktu P nad powierzchnią elipsoidy na normalnej n do elipsoidy - mierzona od powierzchni Ziemi do powierzchni elipsy. Jest to jeden z elementów koniecznych do obliczenia współrzędnych elipsoidalnych - x, y, z.

- jest to wzór Stokes'a na odstęp geoidy od elipsoid wzór ten umożliwia wyznaczenie geoidy z danych grawimetrycznych.
- to różnica, anomalia pomiędzy g pomierzonym a γ policzonym ze wzoru (przyspieszenie normalne). Wzór ten wymaga całkowania po całej powierzchni Ziemi.

H=h-N - wysokość nad średni poziom morza

N - odtsęp geoidy od elipsoidy

h - odległość elipsoidalna

13. Za pomocą odpowiedniego rysunku zdefiniuj odchylenie pionu i krzywizn linii pionu. Wymień główne zastosowania odchyleń pionu w geodezji

• ODCHYLENIE PIONU - Jako powierzchnię podstawową, do której odnosimy wszystkie pomiary wykonywane na Ziemi na różnych wysokościach, przyjęto tzw. geoidę zerową, przechodzącą na przeciętnej wysokości poziomu wód w morzach i oceanach. W stosunku do takiej geoidy zerowej oblicza się wysokości ptk na powierzchni Ziemi. W związku z występowaniem w gór, wielkich zbiorników wód oraz nierównomiernego rozmieszczenia mas w skorupie ziemskiej, kierunek siły ciężkości ulega pewnym odchyleniom i nie jest taki, jaki byłby, gdyby skorupa ziemska była jednorodna. W odróżnieniu od pionu, czyli ┴ do geoidy, prostą ┴ do elipsoidy w danym ptk nazywamy normalną do elipsoidy. Kąt między tymi prostymi - γ - nazywamy odchyleniem pionu w danym miejscu. Określenie odchyleń pionu w różnych miejscach jest istotne przy wyznaczaniu powierzchnię elipsoidy i geoidy.

KRZYWIZNA LINII PIONU

Liniami siły ciężkości = liniami pionowymi nazywamy krzywe o tej własności, że proste styczne w każdym ich punkcie mają kierunek wektora siły ciężkości
. Inaczej są to krzywe, po których poruszałby się punkt w spadku swobodnym (pod działaniem siły
). Z definicji powierzchni ekwipotencjalnych i linii pionu wynika, że linie pionu są w każdym punkcie ┴ do powierzchni ekwipotencjalnych

14. Napisz wzór Stokesa i objaśnij wszystkie symbole we wzorze, określ w jakim celu wzór ten jest stosowany w geodezji.

Poniższy wzór umożliwia obliczenie geoidy z danych grawimetrycznych.

γ - normalna wartość przyspieszenia siły ciężkości

g - pomierzona i zredukowana do geoidy wartość przyspieszenia siły ciężkości.

- różnica, anomalie między g pomierzonym, a γ policzonym ze wzoru

- funkcja Stokesa

- odległość sferyczna na kuli między 2 punktami. Jeden jest stały, drugi zmienny.

15. Zdefiniuj geoidę i podaj zastosowania w geodezji.

Geoida to figura, która pozwala w sposób bardziej dokładny przedstawić kształt powierzchni Ziemi niż elipsoida obrotowa. Kształt geoidy najłatwiej wyobrazić sobie poprzez przedłużenie powierzchni mórz i oceanów w stanie spoczynku pod lądami. Powierzchnia ta charakteryzuje się następującymi właściwościami:

• Prosta styczna do powierzchni geoidy, w każdym jej punkcie jest ┴ do kierunku pionu;

• Krzywizna powierzchni zmienia się w sposób ciągły;

• Jest to bryła niematematyczna, tzn. nie ma wzoru matematycznego, który by określił kształt geoidy.

W celu praktycznego zdefiniowania geoidy używa się średniego poziomu morza. On w skali globalnej waha się do 2 m. Średni poziom morza wyznaczany jest przez mareograf.

Geoida to też powierzchnia ekwipotencjalna, która zawiera w sobie swobodną powierzchnię oceanów. Uczeni uważają, że geoida jako zerowa powierzchnia ekwipotencjalna przedstawia prawdziwy kształt Ziemi Nazwę geoida wprowadził Listing (1873), ale Bessel (1837) też używał tego pojęcia, a jeszcze wcześniej Gauss (1828). Poincare wyraził, że jest niemożliwe wyrazić równanie geoidy na obszarze lądów i oceanów tylko jedną funkcją analityczną.

