Konrad Forysiak Ogrodnictwo Grupa II Zespół 10

7.III.2006

Ćwiczenie 16

Sprawdzenie Prawa Hooke'a

2r	S	l0	m	F	Δl	E
m	m^2	m	kg	N	m	N/ m^2
0,51	2,0*10^-07	1,013	0,100	0,981	0,09
0,48					0,300		2,94	0,20
0,53					0,500		4,90	0,28
0,47					1,000		9,81	0,51
0,54					1,500		14,7	0,66
					2,500		24,5	1,33
					3,500		34,3	1,66
					4,500		44,1	1,98
					5,000		49,0	2,12

Znaczenie symboli:

2r - średnica drutu

S - pole przekroju

l₀ - długość początkowa drutu

m - masa obciążenia drutu

F - siła działająca na drut

Δl - wydłużenie drutu

E - moduł Younga

Wzór roboczy:

Stałe:

Moduł Younga obliczamy na podstawie zależności
, którą można przekształcić do

, gdzie a jest współczynnikiem nachylenia prostoliniowego fragmentu wykresu

1. Siłę obliczamy ze wzoru F=mg, gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.

2. Do obliczenia pola przekroju S użyjemy wartości średniej średnicy drutu, korzystając z wzoru:

, gdzie d oznacza średnią arytmetyczną z 5 pomiarów średnicy drutu.

Wartość średnia średnicy drutu wynosi d = 0,51
m.

Pole przekroju S wynosi:

3. Wyznaczenie współczynnika nachylenia a, wykresu F=f(Δl).

Współczynnikiem a w tym przypadku jest stosunek przyrostu siły (
) do przyrostu długości drutu (
).

Przyjmuję
i
oraz odpowiadające im
i
.

4. Obliczenie modułu Younga.

Moduł Younga dla a =
wynosi:

5. Rachunek Jednostek:

Obliczenie współczynnika a metodą regresji liniowej.

Zakładając istnienie liniowej zależności
między pewnymi wartościami x i y, równanie prostej przybliżającej tą zależność można obliczyć stosując metodę regresji liniowej opartą na rachunku prawdopodobieństwa (metodzie najmniejszych kwadratów). Mianowicie:

,

, gdzie

.

Wyznaczone wartości a i b są obarczone błędami
i
, których wartości wynoszą odpowiednio:

,
,

Obliczenia:

Dyskusja błędów:

1. 
   [m]

2. Błąd
   obliczam ze wzoru:

,

Gdzie

3. Maksymalny błąd
   obliczamy metodą Studenta - Fishera.

Wyniki pomiarów 2r	Wartość średnia	Odchylenie standardowe średniej	Współczynnik Studenta - Fishera (dla n=5, )	Błąd maksymalny
0,51	0,51	0,014	1,2	0,02
0,48
0,53
0,47
0,54

Do obliczenia odchylnia standardowego średniej użyłem wzoru:

Błąd
zaokrągliłem do 0,02
. Mogłem tak zrobić ponieważ operacja ta, nie zwiększyła błędu o więcej niż 10%.

4. Błąd maksymalny modułu Younga E obliczam metodą różniczki zupełnej

Moduł Younga obliczony przy użyciu wartości a uzyskanej drogą regresji liniowej wynosi:

6. Rachunek Jednostek:

Błąd
zaokrągliłem do
. Mogłem tak zrobić ponieważ operacja ta, nie zwiększyła błędu o więcej niż 10%.

Błąd maksymalny E wynosi . Natomiast błąd procentowy

Ostateczny wynik, przy obliczaniu którego korzystaliśmy ze współczynnika a wyznaczonego metodą regresji liniowej:

WNIOSKI

1. Wyniki oraz wykres opracowany na ich podstawie nie są specjalnie dokładne. Może to być spowodowane np. zmęczeniem materiału, bądź nierównomierną średnicą drutu, co mogło wpłynąć na charakterystykę wydłużania drutu w miarę zwiększania obciążenia. Na wynik wpływ mogła też mieć niedokładność wycechowania odważników.

2. Różnicę pomiędzy modułami Younga obliczonymi dwoma różnymi metodami można wyjaśnić mniejszą dokładnością metody, w której odczytywano współczynnik a z wykresu.

3. Na podstawie otrzymanych wyników można pokusić się o zidentyfikowanie materiału z którego zrobiony jest drut. Może być to brąz lub mosiądz, których moduły Younga zawierają się pomiędzy 10
   
   a 12,5
   
   .

---