Wzory 21

WZORY 21: wzory ważone i nieważone składników równości wariancyjnej cechy zależnej mierzalnej X, ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny

Dane indywidualne (dane jednostkowe)	Tablica korelacyjna: rozkłady punktowe	Tablica korelacyjna: rozkłady przedziałowe
(xi, yi) i = 1,..., nj j = 1,..., l	(xi, yj) i = 1,..., k j = 1,..., l	i = 1,..., k j = 1,..., l
(1)	(2)	(3)
Zróżnicowanie ogólne SSTx: wzory (21.1)
gdzie
Zróżnicowanie międzygrupowe SSBx: wzory (21.2)
gdzie
Zróżnicowanie wewnątrzgrupowe SSEx: wzory (21.3)
gdzie
Równość wariancyjna cechy zależnej mierzalnej X: wzory (21.4)
SSTx = SSBx + SSEx	SSTx = SSBx + SSEx	SSTx = SSBx + SSEx
Kwadrat wskaźnika korelacyjnego : wzory (21.5)
		.
Wskaźnik korelacyjny exy: wzory (21.6)
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego  ze współczynnikiem korelacji liniowej r: wzory (21.7) (dla  > 0, na podstawie wzorów (21.1), (21.5) i zestawu 17 wzorów)
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego  ze współczynnkiem korelacji liniowej r oraz ze współczynnikiem regresji liniowej : wzory (21.8) (dla  >0, na podstawie wzoru (21.7) i zestawu 18 wzorów)
Związek kwadratu wskaźnika korelacyjnego  ze współczynnikiem regresji liniowej ay: wzory (21.9) (dla  > 0, na podstawie wzoru (21.8) i zestawu 18 wzorów)

Wyżej przytoczono, za literaturą przedmiotu, następujące oznaczenia (por. np. J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa, 1998, rozdział 14: Analiza wariancji, s. 331):

SSTx jest angielskim skrótem określenia: ogólna suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej od średniej arytmetycznej ogólnej tej zmiennej.

SSBx jest angielskim skrótem określenia: suma kwadratów odchyleń średnich artymetycznych grupowych od średniej arytmetycznej ogólnej ważonych liczebnościami grup.

SSEx jest angielskim skrótem określenia: zsumowana dla poszczególnych grup suma kwadratów odchyleń wartości zmiennej zależnej z danej grupy od średniej arytmetycznej tej grupy.

Ważony i nieważony wskaźnik korelacyjny cechy zależnej X w formule wzoru najczęściej stosowanego do obliczeń

Dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej w rozkłady punktowe lub przedziałowe o wymiarach k x l (gdzie i = 1,..., k oraz j = 1,..., l) wzory wskaźników korelacyjnych z próby mierzących siłę wpływu cechy niezależnej Y na cechę zależną X są następujące:

(21.A)  gdzie lub (21.B)  gdzie

Dla danych indywidualnych xij dotyczących cechy zależnej X analogiczny wzór dla i = 1,..., nj oraz j = 1,..., l można zapisać następująco:

(21.C)  gdzie

Oba wzory znajdują uzasadnie w równości wariancyjnej, w której ogólne zróżnicowanie (dyspersja, zmienność, rozrzut, rozproszenie) zależnej mierzalnej cechy Y jest przedstawione jako suma zróżnicowania międzygrupowego i wewnątrzgrupowego cechy X.

Dla danych inywidualnych oraz dla danych pogrupowanych w tablicy korelacyjnej ogólny wzór wskaźnika korelacyjnego oparty na składnikach SSTx, SSBx i SSEx równości wariancyjnej jest taki sam:

(21.D)  gdzie .

Kwadrat wskaźnika korelacyjnego  umożliwia odpowiedź na pytanie, jaką część całkowitej zmienności cechy zależnej X można przypisać wpływowi cechy niezależnej Y. Wskaźnik korelacyjny exy informuje o sile tego wpływu.

Ważona (21.A) i (21.B) lub nieważona (21.C) odmiana wzoru (21.D) zastosowana do obliczeń prowadzi do różnic w wynikach na skutek błędu grupowania. Jest to problem wspólny dla wszystkich miar ważonych, omawiany szeroko w literaturze przedmiotu na przykładzie średniej arytmetycznej, wariancji, współczynnika korelacji liniowej. Nie spotkałam natomiast podobnych do wyżej przedstawionych rozważań dotyczących wskaźnika korelacyjnego.

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---