Geoida - to idealna powierzchnia mórz i oceanów przedłużona pod lądami, jest powierzchnią ciągłą; krzywizna geoidy nie jest ciągła, gdy są nagła zmiany gęstości. Nie jest to powierzchnia odniesienia do wyznaczania położenia punktu. W celu zdefiniowania geoidy używa się średniego poziomu morza - waha się on w skali globalnej do 2m.

Geoida - to teoretyczna [powierzchnia stałego potencjału i siły ciężkości pokrywająca się z powierzchnią mórz i oceanów przedłużona umownie pod lądami; kierunek siły ciężkości - pion - jest prostopadły do powierzchni geoidy w każdym jej punkcie.

Geoidę wyznacza się na podstawie pomiarów astronomiczno-geodezyjnych, a także satelitarnych, grawimetrycznych i niwelacyjnych.

Geoida ma zastosowanie do

• wyznaczania wysokości

• wyznaczanie kształtu Ziemi

• budowy wnętrz Ziemi

16. Zjawiska szczególne na sferze niebieskiej (rysunki, omówienie)

1)wschód i zachód gwiazdy, wtedy odl. zenitalna = 90°,

Gwiazdy dzielą się na:

-nigdy nie wschodzące

-nigdy nie zachodzące

-wsch. i zach.

Aby był moment wsch. i zach. musi być spełniony warunek: φ-90°<δ<90°-φ

2)kulminacja gwiazdy - moment przejścia gwiazdy przez południk miejscowy (w ciągu doby 2 razy),

Rodzaje kulminacji:

-górna - przejście gwiazdy przez płd. część południka miejscowego => t=0h

δ<φ => z=φ-δ gdy δ>φ =>z= δ-φ

-dolna - przejście gwiazdy przez płn. część południka miejscowego => t=12h

δ<-φ => z=180+( φ+δ) gdy δ>-φ => z=180-( φ+δ)

3)elongacja gwiazdy - największa wartość azymutu jaką może osiągnąć gwiazda po stronie wschodniej lub zachodniej. Warunek: δ>φ!

17. Technika niwelacji precyzyjnej

Pomiar niwelacji precyzyjnej I klasy powinien być wyk w odp warunkach atmosferycznych (temp o⁰ 25^o, wiatr o prędkości mniejszej niż 6m/s), przy dobrej widoczności spokojnego obrazu podziału łat, po gruncie lub nawierzchni zapewniających stabilność statywu i łat. Na danym stanowisku niwelacyjnym, łata stojąca -w stosunku do obserwatora -w kierunku zgodnym z kierunku zgodnym z kierunkiem pomiaru to łata „w przód”, a druga- to łata „wstecz”. Ta sama łata będąca na danym stanowisku łatą „w przód”, na nastpnym powinna być łatą „wstecz”. (i odwrotnie)Każdy odcinek powinien sią skłądać z parzystej liczby stanowisk tak, aby łata wyjściowa-stawiana na reperz początkowym-była też obserwowana na reperze końcowym danego odcinka. Przy pomiarza odcinka w dwu kierunkach, łaty wyjściowe powinny byćróżne. Na kolejnych stanowiskach nogi statywu powinny być ustawione w sposób przemienny (obrót o 180 ^o).długości osi celowych dla I klasy: 8-35 m, klasa II : do 40m. Różnica długości celowych na stanowisku nie może być większa niż 0,4 m dla I klasy i 0,5m dla II klasy. Linia celowa powinna przebiegać na wys ok. 1,5m nad pow terenu. Nie powinna przebiegać blisko obiektów wydzielających ciepło (refrakcja, wibracja).

18. Sieć EUVN - omówić

EUVN (European Vertical GPS-Reference Network) została założona z inicjatywy Podkomisji dla Europy (EUREF) Międzynarodowej Asocjacji Geodezyjnej (IAG). Głównym zadaniem tej sieci jest połączenie wszystkich narodowych systemów wysokościowych na naszym kontynencie. Umożliwia ona opracowanie jednolitego dla Europy modelu geoidy niwelacyjnej. Podczas kampanii niwelacyjnej przeprowadzonej na obszarze 32 krajów (21-29 maja 1997 r.) obserwowano równocześnie 196 punktów. Jej wyniki przedstawiono na sympozjum EUREK Niemcy, 1998 r.

