Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie


obliczamy całkę


którą wstawiamy do głównej i dalej otrzymujemy


ostatecznie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie


obliczamy całkę


po podstawieniu ostatecznie otrzymujemy

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie


obliczamy całkę


ostatecznie otrzymujemy

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie
Całkę tę rozwiążemy dwoma sposobami:

a)


obliczamy całkę


ostatecznie



b)

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie
Całkę tę rozwiążemy trzema sposobami (tghx - tangens hiperboliczny):

a)


obliczamy całki I₁ i I₂:


ostatecznie otrzymujemy:



b)


funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną, którą rozkładamy na ułamki proste:


więc


czyli


osobno obliczymy drugą całkę


ostatecznie otrzymujemy



c)

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie


na marginesie obliczamy całkę
przez części podstawiając


wstawiając do całki głównej otrzymujemy

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie


całkę tę robimy podstawiając:


gdzie całka
z powyższego podstawienia


powracając do głównej całki


ponieważ ułamek można uprościć


na marginesie obliczamy całkę



powracając do głównej całki otrzymujemy ostatecznie

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie


przekształcamy wielomian kwadratowy z mianownika


ostatecznie otrzymujemy

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie


sprawdzamy czy wielomian kwadratowy z mianownika posiada pierwiastki rzeczywiste


czyli



rozkładając na ułamki proste otrzymujemy



obliczając powyższy układ równań otrzymujemy



ostatecznie

Całki nieoznaczone

Zadanie
Wyznaczć całkę

Rozwiązanie



obliczamy stosując metodę współczynników nieoznaczonych




różniczkując obydwie strony równania otrzymujemy



ostatecznie po podstawieniu otrzymujemy

1

---