Zadania z logiki

I. Określić stosunek między zakresami nazw:

1. Warszawa, miasto, miasto wojewódzkie, ulica

2. Wisła, rzeka, jezioro, roślina wodna

3. pojazd o napędzie elektrycznym, tramwaj, pantograf, lokomotywa spalinowa

4. człowiek, Polak, urzędnik, ekonomista

5. prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb

6. roślina wodna, drzewo, brzoza, roślina

7. ssak, kręgowiec, zwierzę, zwierzę żyjące w lesie

8. pojazd o napędzie benzynowym, samochód, samochód osobowy, silnik

9. Europa, Polska, miasto, Warszawa

II. Sprawdzić, czy zachodzi wynikanie logiczne w logice nazw:

1. Żaden polityk nie jest przestępcą ze zbioru {Żaden przestępca nie jest politykiem}

2. Żaden prawnik nie jest urzędnikiem ze zbioru {Każdy prawnik ma wyższe wykształcenie,

Ktokolwiek ma wyższe wykształcenie nie jest urzędnikiem}

3. Niektórzy materialiści są racjonalistami ze zbioru {Niektórzy filozofowie są materialistami, Niektórzy filozofowie są racjonalistami}

4. Niektóre drapieżniki nie są ssakami ze zbioru {Żaden ssak nie jest rybą, Niektóre ryby są drapieżnikami}

5. SeP ze zbioru formuł {MeP, SaM}

6. SiP ze zbioru formuł {MaP, SiM}

7. SoP ze zbioru formuł {MeP, SiM}

8. SiP ze zbioru formuł {MaP, MaS}

9. SoP ze zbioru formuł {PaM, SoM}

III. Czy następujący zbiór formuł jest sprzeczny w logice nazw? Odpowiedź uzasadnić.

1. {SiP, MaS, PoM}

2. {SiP, PiS}

3. {SiP, PeS}

4. {SaP, MaS, PoM}

5. {SoP, MaS, PoM}

6. {PoS, SaP}

7. {SoP, SaP}

8. {SeP, MaS, PoM}

9. {SeP, PeS}

IV. Określić przy użyciu wskaźników, do jakich kategorii syntaktycznych należą wyrażenia proste występujące w następującym zdaniu:

1. Jeżeli nieprawda, że pada śnieg i niebo jest pochmurne, to słońce świeci jasno i pogodnie

2. Mądry Jan bardzo lubi logikę i interesuje się logicznymi paradoksami

3. Jeżeli jest konieczne, że Ziemia szybko obiega Słońce, to nie jest możliwe, że nasza planeta porusza się ruchem prostoliniowym

4. Jan uczy się logiki wtedy i tylko wtedy, gdy interesuje się logiką i posiada wolny czas

5. Mądry Jan bardzo lubi logikę i interesuje się logiką

6. Głupi pies bardzo lubi kota wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest prawdą, że kot nienawidzi psa

7. Nieprawda, że słońce jasno świeci wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz

8. Prawnik posiada wiedzę prawniczą i zajmuje wysoką pozycję w hierarchii społecznej

9. Jeżeli dobry człowiek kocha przyrodę, to lubi dzikie zwierzęta

V..

1. Wyrazić spójnik „ani nie ..., ani nie ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

(\)

2. Wyrazić spójnik „dokładnie jedno z dwojga: ..., ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

(÷)

3. Wyrazić spójnik „co najwyżej jedno z dwojga: ..., ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

(/)

4. Wyrazić spójnik „co najmniej jedno z dwojga: ..., ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

(˅)

5. Wyrazić jednoargumentowy spójnik falsum przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

6. Wyrazić jednoargumentowy spójnik verum przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

7. Wyrazić spójnik koniunkcji przy użyciu wyłącznie spójników negacji i alternatywy

8. Wyrazić spójnik alternatywy przy użyciu wyłącznie spójników negacji i koniunkcji

9. Wyrazić spójnik alternatywy przy użyciu wyłącznie spójników negacji i implikacji

VI. Czy następująca formuła jest tautologią klasycznej logiki zdaniowej. Odpowiedź uzasadnić.

1. ((p → q) ∨ (p → r)) → (p → (q ∨ r))

2. (p → (q ∧ r)) → ((p → q) ∧ (p → r))

3. ((p → r) ∨ (q → r)) → ((p ∧ q) → r)

4. ((p ∨ q) → r) → ((p → r) ∧ (q → r))

5. (p → (q ∨ r)) → ((p → q) ∨ (p → r))

6. ((p → q) ∧ (p → r)) → (p → (q ∧ r))

7. ((p ∧ q) → r) → ((p → r) ∨ (q → r))

8. ((p → r) ∧ (q → r)) → ((p ∨ q) → r)

9. ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)

VII. Czy formuła wynika ze zbioru formuł? Odpowiedź uzasadnić.

1. r ze zbioru {p ∨ ¬q, p → r, r → q}

2. ¬r ze zbioru {p → q, r → p, r → ¬q}

3. r ∨ s ze zbioru {¬p → q, q → r, p → s}----8

4. ¬p ze zbioru {(p ∧ q) → r, ¬r ∧q}

5. ¬r ze zbioru {p, (q ∧ p) → r, ¬q}

6. p ze zbioru {p → q, ¬q → r, ¬r}

7. r ze zbioru {¬p → q, p → r, q → r}

8. r ze zbioru {¬p → (q ∧ r), q, p → r}

9. ¬r ze zbioru {p → q, r → p, r → ¬q}

VIII. Czy następujący zbiór formuł jest sprzeczny? Odpowiedź uzasadnić.

1. {p ∨ ¬q, r → q, ¬(s ∧ ¬r), s ∧ ¬p}

zbiór formuł jest sprzeczny

2. {¬(p → q), r ∨ s, r → ¬p, s → q}

Zbiór formuł jest sprzeczny

3. {¬(¬p ∨ q), q ∨ ¬r, p → r}

4. {p → q, ¬r ↔ q, p ∧ r}

5. 
   {p → q, r → p, r → ¬q}

Zbiór formuł nie jest sprzeczny

6. 
   {p ∧ ¬r, p → q, q → r}

Zbiór formuł jest sprzeczny

7. 
   {p → q, q → ¬r, s → r, p ∧ s}

Zbiór formuł jest sprzeczny

8. 
   {p ↔ ¬q, q ∨ ¬r, r → p}

Zbiór formuł jest sprzeczny

9. 
   {p ∧ ¬q, q ∨ ¬r, r → ¬p}

Zbiór formuł jest niesprzeczny

IX. Napisać schemat w języku kwantyfikatorowym dla zdania:

1. Każdy matematyk jest uczniem pewnego matematyka

„Dla każdego matematyka istnieje taki (przynajmniej jeden) matematyk, dla którego on jest uczniem”

x - matematyk

y - matematyk

M(x) - x jest matematykiem

K(y) - y jest matematykiem

U(x,y) - x jest uczniem y

∀(x)[M(x) →∃y(K(y) ∧U(x,y))]

“Dla każdego x, jeżeli x jest matematykiem, to istnieje y, że y jest matematykiem i x jest uczniem y”

• Duży (ogólny) kwantyfikator bo w zdaniu chodzi o każdego matematyka

• Implikacja bo pobliskim kwantyfikatorem (z lewej strony) był duży kwantyfikator

• Mały kwantyfikator uwzględniamy istnienie kolejnej nazwy

• Koniunkcja bo wyznacza to leżący po lewej stronie mały kwantyfikator

2. Pewien matematyk nie jest uczniem żadnego matematyka

„Istnieje taki matematyk, że nie istnieje inny (przynajmniej jeden) matematyk, którego on jest uczniem”

x - matematyk

y - matematyk

M(x) - x jest matematykiem

K(y) - y jest matematykiem

U(x,y) - x jest uczniem y

∃x[M(x) ∧∼∃y(K(y) ∧U(x,y)]

“Istnieje taki x, że x jest matematykiem I nie istnieje taki y, że y jest matematykiem i x jest uczniem y”

• Mały kwantyfikator bo chodzi o jednego matematyka

• Koniunkcja bo najbliższy kwantyfikator (z lewej strony) był mały

• Mały kwantyfikator bo trzeba uwzględnić nie istnienie nawet jednego matematyka

• Koniunkcja bo wyznacza to leżący po lewej stronie mały kwantyfikator

3. Pewien matematyk nie ma uczniów wśród matematyków

„Istnieje taki matematyk, że każdy matematyk nie jest jego uczniem”

x - matematyk

y - matematyk

M(x) - x jest matematykiem

K(y) - y jest matematykiem

U(x,y) - x jest uczniem y

∃x[M(x) ∧∀y(K(y) → ∼U(x,y)]

„Istnieje taki x, że x jest matematykiem i dla każdego y jeżeli y jest matematykiem to y nie jest uczniem x”

• Mały kwantyfikator bo chodzi o jednego matematyka

• Koniunkcja bo najbliższy kwantyfikator był mały

• Duży kwantyfikator bo uwzględniamy wszystkich matematyków

• Implikacja bo wyznacza to leżący po lewej stronie duży kwantyfikator

4. Istnieje książka, którą przeczytali wszyscy

„Każdy człowiek przeczytał książkę”

x - człowiek

y- książka

C(x) - x jest człowiekiem

K(y) - y jest książką

P(x,y) - x przeczytał y

∃x [C(x) ∧∀y (K(y) →P(x,y)]