Sieć EUVN została w Polsce zagęszczona w wyniku kampanii pomiarowej w 1999 roku i to właśnie punkty sieci zagęszczającej tworzą podstawową osnowę dla wyznaczenia geoidy niwelacyjnej. Punkty EUVN zaliczane są do I klasy podstawowej osnowy poziomej i wysokościowej.

Cały zbiór, nazywany dalej w skrócie EUVN, tworzą:

- 52 punkty sieci wysokościowej zagęszczającej osnowę EUVN istniejącą na obszarze Polski , - 6 punktów istniejącej w Polsce sieci EUVN '97,

- 4 punkty będące polskimi stacjami permanentnymi, które oprócz ciągłej pracy w służbach IGS i EUREF uczestniczyły również w kampanii EUVN '97.

19. Sieć POLREF - omówić

POLREF założono w latach 1994-95, przeprowadzając 3 kampanie pomiarowe, w wyniku których wyznaczono 348 zespołów po 2 punkty (główny i kierunkowy) nawiązanych do 11 punktów sieci EUREF-POL. Powstała w ten sposób pierwsza jednorodna trójwymiarowa osnowa geodezyjna o wysokiej dokładności (błąd położenia dla składowych poziomych - poniżej 0.01 m, a dla wysokości elipsoidalnej - około 0.015 m). Punkty POLREF mają określone kartezjańskie współrzędne przestrzenne XYZ (czyli równocześnie geodezyjne elipsoidalne BLh) w układzie geocentrycznym EUREF-89 i wysokości normalne z dowiązania niwelacją precyzyjną do osnowy wysokościowej w układzie Kronsztad '86 (te ostatnie tylko dla punktów głównych - centrów). Do modelowania geoidy punkty EUREF-POL włączono do zbioru punktów POLREF.

20. Zjawisko paralaksy i aberracji

Paralaksa - zmiana obserwowanego kierunku, wynikająca z faktu, że obserwator nie znajduje się w środku układu wsp.

• paralaksa dobowa - obserwator mierzy kierunki topocentryczne, a nie geocentryczne
  

• paralaksa roczna - mierzone są kierunki geocentryczne, a nie heliocentryczne

Aberracja - związana jest z ruchem obserwatora, który bierze udział wraz z Ziemią w kilku ruchach:

• obrót wokół własnej osi - dobowa

• obrót wokół Słońca - roczna

• ruch Słońca z układem słonecznym - wiekowa

21. Zasada wyznaczania szerokości geograficznej z pomiarów astronomicznych

Zasada wyznaczania szerokości astronomicznej.

1. na podstawie obserwacji gwiazd

2. na rysunku: sfera niebieska zrzutowana na płaszczyznę lokalnego południka punktu obserwowanego O; HOH' reprezentuje płaszczyznę horyzontu; OP - kierunek do bieguna obrotu; OQ - kierunek równika, wtedy kąt HOP =  (czyli szerokość astronomiczna punktu O), kąt H'OQ = 90^o - ; H'S reprezentuje wysokość obiektu niebieskiego; S w momencie przejścia S przez południk; kąt QOS = δ (deklinacja S)

Jeżeli znany jest dokładny czas Greenwich oraz  można obliczyć moment przejścia S przez południk z wyprzedzeniem. Jeżeli nie: pomiary wielokrotne kiedy h_max. W przypadku, gdy S=Słońce czas przejścia to lokalne południe.

Astronomiczną szerokością geograficzną (na rys.6 kąt φ₃) nazywamy kąt jaki tworzy kierunek pionu (linia zenit-nadir) z jego rzutem prostym na płaszczyznę równika. Szerokość astronomiczna dla półkuli północnej mierzona jest od 0° do 90°, a na południowej od 0° do -90°.

Geodezyjna szerokość geograficzna (kąt φ₂) to kąt pomiędzy linią prostopadłą do powierzchni elipsody obrotowej, a jej rzutem na płaszczyznę równika.

22. Zasada wyznaczania długości geograficznej z pomiarów astronomicznych

Wyznaczanie długości geograficznej
sprowadza się do znalezienia różnicy między czasem lokalnym T (jest nim, oczywiście, lokalny czas średni słoneczny) i czasem Greenwich (czyli uniwersalnym UT) - przy czym długość geograficzną wschodnią uznajemy za dodatnią. Jak wiemy, T jest równe powiększonemu o 12 godzin kątowi godzinnemu Słońca średniego, ten zaś kąt godzinny to różnica czasu gwiazdowego (
) i rektascensji Słońca (

). W rezultacie (w jednostkach czasowych) mamy:

=
-

- UT + 12.

