Ćwiczenie 1

Wybrane elementy statystyki matematycznej

1. Zmienna losowa i jej rozkład

• Sprawdź, czy zmienna zadana w poniższej tabeli jest zmienną losową?

	1	2	3	4	5	6

Jeśli jest, wyznacz jej wartość oczekiwaną i wariancję.

• Dla jakich wartości
  i
  funkcja
  , gdzie
  jest funkcją gęstości rozkładu jednostajnego na przedziale
  ? Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o takim rozkładzie.

• Niech
  . Załóż, że
  i
  . Posługując się tablicą rozkładu normalnego wyznacz
  ,
  oraz
  .

• Niech
  ,
  . Wiedząc, że
  dla
  (0,05) wyznacz takie
  , dla których
  .

2. Przedziały ufności

• Zbuduj 95% przedział ufności dla średniej w populacji wiedząc, że średnia z próby i wariancja z próby wynoszą odpowiednio 5 i 16, zaś sama próba liczy 25 elementów. Zinterpretuj uzyskany wynik.

• Jak zmieni się Twoja odpowiedź, jeśli populacja liczy tylko
  elementów?

• Zbuduj 95% przedział ufności dla wariancji w populacji wiedząc, że wariancja z próby 100 elementowej wynosi 5.

3. Weryfikacja hipotez statystycznych

• Niech
  . Wyznacz obszary przyjęcia i odrzucenia
  dla układu hipotez: (a)
  ,
  ; (b)
  ,
  ; (c)
  ,
  , weryfikowanych na podstawie próby o liczebności
  elementów. Za poziom istotności przyjmij
  . Jak zmienią się obszary przyjęcia i odrzucenia
  dla układu hipotez (a)-(c), jeżeli liczebność populacji wynosi
  elementów? Jaka będzie Twoja decyzja, gdy okaże się, że średnia z próby i wariancja z próby wynoszą odpowiednio 2,4 i 3,6?

• Niech
  . Z populacji tej pobrałeś (pobrałaś) próbę o liczebności
  elementów, na podstawie której oszacowałeś (oszacowałaś) średnią z próby i wariancję z próby otrzymując odpowiednio
  i
  . Zweryfikuj układy hipotez: (a)
  ,
  ; (b)
  ,
  ; (c)
  ,
  . Za poziom istotności przyjmij
  (
  )

• Niech
  . Wyznacz obszary przyjęcia i odrzucenia
  dla układu hipotez: (a)
  ,
  oraz (b)
  ,
  , weryfikowanych na podstawie próby o liczebności
  elementów. Za poziom istotności przyjmij
  . Jaka będzie Twoja decyzja, gdy okaże się, że wariancja z próby wynosi 3,6?

• Niech
  . Z populacji tej pobrałeś (pobrałaś) próbę o liczebności
  elementów, na podstawie której oszacowałeś (oszacowałaś) wariancję z próby otrzymując
  . Zweryfikuj układy hipotez: (a)
  ,
  oraz (b)
  ,
  . Za poziom istotności przyjmij
  (
  ).