Temat: Liniowy oscylator harmoniczny

1. Hamiltonian liniowego oscylatora harmonicznego

Rozpatrzymy drgająca cząstkę o masie m. Przyjmijmy, że jej ruch odbywa się wzdłuż prostej, np. osi x. Niech położeniem równowagi cząstki będzie punkt
. Siła
działająca na tę cząstkę jest proporcjonalna do wychylenia x z położenia równowagi i skierowana jest w stronę położenia równowagi, zatem odpowiedni operator ma postać (tutaj
jest operatorem położenia , a nie wektorem jednostkowym)

. (17.1)

Tej sile odpowiada potencjał

. (17.2)

Współczynnik k nazywa się stałą siłową, ma on wymiar energia/(długość)². Hamiltonian
harmonicznego oscylatora liniowego jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej

. (17.3a)

Operatory położenia i pędu,
i
, spełniają kanoniczne reguły komutacji

. (17.4)

Wprowadzimy częstość (kołową) drgań ω oscylatora

, (17.5)

Zbadajmy wymiar fizyczny ω:
. Wyrazimy w hamiltonianie stałą siłową k przez częstość

. (17.3b)

Ze stałych
można skonstruować dwie wielkości mianowane - jedna z nich,
, ma wymiar długości, natomiast druga,
, - wymiar pędu

. (17.5)

2. Operatory podnoszenia i opuszczania operator liczby wzbudzeń

Wprowadzimy dwa bezwymiarowe operatory
(por. np. [1])

. (17.6a)

Operator
nazywany jest operatorem podnoszenia, zaś operator
­ opuszczania (wzbu­dzeń). Własność hermitowskości operatorów
nakłada na operatory
warunki

. (17.7a,b)

Z reguł komutacji (17.4) wynikają reguły komutacji , które spełniają operatory położenia i pędu

. (17.7c)

Wprowadzimy nowy operator, który nazwiemy operatorem liczby wzbudzeń

. (17.8a)

Operator liczby wzbudzeń jest hermitowski. By udowodnić tę własność należy wykorzystać własności (17.7a,b)

. (17.8b)

3. Widmo energii liniowego oscylatora harmonicznego

To oznacza, że wartości własne n operatora
, są liczbami rzeczywistymi. Hamiltonian można wyrazić przez operator

. (17.4b)

To oznacza, że aby ustalić widmo energii hamiltonianu wystarczy określić widmo operatora liczby wzbudzeń
. Niech
będzie unormowanym do jedności
wektorem własnym
odpowiadającym wartości własnej n

. (17.9a)

Wartości własne hamiltonianu także można wyrazić przez rzeczywiste liczby n

. (17.9b)

Wprowadzimy wektory

(17.10a,b)

i zbadamy element macierzowy
. Mamy

. (17.11)

To oznacza, że wartości własne n operatora liczby wzbudzeń są nieujemne

. (17.12)

Rozpatrzymy operator

. (17.13a)

Podobnie

. (17.13b)

Rozpatrzymy wektor
. Wykorzystamy relację (17.13a)

.

Jak widać wektor
należy do wartości własnej
. Obliczymy jego normę

.

Stąd

. (17.14a)

Stosując tę sama receptę nie trudno znaleźć wektor

. (17.14b)

To oznacza, że wartościami własnymi operatora liczby wzbudzeń
są nieujemne liczby

.

Działając wielokrotnie operatorem opuszczania
na dowolny wektor stanu
dojdziemy do wektora
gdzie
. Lecz wektor
ma ujemną wartość własną

,

co jak wiemy nie jest możliwe (por. (17.12)). To oznacza, że najmniejszą dopuszczalną wartością liczby wzbudzeń n jest 0, natomiast ujemne wartości n są wykluczone jeżeli

. (17.14c)

Wtedy
. Wektor stanu
jest unormowany do jedności

(17.15)

Rozpatrzymy następnie wektor
. Wykorzystamy związek (17.13b)

. (17.16a)

Jak widać wektor
odpowiada wartości własnej
. Nietrudno ustalić jego normę

.

To oznacza, że

. (17.16b)

Budowę wektorów
rozpoczynamy od wektora
:

Jak widać unormowany wektor
ma postać

. (17.17)

Teraz możemy już podać postać widma energii liniowego oscylatora harmonicznego. Ze wzoru (17.4b)wynika, że

. (17.18)

Jak widać jest to ograniczone z dołu przez wartość
widmo dyskretne. Rozpatrzymy różnicę energii dwóch dowolnych sąsiednich poziomów energii

,

widmo harmonicznego oscylatora liniowego jest równoodległe (17.ekwidystantne).