Wyznaczenie własnej długości geograficznej polega więc na znalezieniu czasu gwiazdowego w miejscu obserwacji jako rektascensji gwiazdy górującej. UT zazwyczaj jest znany na podstawie radiowych sygnałów czasu. Systematyczne dokładne pomiary długości geograficznej dają informacje np. o ruchu kontynentów.

23. Zasada wyznaczania azymutu z pomiarów astronomicznych

A^N_♀ = H_♀ - ( H*- A*_N )

24. Wysokość normalna

Jeśli różnice potencjałów między geoidą a pow. ekwipotencjalną pkt B podzielimy przez przys. normalne otrzymamy wys. normalną pktB nad poziom morza



przys. normalne na geoidzie
Jeżeli od punktów Ziemi fizycznej „odetniemy” ich wys. normalne wzdłuż ich linii pionu to otrzymamy pow. zwaną quasigeoidą. Nie jest ona pow. poziomą, nie pokrywa się z geoidą, pokrywają się one tylko na pow. oceanów. Dla przewyższenia A-B

25. Wysokość ortometryczna

Wysokość ortometryczna- to odległość od geoidy(poziomu morza) mierzona wzdłuż linii pionowej. WYSOKOŚĆ ORTOMETRYCZNA- równa się długości odcinka lini pionu(krzywej) od geoidy do punktu P.Jeśli jako przyspieszenie na drodze O-P przyjmiemy średnie
na tej drodze, tzn.
to wysokość ortometryczna można wyznaczyć ze wzoru :
i jest to wysokść ortometryczna punktu P(odcinkach praktyczne wyznaczenie
nie jest możliwe bez znajomości rozkładu gęstości mas Ziemi wzdłuż tej drogi).Róznica potencjałow na geoidzie i w punk.P będzie można otrzymac ze wzoru:
, gdzie
wartość przyspieszenia siły ciężkości we wnętrzu Ziemi na kolejnych
przeciętna wartość tego przyspieszenia. Istnieje wielu autorów i wiele metod obliczenia wysokości ortometrycznej i P.O., np.:Helmert,Niethammer. Do wyznaczenia H^ort potrzebna jest również poprawka ortometryczna[ P.O. ]. Przyjmujemy uproszczony model Helmerta, w którym
, gdzie :
(kappa)=1-
,
- gestość w okolicy ciągu(dane geologiczne) i
- śr.gęstośc skorupy Ziemi (5,52 g/cm³), R-śr. Promień Ziemi (6370000m) , g=G
, M=
, H_A,H_B- wartośc z niwelacji bez poprawki, H_i-1=
,
(w miligalach)

26. Wysokość dynamiczna

Wysokość dynamiczna - wysokość w liczbie geopotencjalnej podzielona przez średnią wartość potencjału obliczana jest ze wzoru:

- wysokość dynamiczna - liczona w liczbach geopotencjalnych

C - liczba geopotencjalna

- to przyspieszenie normalne wyznaczone dla szerokości 45° i jest to wartość stała.

Jeżeli we wzorze na wysokość normalną
, w miejsce
przyjmiemy wartość przyspieszenia normalnego
na elipsoidzie dla B = 45°, to otrzymamy tzw. wysokość dynamiczną.

Punkty mające te same wysokości dynamiczne mają te same powierzchnie ekwipotencjalne - z def wynika, że wysokości dynamiczne punktów tej samej powierzchni poziomej są jednakowe. Wysokości mają znaczenie w różnych pracach hydrotechnicznych, gdyż spływ wód odbywa się w kierunku od większych do mniejszych wysokości dynamicznych.

27. Wysokość geopotencjalna

.podobnie dla
wtedy
Aby otrzymać wysokość geopotencjalną punktu A, do wyników z niwelacji trzeba dodać poprawkę geopotencjalną Poprawka geopotencjalna -

28. Omówić pojecie ekliptyki

Linia na sferze niebieskiej, wzdłuż której, z punktu widzenia ziemskiego obserwatora, Słońce wykonuje swój roczny ruch w na tle gwiazdozbiorów (ruch ten odbywa się w kierunku przeciwnym do kierunku dobowego obrotu sfery niebieskiej). Powstające w ten sposób koło wielkie na sferze niebieskiej, którego płaszczyzna pokrywa się z płaszczyzną orbity Ziemi wokół Słońca, nazywa się płaszczyzną Ekliptyki. Płaszczyzna Ekliptyki jest nachylona do płaszczyzny równika niebieskiego pod kontem 23°26'13", nazywaniem nachyleniem Ekliptyki.