„Istnieje taki x, jeżeli x jest człowiekiem i dla każdego y jeżeli y jest książką to x przeczytał y”

5. Istnieje ktoś, kto ma przyjaciela

„Istnieje pewien człowiek, który ma przyjaciół”

x - człowiek

y - człowiek

C(x) - x jest człowiekiem

K(y) - y jest człowiekiem

P(x,y) - x jest przyjacielem y

∃x[C(x) ∧∃y(K(y) ∧P(x,y)]

„Istnieje taki x, że x jest człowiekiem, to istnieje taki y, że y jest człowiekiem i x jest przyjacielem y”

6. Każdy przeczytał jakąś książkę

„Każdy człowiek przeczytał (przynajmniej jedną) książkę”

x - człowiek

y - książka

C(x) - x jest człowiekiem

K(y) - y jest książką

P(x,y) - x przeczytał y

∀x[C(x) →∃x(K(y) ∧P(x,y)]

„Dla każdego x, jeżeli x jest człowiekiem to istnieje y, że y jest książką i x przeczytał y”

7. Nikt nie przeczytał wszystkich książek

„Żaden człowiek nie przeczytał każdej książki”

x - człowiek

y - książka

C(x) - x jest człowiekiem

K(y) - y jest książką

P(x,y) - x przeczytał y

∀x[C(x) →∀y(K(y) →∼ P(x,y)]

∀x[C(x) →∃y(K(y) ∧∼ P(x,y)]

„Dla każdego x jeżeli x jest człowiekiem, to każdy y jeżeli y jest książką to x nie przeczytał y”

8. Każdy jest przyjacielem wszystkich

„Każdy człowiek jest przyjacielem każdego człowieka”

x - człowiek

y - człowiek

C(x) - x jest człowiekiem

K(y) - y jest człowiekiem

P(x,y) - x jest przyjacielem y

∀x[C(x) →∀y(K(y) →P(x,y)]

„Dla każdego x, jeżeli x jest człowiekiem, to każdy y jeżeli y jest człowiekiem to x jest przyjacielem y”

9. Nikt nie jest niczyim przyjacielem

x - człowiek

y - człowiek

C(x) - x jest człowiekiem

K(y) - y jest człowiekiem

P(x,y) - x jest przyjacielem y

∼∃x[C(x) ∧∼∃y(K(y) ∧∼P(x,y)]

”Nie istnieje taki x, że x jest człowiekiem i nie istnieje taki y, że y jest człowiekiem i x nie jest przyjacielem y”

X. Czy następująca formuła jest tautologią klasycznej logiki kwantyfikatorów. Odpowiedź uzasadnić.

1. ∀x(Px ∧ Qx) → (∀xPx ∧ ∀xQx)

2. (∀xPx ∧ ∀xQx) → ∀x(Px ∧ Qx)

3. ∃x(Px ∧ Qx) → (∃xPx ∧ ∃xQx)

4. (∃xPx ∧ ∃xQx) → ∃x(Px ∧ Qx)

5. ∃x(Px ∨ Qx) → (∃xPx ∨ ∃xQx)

6. (∃xPx ∨ ∃xQx) → ∃x(Px ∨ Qx)

7. ∃x∀yP(x,y) → ∀y∃xP(x,y)

8. ∀y∃xP(x,y) → ∃x∀yP(x,y)

9. ∀x(Px → Qx) → (∃xPx → ∃xQx)

XI. Czy zdanie wynika ze zbioru zdań? Odpowiedź uzasadnić. Stosować logikę kwantyfikatorową

1. Żaden polityk nie jest przestępcą ze zbioru {Żaden przestępca nie jest politykiem}

1. J|=∀x(P(x) → ~R(x)) Żaden polityk nie jest przestępcą

2. J|=∀x(P(x) → R(x)) Każdy polityk jest przestępcą

3. J|=∃x (P(x) Istnieją politycy

J= (D, P*, R*)

4. J|=P(a) dla pewnego a z (3)

5. J|=P(a) → ~ R(a) z (1)

6. J|=P(a) → R(a) z (2) jest sprzeczne

7. J|= ~ R(a) z (4)(5)

8. J|= R(a) z (4)(6)

9. J|≠ R(a) z (7) NONSENS między wierszami (8) i (9)

2. Jan jest dobrego zdania o sobie samym ze zbioru {Każdy, o kim Jan jest dobrego zdania, jest dobrego zdania o Janie}

3. Niektórzy materialiści są racjonalistami ze zbioru {Niektórzy filozofowie są materialistami, Niektórzy filozofowie są racjonalistami}

