Próbkowanie Sygnałów

Próbkowanie polega na pobieraniu wartości x_n sygnału w pewnych odstępach. Zazwyczaj odstępy są stałe. Oznaczając je przez T_s otrzymuje się

Przedział [t₀, t₀+nT_s] stanowi okno czasowe, w którym pobierane są próbki. Praktyczna realizacja próbkowania polega na pobieraniu wąskich impulsów o szerokości Δ i amplitudzie x_n.

Twierdzenie (o próbkowaniu)

Jeżeli x(t) jest sygnałem, którego widmo X(ω) spełnia warunek X(ω)=0 dla |ω|≥ω_m, to zbiór próbek {x(nT_s)} tego sygnału odległych od siebie o stały przedział T_s<π/ω_m, jednoznacznie określa sygnał x(t), mianowicie

Jest to szereg Shannona. W literaturze rosyjskiej nazywany szeregiem Kotielnikowa. Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o uciętym widmie.

Dowód

Sygnał jest teoretycznie próbkowany punktowo ciągiem impulsów Diraca δ_Ts(t). Sygnał spróbkowany ma postać x(t)⋅δ_Ts(t). Widmo X_s(ω) sygnału spróbkowanego jest równe

Filtrując widmo sygnału idealnym filtrem dolnoprzepustowym o transmitancji H(ω)=Π(ω/ω_s), gdzie ω_m<ω_s/2<ω_s-ω_m otrzymujemy sygnał o widmie X(ω) a więc sygnał x(t).

Interpretacja

Minimalna częstotliwość próbkowania, odpowiadająca przedziałowi T_s=π/ω_m , nazywana jest częstotliwością Nyquista f_N =2 f_m=ω_m/π . Jest ona dwa razy większa odgórnej częstotliwości granicznej f_m sygnału x(t).

Widmo sygnału spróbkowanego x_s(t) jest wielokrotnym powieleniem widma sygnału x(t) w odstępach równych częstotliwości próbkowania f_s .

Przykład

Człowiek nie słyszy sygnałów akustycznych o częstotliwościach powyżej 20kHz. Dlatego, po odfiltrowaniu wyższych częstotliwości, sygnał taki można próbkować z częstotliwością nie mniejszą niż f_N=40kHz, a zatem w odstępach nie większych niż T=25μs. Można oczywiście zastosować większą częstotliwość próbkowania, ale zwiększa się wówczas ilość próbek i miejsce potrzebne na ich zapisanie. Na CD-ROM stosuje się częstotliwość 44,1kHz.

Szereg Shannona

Funkcje {Sa[π(t/T_s-n)]} stanowią dla całkowitego n∋(-∞,∞) zbiór zupełny funkcji wzajemnie ortogonalnych, czyli stanowią bazę. Współczynniki szeregu są wartościami sygnału w punktach odległych o T_s, czyli próbkami x_n sygnału x(t). Szereg ten jest szeregiem interpolacyjnym, gdyż można obliczyć wartości funkcji x(t) w punktach pośrednich pomiędzy kolejnymi wartościami x_n.

Czas trwania sygnału a szerokość widma

W praktyce sygnał możemy próbkować jedynie w skończonym przedziale czasu, a więc liczba próbek jest skończona. Sygnały impulsowe, różne od zera tylko w skończonym przedziale czasu mają widma nieskończone. Nie spełniają one założeń twierdzenia o próbkowaniu. W rzeczywistości próbkujemy je i odtwarzamy w przybliżeniu. Można pokazać, że istnieje dla szerokiej klasy sygnałów zależność między czasem trwania ΔT określonym jako

a szerokością widma określoną następująco

gdzie t_c i ω_c są odciętymi środków ciężkości kwadratów modułów |x(t)|² i |X(ω)|². Mianowicie

Nierówność ta zwana jest zasadą nieoznaczoności, gdyż podobna jest do zasady Heisenberga twórcy mechaniki kwantowej.

Odtwarzanie sygnału z próbek

Sumy częściowe szeregu Shannona są bardzo niedogodne do odtwarzania sygnału. Dlatego postępuje się inaczej. Prostą metodą jest zastosowanie układu podtrzymującego - układu całkującego RC.

Stała czasu układu τ =RC oraz szerokość impulsów musi być dobrana tak, aby kondensator zdążył się naładować do napięcia równego wartości próbki i z drugiej strony zdążył się rozładowywać, gdy wartość próbek maleje. Dlatego stosuje się czasem bardziej skomplikowane układy dające rezultat jak na rysunku.

Błędy próbkowania

1. Aliasing

Jest to nakładanie się widm powielanych spowodowane zbyt małą częstotliwością próbkowania

2. Jitter

Są to drobne przesunięcia (drżenie) punktów próbkowania w stosunku do położeń równomiernych 2πn/T_s.

3. Kwantowanie

Wartości próbek są zaokrąglane do jednej z wartości z wcześniej ustalonego zbioru {q_n} w celu zapisu cyfrowego. Różnica rzeczywistych wartości x_n i wartości skwantowanych q_n stanowi tzw. szum kwantowania.

4. Ucięcie sygnału

Nie bierzemy wszystkich próbek sygnału a tylko z ograniczonego okna czasowego.

SYSE_Folie Bohdan Butkiewicz

SYS7_Probkow.doc 3

---