29. Zjawiska precesji i nutacji

Precesja- Jest to zjawisko przejawiające się wykonywaniem przez oś Ziemi ruchu po powierzchni bocznej stożka. Oś ziemska kreśli na tle nieba okrąg. Zakreślenie pełnego okręgu trwa 26 tysięcy lat (rok platoński). Zjawisko to jest wywołane przez siły grawitacyjne Księżyca i Słońca. Oś obrotu Ziemi nie jest prostopadła do jej płaszczyzny obiegu wokół Słońca (ekliptyki), ale pochylona pod kątem ok. 23,5°. Kat tworzący stożka 45^o Jednocześnie Ziemia nie jest kulą. Wokół równika więc zgromadzona jest większa masa. Księżyc i Słońce przyciągając tę masę. Jednak planeta wiruje za szybko, by poddać się

tym siłom. W rezultacie jej oś zakreśla stożek i nie może zachować stałego położenia w przestrzeni. Skutkiem precesji Ziemi równik niebieski wędruje po ekliptyce z prędkością 1° na 72 lata, a biegun nieba zakreśla wokół bieguna ekliptyki okrąg o promieniu 23,5°. Dlatego też Gwiazda Polarna nie zawsze była na biegunie nieba. Za 11 tysięcy lat będzie tam się znajdować Wega. Podobnie przesuwa się po ekliptyce punkt Barana, inaczej zwany punktem równonocy wiosennej. Precesja powoduje również różnicę między rokiem gwiazdowym a rokiem zwrotnikowym. Precesja osi Ziemi została odkryta przez Hipparcha w 130 roku p.n.e.

P -precesja

N- nutacja

R-ruch Obr. Ziemi

Nutacja - zjawisko polegające na drganiu osi obrotu ciała poddanemu precesji. Nutacja

pojawia się, gdy wirująca bryła nie ma osi symetrii, nie wiruje wokół osi symetrii bądź moment sił działających na bryłę (względem punktu zamocowania) nie jest równy zeru. Poddana jest im również oś Ziemi. Wywoływana jest głównie przez działanie Księżyca i Słońca. Powoduje okresowe odchylenie bieguna od krzywej precesji, powoduje to prawdziwy ruch bieguna niebieskiego. Jej okres wynosi 18,6 roku. Stała nutacji dla Ziemi wynosi 9,21 sekund łuku.

Porównanie - O ile wyżej wymienione efekty zmieniały położenie wskazówki naszego wyimaginowanego zegara, to wpływ na czas rotacyjny ruchów osi obrotu Ziemi w przestrzeni — względem odległych gwiazd — niejako przemieszcza jego tarczę. Te ruchy to przede wszystkim precesja i nutacja. Precesja powoduje dość równomierny ruch osi świata (też: punktu Barana) wokół bieguna ekliptyki, zaś nutacja, to niewielkie oscylacje osi ziemskiej wokół położenia wyznaczonego jej precesją. O ile precesję uwzględnia się zawsze w rachunkach związanych z czasem rotacyjnym (poprzez związanie rektascensji z precesującym punktem Barana), o tyle nutacja ma wpływ jedynie na czasy prawdziwe (słoneczy i gwiazdowy), zaś jest pomijana w czasach średnich.

30. Elipsoida obrotowa

Elipsoida obrotowa to bryła wypukła powstała na skutek obrotu elipsy wokół swej krótszej osi. Szczególnym przypadkiem e. jest kula, co następuje gdy obracająca się elipsa ma równe promienie, tzn. jest okręgiem.

