WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

BRYŁ METODĄ WAHADŁA TORSYJNEGO.

Cel Ćwiczenia:

Wyznaczanie momentów bezwładności bryły sztywnej względem różnych osi przechodzących przez środek masy bryły.

Teoria:

Moment bezwładności bryły względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy bryły zależy od kierunku tej osi. Zależność tę można przedstawić geometrycznie w sposób następujący.

Narysujemy pęk prostych przechodzących przez środek masy O i długości ,

gdzie: Ii - jest momentem bezwładności bryły względem osi pokrywających się z daną prostą.

Końce tych odcinków dla wszystkich prostych przechodzących przez punkt O utworzą powierzchnię zamkniętą - jest nią elipsa. Równanie kanoniczne tej elipsoidy ma postać:

gdzie: x, y, z - to współrzędne punktów na powierzchni elipsoidy w układzie współrzędnym, którego początek znajduje się w środku masy bryły (punkt O), a w kierunki osi są zgodne z kierunkami głównych osi bezwładności w bryle, a, b, c, to długości półosi elipsoidy równe:

gdzie: Ix, Iy, Iz są momentami bezwładności bryły względem osi głównych. Znając momenty bezwładności bryły względem osi głównych, z równania elipsoidy można obliczyć moment bezwładności tej bryły względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy. W tym celu należy napisać równanie prostej w kierunku wybranej osi i znaleźć współrzędne xp, yp, zp punktu P przebicia elipsoidy przez tę prostą. Współrzędne te spełniają jednocześnie równanie wybranej prostej i równanie elipsoidy. Długość odcinka R liczymy w zależności.

i jest on miarą momentu bezwładności bryły względem rozpatrywanej osi obrotu.

Moment bezwładności brył sztywnych względem osi przechodzących przez środek masy bryły wyznacza się z pomiarów okresów drgań wahadła torsyjnego, którego schemat przedstawia rysunek.

Wahadło torsyjne

Przedstawione powyżej wahadło jest początkowo przytrzymywane przez elektromagnes EM w położeniu wychylonym z równowagi o pewien kąt. Po włączeniu prądu płynącego przez elektromagnes, na skutek działania momentu sił sprężystych w skręconych drutach, wahadło będzie wykonywać drgania obrotowe. Układ elektroniczny automatycznie w chwili wyłączenia elektromagnesu mierzy czas trwania pomiaru i liczbę drgań wykonywanych przez wahadło w tym czasie.

Wyniki i obliczenia:

Bryłą Najmniejsza

F

m

Δm

α

Δα

Tśr

ΔTśr

tśr

Δtśr

I

ΔI

r

Δr

[N]

[kg]

[kg]

[^o]

[^o]

[s]

[s]

[s]

[s]

[kgm^2]10^3

[kgm^2]10^3

[m]

[M]

0,022

0,961

0,001

60

1

2,27920

0,00013

56,980

0,001

0,04823

0,00114

0,1

0,0007

Ponieważ bryła najmniejsza jest sześcianem foremnym, to moment bezwładności dla trzech różnych osi będą miały tę samą wartość , a więc

Ia = Ib = Ic

Do obliczenia momentu bezwładności posłużył mi wzór:

Obliczenia:

r₁=100 mm Δr₁=0

r₂=99 mm Δr₂=1

r₃=101 mm r_śr=100mm Δr₃=1

r=100mm*0,7mm

t₁=56,981 t_śr=56,980[s]

t₂=56,980

t₃=56,979 t=56,980*0,001[s]

T₁=2,27924 T_śr=2,27920[s]

T₂=2,27920 T=2,27920*0,00003[s]

T₃=2,27916

I=I_a=I_b=I_c

I_abc=0,00004823[kgm²]

I=0,0004823*0,00000114[kgm²]

Do wyznaczenia współrzędnych x, y, z, elipsoidy bryły korzystam ze wzoru:

x²I_a+y²I_b+z²I_c=1

Aby wyznaczyć współrzędne x elipsy przyrównujemy iloczyn y²I_b i z²I_c do zera i otrzymujemy równanie.

x²-I_a=1

Ponieważ bryła najmniejsza jest sześcianem foremnym więc moment Ia Ib Ic mają tę samą wartość więc współrzędne x, y, z, mają również tę samą wartość. Więc elipsoida tej bryły będzie okręgiem o promieniu r =144,9

Bryła średnia:

F

m

Δm

α

Δα

Tśr

ΔTśr

tśr

Δtśr

I

ΔI

r

Δr

[N]

[kg]

[kg]

[^o]

[^o]

[s]

[s]

[s]

[s]

[kgm^2]10^3

[kgm^2]10^3

[m]

[M]

0,022

1,846

0,001

60

1

2,655

0,01

66,333

0,3

0,06546

0,02

0,1

0,0007

F

m

Δm

α

Δα

Tśr

ΔTśr

tśr

Δtśr

I

ΔI

r

Δr

[N]

[kg]

[kg]

[^o]

[^o]

[s]

[s]

[s]

[s]

[kgm^2]10^3

[kgm^2]10^3

[m]

[M]

0,22

1,846

0,001

60

1

3,640

0,001

91,025

0,022

0,123

0,0029

0,1

0,0007

F

m

Δm

α

Δα

Tśr

ΔTśr

tśr

Δtśr

I

ΔI

r

Δr

[N]

[kg]

[kg]

[^o]

[^o]

[s]

[s]

[s]

[s]

[kgm^2]10^3

[kgm^2]10^3

[m]

[M]

0,22

1,846

0,001

60

1

3,417

0,003

85,459

0,067

0,108

0,0027

0,1

0,0007

Współrzędne elipsoidy dla bryły średniej liczymy z zależności.

x²Ia=1 y²Ib=1 z²Ic=1

x=90,9

y=125

z=96,2

Bryła największa

Ponieważ bryła największa ma w podstawie kwadrat, to wynika z tego iż ma dwa jednakowe wymiary na trzy możliwe, więc momenty I_b­, I_c będą miały jednakową wartość:

I_b=I_c

F

m

Δm

α

Δα

Tśr

ΔTśr

tśr

Δtśr

I

ΔI

r

Δr

[N]

[kg]

[kg]

[^o]

[^o]

[s]

[s]

[s]

[s]

[kgm^2]10^3

[kgm^2]10^3

[m]

[M]

0,22

1,924

0,001

60

1

2,658

0,001

66,465

0,01

0,0656

0,0016

0,1

0,0007

F

m

Δm

α

Δα

Tśr

ΔTśr

tśr

Δtśr

I

ΔI

r

Δr

[N]

[kg]

[kg]

[^o]

[^o]

[s]

[s]

[s]

[s]

[kgm^2]10^3

[kgm^2]10^3

[m]

[M]

0,22

1,924

0,001

60

1

3,581

0,001

89,542

0,009

0,1191

0,0028

0,1

0,0007

Współrzędne elipsoidy dla bryły największej liczymy z zależności:

x²I_a=1 y²I_b=1 z²I_c=1

Ponieważ I_b=I_c to współrzędne y, z są takie same y=z

6

---