Dziś zajmiemy się funkcją charakterystyczną. Jak wiadomo, własności zmiennych losowych można również badać korzystając z przekształcenia Fouriera, co prowadzi do pojęcia funkcji charakterystycznej. Najważniejszym zastosowaniem tej funkcji jest badanie właściwości sum niezależnych zmiennych losowych i porównywania rozkładów. Funkcję
(zespoloną zmiennej rzeczywistej) określoną wzorem:

nazywamy funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X. Zatem dla zmiennej losowej skokowej o funkcji prawdopodobieństwa
:

natomiast dla zmiennej losowej ciągłej o gęstości f(x):

Powyższy szereg i całka są bezwzględnie zbieżne do 1, zatem funkcja charakterystyczna zawsze istnieje. Powiedzmy sobie teraz o własnościach funkcji charakterystycznej. Jest ich osiem, natomiast nas obowiązywać będzie tylko sześć następujących własności:

1. 
   

2. 
   jest funkcją jednostajnie ciągłą.

3. 
   

4. 
   
   

5. 
   

6. Funkcja charakterystyczna określa rozkład zmiennej losowej jednoznacznie.

Rozpatrzmy zatem nastepujący przykład. Wyznaczyć należy funkcję charakterystyczną rozkładu wykładniczego:

A zatem:
, gdzie
, a
to takzwane jądro przekształcenia całkowego.

Przejdźmy teraz do własności funkcji charakterystycznej. Wyróżniamy dwie. Pierwsza z nich mówi, że jeśli funkcja charakterystyczna
zmiennej losowej x jest bezwzględnie całkowalna, to X jest zmienną losową ciągłą i gęstość jej wyraża się wzorem:

Druga własnośc brzmi, że jeśli funkcja charakterystyczna
zmiennej losowej x jest okresowa o okresie 2 pi, to x jest zmienną losową skokową o wartościach całkowitych i jej funkcja prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

, gdzie k jest liczbą calkowitą.

Rozpatrzmy teraz taki przykład. Wyznaczymy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, której funkcja charakterystyczna ma postać
. Jest to funkcja okresowa o okresie
, a zatem x jest zmienną losową skokowąo wartościach całkowitych i jej funkcja prawdopodobieństwa wyrażać się będzie wzorem:

Zatem X ma rozkład jednopunktowy P(X = 3) = 1. Wówczas dla
:

	3
	1

A teraz pytanie. Jak by wyglądała tabela dla
. Odpowiedź jest prosta i analogiczna do poprzedniego przykładu. Tabela ta będzie wyglądała następująco:

	2	5
	1/3	2/3

Przejdźmy teraz do zagadnienia związanego ze zmienną losową dwuwymiarową (wielowymiarową). Jeśli
są zmiennymi losowymi w ustalonej przestrzeni probabilistycznej
, to ciąg X =
nazywamy zmienna losową n wymiarową (wektorem losowym). Zauważmy, ze w tym przypadku każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy ciąg liczb rzeczywistych
. W szczególności, gdy n = 2 mamy dwuwymiarową zmienna losową (X, Y). Zmienne losowe wielowymiarowe służą do modelowania takich doświadczeń losowych, których wyniki opisuje się układem wielu liczb rzeczywistych. Przykładowo: losowo wybranego człowieka możemy scharakteryzować trzema liczbami: wzrostem, waga i wiekiem. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej dwuzymiarowej określany jest symbolem:

i wzorem:

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych (X, Y) nazywamy rozkładami brzegowymi, a rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej (X, Y) nazywamy rozkładem łącznym. Dystrybuanta dla tej zmiennej określana jest wzorem:

i posiada następujące własności:

1. F jest niemalejąca względem każdego argumentu.

2. 
   

3. F jest lewostronnie ciągła względem każdego argumentu.

4. 
   

Jeśli F(x, y) jest dystrybuantą zmiennej losowej (X, Y), to funkcje:

sa dystrybuantami odpowiednich punktów brzegowych. Mówimy, że zmienne losowe X, Y sa niezależne, gdy dla dowolnych zbiorów borelowskich A, B na prostej mamy:

Zmienne losowe są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y rzeczywistych:

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma rozkład skokowy, jeśli zmienne losowe X, Y mają skończony, lub przeliczalny zbiór wartości. Rozkład zmiennej losowej (X, Y) okresla się za pomocą funkcji prawdopodobieństwa, lub dystrybuanty. Funkcję prawdopodobieństwa skokowej zmiennej losowej (X, Y)przyjmującej wartości
jest:

, przy czym:

Funckje prawdopodobieństwa skokowej zmiennej losowej (X, Y) przyjmującej wartości
można zapisać w postaci nastepującej tablicy:

gdzie:

Istnieje jednak pewna uwaga. A mianowicie:

Rozkładem brzegowym zmiennej losowej X nazywamy rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa:

Rozkładem brzegowym zmiennej losowej Y nazywamy rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa:

Jeśli zmienna losowa (X, Y) jest skokowa, to zmienne losowe X, Y sa niezależne, gdy dla każdej pary
, gdzie (i, j = 1, 2, …) spełniony jest warunek:

, który można też zapisać tak:

---