W prawoskrętnym układzie współrzędnych prostokątnych przestrzennych równanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej ma postać
Parametry elipsoidy obrotoweja,b- dwie półosie elipsy południkowej , a>b
- spłaszczenie elipsy południkowe
- ekscentryczność ( mimośród I )
- mimośród II ( eliptyczność)
kwadrat mimośrodu elipsy południkowej

31. Pomiar promienia Ziemi przez Eratostenesa

Erastotenes wiedział że w mieście Syene, położonym na południe od Aleksandrii, Słońce w najdłuższym dniu w roku odbija się w południe w głębokiej studni, czyli znajduje się w wówczas w zenicie i świeci pionowo do powierzchni Ziemi. Erastotenes przyjął, że Aleksandria i Sene leżą na tym samym południku. W południe, kiedy Słońce w Syene znajdowało się w zenicie, zmierzył w Aleksandrii kąt między kierunkiem pionu i Słońca za pomocą cienia pionowo wbitej tyczki. Stosując twierdzenie o 2 równoległych przeciętych trzecią prostą, można zmierzyć kąt  nie w punkcie O - w środku Ziemi, lecz na powierzchni w punkcie A. Jako wielkość kąta  otrzymał Erastotenes 1/50 obwodu koła, czyli 7^o12'. Odległość między Aleksandrią a Syene oceniana była wówczas na 5000 stadionów, łatwo więc było obliczyć, że obwód Ziemi wynosi 5000*50=250000 stadionów, a promień Ziemi - R\397 000 stadionów. Stadion jako jednostka długości mogła wynosić ok. 180 m, a więc według pomiaru Erastotenesa, ćwiartka południka wynosiła 11 250 000 metrów. Dziś wiadomo że wynosi ona 10 001 868 metrów.

32. Prawa Keplera

1 prawo Keplera. Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk.(rys.)

2 prawo Keplera Promień wodzący planety zakreśla w różnych odstępach czasu równe pola, im planeta jest dalej od Słońca tym prędkość liniowa jest mniejsza.

3 prawo Keplera. Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca

33. Zasada pomiaru czasu z wykorzystaniem systemu GPS

Dla poprawnej pracy systemu kluczowy jest czas. Satelity tworzą razem z kilkoma nadajnikami naziemnymi swoista sieć korekcji czasu. W efekcie odbiornik GPS podaje nie tylko pozycje, ale jest również bardzo precyzyjnym zegarem.Pomiaru odległości dokonuje się poprzez pomiar czasu. Każdy z satelitów posiada cztery zegary atomowe, którymi synchronizuje wysyłany sygnał. Niestety, odbiornik GPS nie dysponuje własnym zegarem atomowym, a tylko dokładnym zegarem kwarcowym, więc staje przed na pozór nierozwiązywalnym zadaniem: ma stwierdzić która jest godzina (z dokładnością do nanosekundy), dysponując tylko sygnałem otrzymanym z satelitów, z których każdy podaje inny czas.
          Dokonuje się tego odbierając sygnał nie od trzech, a od czterech satelitów. Można wówczas wyliczyć zarówno rzeczywisty czas, jak i położenie (klasyczny układ czterech równań z czterema niewiadomymi: X,Y, Z, δt).

ρ- odległość od stacji do satelity

c- prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych

δt- poprawka czasu

p- pseudoodległość (miernik odległości pomiędzy satelitą a stacją.

W celu określenia dokładnej pozycji niezbędna jest zatem znajomość dokładnego czasu. Ponieważ określenie położenia na powierzchni Ziemi z wykorzystaniem satelitarnych systemów nawigacji sprowadza się do pomiaru okresu potrzebnego na przebycie drogi przez falę elektromagnetyczną, poruszającą się z prędkością światła i emitowaną przez satelity do użytkownika potrzebna jest bardzo precyzyjna wiedza kiedy sygnał opuszcza satelitę oraz kiedy dociera on do odbiornika. W nawigacji to zegar jest głównym czynnikiem determinującym dokładność wykonanych pomiarów.

34.Geodezyjny System Odniesienia GRS 80

GRS'80- przyjety został w XII.1979r. Postanowienia były takie,ze GSO 1967 już nie reprezentuje rozmiaru, kształtu i pola siły cieżkości Ziemi z odpowiednią dokładnością zalecono aby GSO 1967 został zastąpiony przez wzory GSO 1980. oparte również o teorię geocentyczną elipsoidy ekwipotencjalnej zdefiniowanej przez nastepujące stałe standardowe : a=6378137m (równikowy promień Ziemi), GM-3986005*10⁸
(stała grawitacyjna z atmosfery), J₂=108263*10^-8( dynamiczny,współczesny kształ Ziemi ), w=7292115*10^-11
(katowa prędkość obrotu Ziemi). Wzory uzywane takie same jak GSO'67. Czyli dane podstawowe to: a, GM, J₂, w. Na ich podstawie można wyznaczyć pochodne stałe geometryczne, np.: b=6356752,314m , E-mimośród liniowy, e², e'²,f,f^-1 oraz pochodne stałe fizyczne : v_o=6263686,085 m²/s² (potencjał normalny na elipsoidzie), J₄,J₆..-kolejne współ.harmoniczne,sferyczne,
-przyspieszenia normalne na równiku i biegune.