4. Niektórzy ludzie lubią Jana ze zbioru {Niektórzy ludzie lubią każdego, kto jest o nich dobrego zdania, Jan jest dobrego zdania o każdym człowieku} zdania Janie i o kim Jan jest dobrego zdania}

j - Jan

L(x, y) - x lubi y

D(x,y) - y jest dobrego zdania o y

∃xL(x,j) Istnieje x że z lubi Jana

∀xD(j,x)

∃x∀y(D(y,x) → L(x,y)) Niektórzy ludzie lubią każdego, kto jest o nich dobrego zdania

J - (D, j* , D*, L*)

1. J|= ∀xD(j,x) założenie

2. J|=∃x∀y(D(y,x) → L(x,y)) założenie

J|=∃xL(x,j)

J|=L(a,j)

3. J|= ∀y(D(y,a) → L(a,y)) dla pewnego a z (2)

4. J|= D(j,a) → L(a,y) z (3)

5. J|= D(j,a) z (1)

6. J|= L(a,j) z (4)(5)

7. J|=∃xL(x,j) z (6) WYNIKA jest dedukcyjne

5. Jan jest dobrego zdania o sobie samym ze zbioru {Istnieje ktoś, kto jest dobrego

6. Niektórzy filozofowie są uczonymi ze zbioru {Każdy uczony jest racjonalistą, Niektórzy filozofowie nie są racjonalistami}

J|= ∀x(U(x) → R(x)) każdy uczony jest racjonalistą

J|=∃x(F(x) ∧~R(x)) Niektórzy filozofowie nie są racjonalistami

J|≠∃x(F(x) ∧U(x)) niektórzy filozofowie są uczonymi

J=(D, F*, U*, R*)

D- zbiór wszystkich ludzi

F* - zbiór dzieci

R* - zbiór osób pełnoletnich

U* - zbiór prawników NIE WYNIKA

7. Niektóre drapieżniki nie są ssakami ze zbioru {Żaden ssak nie jest rybą, Niektóre ryby są drapieżnikami}

∀x(D(x) ∧ ~S(x) Żaden ssak nie jest drapieżnikiem

∃x(R(x) ∧D(x) Niektóre ryby są drapieżnikami

8. ∀x∼P(x,x) ze zbioru {∀x∀y(P(x,y) → ∼ P(y,x))}

9. ∀x∀y(P(x,y) → ∼ P(y,x)) ze zbioru {∀x∼P(x,x), ∀x∀y∀z((P(x,y) ∧ P(y,z)) → P(x,z))}

XII. Czy następujący zbiór zdań jest sprzeczny? Odpowiedź uzasadnić.

1. {∀x∀y((P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y)), ∃x(P(x) ∧ Q(x)), ∀x(P(x) → ∼R(x,x))}

2. {∀x(P(x) → Q(x)), ∀x(Q(x) → ∃yR(x,y)), ∃xP(x), ∀x∀y ∼R(x,y)}

3. {Żadne zdanie nie wynika ze zdania, które mu przeczy, Każde zdanie przeczy jakiemuś zdaniu, Istnieją zdania, z których wynika każde zdanie}

4. {Niektórzy ludzie lubią każdego, kto jest o nich dobrego zdania, Jan jest dobrego zdania o każdym człowieku, Nikt nie lubi Jana}

5. {Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania i z których każde zdanie wynika, Jeśli jakieś zdanie wynika z każdego zdania, to jest ono prawdziwe, Jeśli z jakiegoś zdania wynika każde zdanie, to nie jest ono prawdziwe}

6. {Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania, Dla każdego zdania można podać takie, z którego ono nie wynika}

7. {Żaden polityk nie jest przestępcą, Każdy polityk jest przestępcą, Istnieją politycy}

1. J|=∀x(P(x) → ~R(x)) Żaden polityk nie jest przestępcą

2. J|=∀x(P(x) → R(x)) Każdy polityk jest przestępcą

3. J|=∃x (P(x) Istnieją politycy

J= (D, P*, R*)

4. J|=P(a) dla pewnego a z (3)

5. J|=P(a) → ~ R(a) z (1)

6. J|=P(a) → R(a) z (2) jest sprzeczne

7. J|= ~ R(a) z (4)(5)

8. J|= R(a) z (4)(6)

9. J|≠ R(a) z (7) NONSENS między wierszami (8) i (9)

8. {∀x∃yP(x,y), ∀y∃x ∼P(x,y)}

9. {∀x∀y(P(x,y) → P(y,x)), ∀x∀y((P(x,y) ∧ P(y,x)) → x = y), ∃x∃yP(x,y)}

Równoległobok

prostokąt

kwadrat

romb

---