20081216085701, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna


STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Przez zmienną losową rozumiemy zmienną, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych i to z określonym prawdopodobieństwem.

Zmienną losową nazywamy każdą funkcję mierzalną określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i przybierającą wartość ze zbioru liczb rzeczywistych.

Zmienne skokowe:

Rozkład prawdopodobieństwa dla tej zmiennej:

0x01 graphic

xi - punkty skokowe

pi - skoki

Dystrybuanta zmiennej losowej X:

F(x) = P(X<x)

Dystrybuanta zmiennej skokowej:

0x01 graphic

Parametry rozkładu zmiennej losowej:

- parametry informujące o rozrzucie zmiennej losowej (wariancja)

-parametry reprezentujące przeciętną (średnią) wielkość zmiennej losowej (najczęściej Nadzieja matematyczna - Wartość oczekiwana EX)

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu skokowego nazywamy liczbę E(X) określ. wzorem:

0x01 graphic

Wariancją zmiennej losowej typu skokowego nazywamy liczbę określoną wzorem:

0x01 graphic

lub

0x01 graphic

Pierwiastek kwadratowy z wariancji nosi nazwę odchylenia standardowego zm. losowej:

0x01 graphic

Zmienne ciągłe

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :

0x01 graphic

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową typu ciągłego wartości z przedziału (a,b):

0x01 graphic

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zm. los . typu ciągłego konkretnej wartości liczbowej:

0x01 graphic

Dystrybuanta dla zmiennej losowej typu ciągłego:

0x01 graphic

ze wzoru wynika zależność:

0x01 graphic

Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej:

0x01 graphic

Wariancja zmiennej losowej ciągłej:

0x01 graphic

Rozkład normalny (Gaussa - Laplace'a):

0x01 graphic

m = E(X)

0x01 graphic

e = 2,1718

Standaryzacja zmiennych losowych:

0x01 graphic

PODSTAWY TEORETYCZNE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Przedmiotem zainteresowań statystyki matem. są zasady i metody uogólniania wyników z próby losowej na całą populację generalną, z której ta próba została pobrana. Ten typ postępowania nosi nazwę wnioskowania statystycznego. W ramach wnioskowania statystycznego wyróżnia się dwa zasadnicze działy:

  1. estymację czyli szacowanie wartości parametrów lub postaci rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej, na podstawie rozkładu empirycznego uzyskanego dla próby

  2. weryfikację (testowanie) hipotez statystycznych, czyli sprawdzanie określonych przypuszczeń (założeń) wysuniętych w stosunku do parametrów (lub rozkładów) populacji generalnej na podstawie wyników z próby

Podstawowe rozkłady statystyk z próby:

Średnia arytmetyczna:

0x01 graphic

Wariancja z próby:

0x01 graphic

Rozkład średniej arytmetycznej z próby:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Średnia arytmetyczna z próby ma więc rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym 0x01 graphic
, co zapisujemy jako 0x01 graphic
0x01 graphic
. Wynika stąd że nadzieja matematyczna średniej arytmetycznej z próby jest równa wartości oczekiwanej badanej zmiennej w populacji.

Standaryzacja (przekształcona statystyka 0x01 graphic
):

0x01 graphic
, N(0,1)

Studentyzacja (statystyka t studenta) - stosujemy ją gdy nieznane jest odchylenie standardowe w populacji i występują małe próby:

0x01 graphic

gdzie S jest odchyleniem standardowym z próby:

0x01 graphic

Liczba stopni swobody jest jedynym parametrem rozkładu Studenta; jest ona równa liczbie niezależnych obserwacji określających statystykę t. Przyjmuje się że E(t)=0 i 0x01 graphic
, dla n >3.

Rozkład wariancji z próby:

0x01 graphic
, to przy wnioskowaniu o wariancji 0x01 graphic
w populacji posługujemy się wzorem:

0x01 graphic
*

Statystyka ta ma rozkład Chi - kwadrat o n-1 stopniach swobody.

W sposób bardziej ogólny rozkład 0x01 graphic
definiuje się jako rozkład statystyki:

0x01 graphic

Statystyka * ma wartość oczekiwaną równą n-1 i wariancję 2(n-1) czyli:

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Można też wyznaczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję statystyki 0x01 graphic
z próby pochodzącej z populacji o rozkładzie normalnym:

0x01 graphic

0x01 graphic

Porównywanie wariancji: (rozkład Sanecora):

0x01 graphic
, w liczniku zawsze większa wariancja!!!

0x01 graphic

0x01 graphic

Estymator Z parametru Q nazywamy nieobciążonym jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa szacowanemu parametrowi :

E(Z) = Q

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

0x01 graphic

0x01 graphic

lub

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
odczytujemy z tablic

0x01 graphic

0x01 graphic

Dla wariancji wynik do kwadratu

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Oszacowanie odsetka z uwzględnieniem błędu statystycznego d:

  1. gdy bazujemy na wynikach losowania:

0x01 graphic

  1. bez losowania wstępnego:
    0x01 graphic

Gdy nie mamy informacji ani o p ani o wskaźniku struktury 0x01 graphic
to w miejsce 0x01 graphic
wstawiamy 0,5.!!!!!

Statystyka matematyczna - Wzory

1

www.wkuwanko.pl



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Lista3, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna
Statystyka - podstawowe wzory 2, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna
Lista1 statystyka, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna
Lista4, Budownictwo Studia, Rok 2, Statystyka Matematyczna
Ad 3, Budownictwo Studia, Rok 2, Technologia Betonów i Zapraw
Wahadło matematyczne, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
5grpytania z budownictwa, Studia, Rok II, Zarys budownictwa
fizyka - sciagi z kinetyki i jadrowki, Budownictwo Studia, Rok 1, Fizyka
Egz2006, Budownictwo Studia, Rok 2, Mechanika Gruntów
betony-egzamin ;), Budownictwo Studia, Rok 2, Technologia Betonów i Zapraw
wahadlo matematyczne, budownictwo studia, fizyka, wahadło matematyczne
Project1, Budownictwo Studia, Rok 2, Technologia Betonów i Zapraw
Test na budownictwo, Studia, Rok II, Zarys budownictwa
na budownictwo, Studia, Rok II, Zarys budownictwa
rodzaje gruntów, Budownictwo Studia, Rok 2, Mechanika Gruntów
Ad 1, Budownictwo Studia, Rok 2, Technologia Betonów i Zapraw

więcej podobnych podstron