J₂=
, gdzie C-A to róznica momentów bezwładności względem małej i dużej półosi

35. Pole normalne siły ciężkości Ziemi

Normalnym polem grawitacyjnym Ziemi nazywamy przestrzeń w której na każdy punkt materialny działa normalna siła
, równa sumie siły przyciągania elipsoidy obrotowej(o masie równej masie Ziemi, aproksymującej z przyjętą dokładnością geoidę) i siły dośrodkowej ziemi. Liniami siły ciężkości pola normalnego nazywamy krzywe o tej własności, że proste styczne w każdym ich punkcie mają kierunki wektora normalnej siły ciężkości
. Linie te są prostopadłe do powierzchni ekwipotęcjalnych, U=const (zerowa powierzchnia ekwipotęcjalna). Ponieważ powierzchnie są powierzchniami obrotowymi wiec linie siły ciężkości są krzywymi płaskimi leżącymi w płaszczyznach południków geodezyjnych.

36. Metody pomiaru przyspieszenia siły ciężkości

Do wyznaczenia przebiegu globalnej geoidy wykorzystuje się obecnie wszystkie dostępne techniki pomiarowe. Każda z nich ma istotny wkład tylko w pewien zakres widma pola siły ciężkości. Ponieważ natężenie pola siły ciężkości zmniejsza się wraz z wysokością, dane o zakresie widma dostarczane przez różne sensory zależą od ich odległości od Ziemi. Dlatego pomiary grawimetryczne naziemne lub lotnicze dają znacznie lepsze informacje o krótkookresowym zakresie widma niż pomiary satelitarne i analiza perturbacji orbit. Jedynym wyjątkiem od tej reguły są altimetryczne pomiary satelitarne, które wyznaczają przebieg geoidy z bezpośredniego pomiaru poziomu mórz i oceanów. Altimetria dostarcza informacji o długo- i średniofalowych częściach widma, pod warunkiem, że dostępny jest dobry model topografii morza. Ich rozdzielczość zależy głównie od wielkości obszaru, na który pada wiązka radarowa.

W grawimetrii lotniczej przyspieszenie siły ciężkości jest różnicowane, w wyniku czego otrzymujemy przyspieszenie siły ciężkości wzdłuż profili lotu samolotu. Metoda ta umożliwia pomiar przyspieszenia siły ciężkości na obszarach do 1000 x 1000 km z rozdzielczością od 8 do 500 km.

Planowane satelity gradiometryczne mają być umieszczone na niskich orbitach w celu dostarczenia informacji o polu siły ciężkości z rozdzielczością - w najlepszym przypadku - 80 km, a w najgorszym - 300 km. Tak więc metody te uzupełniają się wzajemnie, gdyż grawimetria lotnicza umożliwia wyznaczanie krótkofalowej części widma, której nie "widzą" satelity, oraz części średniofalowej słabo wykrywalnej przez satelity. Natomiast metody satelitarne dają dobre rezultaty w określeniu długofalowej części widma pola siły ciężkości.

37. Punkty Laplace'a

Punkty Laplace'a (inst.G-1)obok elementy liniowe i punkty niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej wchodzą w skład sieć astronomiczno - geodezyjna, która jest podstawą do tworzenia osnowy I klasy. Stopień zagęszczenie osnowy I klasy powinien wynosić, co najmniej 1 punkt na 60 km². Posiadać struktur e powierzchniowej sieci kątowo - liniowej, wyznaczonej na podstawie pomiarów geodezyjnych, astronomicznych i grawimetrycznych.

Dopuszczalne średnie błędy obserwacji na punkcie Laplace'a, obliczone z rozrzutu wyników

pomiaru, wynoszą:

szerokości astronomicznej -0,2"

długości astronomicznej -0,3"

azymutu astronomicznego -0,3"

W sieci triangulacyjnej min.wyznacza się współrzędne geogr. wybranych punktów sieci (tzw. pkt Laplace'a).

1

2

3

4

stacja

p1

p2

p3

p4

---