4. Funkcje falowe stanu podstawowego i stanów wzbudzonych liniowego oscylatora har­monicznego

Rozpatrzymy element macierzowy
. Z równania (17.14c) wynika, że
. Z drugiej strony operator opuszczania można wyrazić przez operator położenia i pędu

.

Zatem

. (17.19a)

Zbiór elementów macierzowych
tworzy funkcję falową stanu podstawowego
. Jak widać Tożsamość
(17.i (17.19a)) prowadzi do równania różniczkowego zwyczajnego pozwalającego określić funkcję

. (17.19b)

Jego rozwiązaniem, spełniającym warunki
, jest

.

Stałą A wyznaczymy z warunku unormowania

.

Po obliczeniu całki z funkcją Gaussa znajdujemy

,

a więc

. (17.20a)

Aby znaleźć funkcje falowe stanów wzbudzonych należy rozpatrzyć elementy macierzowe typu
. Rozpatrzymy pierwszy z nich ­

.

Zbiór amplitud
tworzy funkcję falową pierwszego stanu wzbudzonego
. Jak widać jej znalezienie związane jest z różniczkowaniem funkcji stanu podstawowego
. Oto wynik

, (17.20b)

gdzie
jest wielomianem Hermite'a dla wskaźnika 1. Rozpatrzenie elementów macierzowych pozostałych potęg operatora podnoszenia prowadzą do funkcji falowych wszystkich stanów wzbudzonych oscylatora liniowego

, (17.20c)

gdzie
jest wielomianem Hermite'a dla wskaźnika n, np.

.

Zauważymy, że funkcję wykładniczą obecną we wszystkich funkcjach falowych oscylatora harmonicznego można zapisać w postaci

,

a więc funkcje te falowe proporcjonalne są do funkcji Gaussa o szerokości połówkowej
. Aby wyjaśnić ten wynik rozpatrzymy w stanie podstawowym średnie wartości operatora położenia i pędu oraz ich kwadratów. Zaczniemy od
:

. (17.21a)

Podobnie

. (17.21b)

Zajmiemy się teraz średnią wartością kwadratu operatora wychylenia
. Mamy

.

Dwa pierwsze wyrazy w nawiasie kwadratowym znikają ze względu na własność (17.14c) oraz ortogonalność wektorów stanu
i
. Ponieważ spełniona jest relacja (17.7b), a wartością własną operatora liczby wzbudzeń
odpowiadająca wektorowi stanu jest 0, więc

.

Jak widać średnie kwadratowe wychylenie cząstki z położenia równowagi jest równe

. (17.22a)

Wielkość
określa dyspersję funkcji rozkładu (17.20a). To oznacza, że szerokość funkcji Gaussa zależy od wariancji (17.21c).

Obliczymy energię stanu podstawowego

.

Jak widać energia stanu podstawowego oscylatora harmonicznego nie znika.

Oszacujemy energię stanu podstawowego oscylatora. W ramach mechaniki klasycznej przyjęlibyśmy, że w stanie podstawowym cząstka spoczywa w punkcie x=0. Z godnie z mechaniką kwantową nie pozwala na to zasada nieoznaczoności, zgodnie z którą dyspersje pędu
i położenia cząstki
spełniają nierówność Heisenberga
. Zatem można przyjąć, że
. Będzie to prowadziło do oszacowania energii kinetycznej z dołu. Energia kinetyczna jest malejącą funkcją
:
, natomiast energia potencjalna jest funkcją rosnącą tej wielkości
. Niech w stanie podstawowym
. Za Baymem [1] znajdziemy energię stanu podstawowego
z warunku minimum energii jako funkcji d. Ze względu na symetrię zagadnienia cząstka może znajdować się w z lewej i prawej strony punktu x = 0 na odcinku
. Nie trudno ustalić zależność energii stanu podstawowego od d

.

Energia ta osiąga minimum w punkcie
. Energia stanu podstawowego równa jest
.

Literatura

[1] G. Baym, Lectures on Quantum Mechanics, Benjamin, Reading Mass., 1974, R. 4.

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.