VI. badanie funkcji

6.3 Punkty przegięcia wykresu funkcji

Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji)

Punkt P₀(x₀,f(x₀)) nazywamy punktem przegięcia krzywej y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy:

istnieje styczna do krzywej y=f(x) w punkcie P0,	(6.3.1)
krzywa y=f(x) jest wypukła na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 i wklęsła na pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 lub odwrotnie.	(6.3.2)

Funkcje z punktami przegięcia (a - c) oraz funkcja bez punktu przegięcia (d)

VI. badanie funkcji

6.3 Punkty przegięcia wykresu funkcji

Twierdzenie

(Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli:

punkt P0(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej y=f(x),	(6.3.3)
istnieje f″(x0), to	(6.3.4)
f″(x0) = 0.	(6.3.5)

Uwaga: Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Twierdzenie

(I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli f″(x) zmienia znak w sąsiedztwie punktu x₀, to punkt P₀(x₀,f(x₀)) jest punktem przegięcia krzywej y=f(x).

Punkty przegięcia p.p. krzywej (wykresu funkcji)

VI. badanie funkcji

6.3 Punkty przegięcia wykresu funkcji

Twierdzenie (Pierwszy warunek wystarczający istnienia p.p)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

w punkcie x0 ma pochodną właściwą (niewłaściwą)	(6.3.6)
	(6.3.7)
to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.	(6.3.8)

Twierdzenie (Pierwszy warunek wystarczający istnienia p.p)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

w punkcie x0 ma pochodną właściwą (niewłaściwą)	(6.3.9)
	(6.3.10)
to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.	(6.3.11)

Twierdzenie (Drugi warunek wystarczający istnienia p.p)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

f′′(x0) = f^(3)(x0) =...= f^(n-1)(x0) = 0,	(6.3.12)
f^n(x0) ≠ 0,	(6.3.13)
n jest liczbą nieparzystą, gdzie n ≥ 3,	(6.3.14)
to (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia jej wykresu.	(6.3.15)

Uwaga:

Jeżeli założenie (6.3.14) ma postać „n jest liczbą parzystą”, to (x₀,f(x₀)) nie jest punktem przegięcia.

---