• Powierzchnia topograficzna Ziemi kształtowana jest nieustannie, od początku wytworzenia litosfery, przez procesy endogeniczne
  i egzogeniczne.

• Wypiętrzają się góry, powstają stożki wulkaniczne, doliny rzek wcinają się w podłoże, wiatr przesuwa wydmy, całe platformy kontynentów zapadają się lub podnoszą - wszystko to przez źródło energii wewnętrznej - jądro ziemi i źródło energii zewnętrznej - Słońce

• Oddalając się od Ziemi…

• Zauważamy jej globalny, planetarny kształt.

• Jakie siły sprawiają, że Ziemia jest kulistym obrotowym ciałem?

• Czy Ziemia jest kulą?

• Czynniki fizyczne warunkujące kształt Ziemi

Ruch obrotowy Ziemi

• Pomiary astronomiczne

Pole grawitacyjne

• Analiza perturbacji satelitów

• Grawimetria i gradientometria

• Ruch Ziemi

• Obrót wokół osi łączącej bieguny ziemskie

Konsekwencje:

• Zmiana rozkładu siły grawitacyjnej

• Dobowy ruch sfery niebieskiej (również związana z nim pozorna wędrówka słońca - wschody i zachody)

• Ruch Ziemi:

• Konsekwencją jest zdefiniowanie dwóch układów odniesienia:

• Niebieskiego - quasi-inercjalnego

• Ziemskiego - dla opisu położenia punktów znajdujących się na fizycznej powierzchni Ziemi

• Układ niebieski

• Arystoteles, Kopernik - układ inercjalny w oparciu o tzw. gwiazdy stałe (gwiazdy, które na sferze niebieskiej wydają się nieruchome)

• Precesja

• Precesja - zmiana położenia osi obrotu w przestrzeni

Konsekwencja:

• Pozorna zmiana położenia gwiazd definiujących układ inercjalny

• Układ Ziemski

• Europejski układ odneisienia

ETRS - European Terrestrial Reference Frame

realizowany przez 35 stacji pomiarowych

• realizacja w Polsce

EUREF-POL - sieć bazowa 11 punktów

POLREF - 348 punktów

obserwacje wykonane techniką GPS

• Wielkość Ziemi

• Po zdefiniowaniu ziemskiego układu współrzędnych możliwe jest określenie kształtu i wielkości Ziemi.

• Półosie elipsoidy - określają wielkość Ziemi

• Poziom odniesienia dla systemu wysokości - „Poziom 0”

• Geoida czy elipsoida?

• Ziemia jest zanurzona w przestrzennym polu siły ciężkości

• Potencjał siły ciężkości

• Wartość potencjału siły ciężkości w danym punkcie (x,y,z) określa się pracą, jaka jest niezbędna do przeniesienia punktu materialnego o masie jednostkowej m po dowolnej drodze od danego punktu,
  do punktu znajdującego się w nieskończoności.

• Łącząc wszystkie punkty o jednakowej wartości potencjału siły ciężkości otrzymuje się POWIERZCHNIĘ EKWIPOTENCJALNĄ

• Powierzchnia ekwipotencjalna jest w każdy punkcie prostopadła
  do wektora siły ciężkości.

• Geoida jest powierzchnią ekwipotencjalną pokrywająca się ze średnim poziomem mórz otwartych

• Geoida

• Teoretyczna powierzchnia stałego potencjału pola siły ciężkości pokrywająca się z powierzchnią mórz
  i oceanów Ziemi, przedłużona w sposób umowny pod powierzchnią lądów.

• Nieregularny rozkład mas Ziemi

• Do czego służy Geoida ?

• Do wyznaczania wysokości
  wysokości nad poziomem morza - liczone od geoidy

• Czy Geoida może być powierzchnią odniesienia?

• Nie - ponieważ nie można jej matematycznie opisać i jest zmienna w czasie, choć w tzw. epoce uznawana jest za stałą. Można ją jedynie „modelować”

• Potrzebna jest bryła dająca się matematycznie opisać
  i dostatecznie dobrze aproksymująca geoidę

• Służy również do „wpasowania” w nią elipsoidę obrotową.

• Geoida

• Jest powierzchnią odniesienia dla WYSOKOŚCI

• Wysokość ortometryczna - nad poziomem morza

• Geoida - teoretyczna powierzchnia stałego potencjału siły ciężkości pokrywająca się z powierzchnią mórz i oceanów.

• poziom „0” - wyznaczany fizycznie przez mareograf średni poziom morza.

• Różne poziomy „0” w różnych krajach

• Kronsztad 86

• Państwowym układem wysokości w Polsce jest układ wysokości normalnych (ortometrycznych) zdefiniowanych w oparciu o quasi-geoidę Mołodieńskiego, odniesionych do średniego poziomu Morza Bałtyckiego w Zatoce Fińskiej, wyznaczonego dla mareografu w Kronsztadzie koło Sankt Petersburga (Federacja Rosyjska).

• Kraków - układy lokalne do poziomu morza w Amsterdamie (-0,084 m)

• przykład

• Poziom zerowej wysokości ortometrycznej w Holandii różni się
  o -2,34 m. od poziomu stosowanego w sąsiedniej Belgii. Fragment mapy topograficznej pokazującej obszar graniczny Belgii i Holandii. Wysokości w obydwu krajach odnoszone są do różnych poziomów odniesienia (poziomów „0”) W konsekwencji warstwice są przerwane na granicy obu Państw.

• Wysokość ortometryczna i normalna

• Wysokość nad geoidą nad poziomem morza H

• Wysokości nad elipsoidą h

• Poziomy układ odniesienia

• Elipsoida. Sfera. Płaszczyzna

• Poziomy układ odniesienia

Geoidę można określić fizycznie

Geoidy nie można określić matematycznie

• Poziomy układ odniesienia

• Poziomy układ odniesienia stanowi podstawę do odniesienia pomierzonych lokalizacji na powierzchni Ziemi.

• Definiuję on początek i orientację linii szerokości
  i długości geograficznej.

• Układ i powierzchnia odniesienia dla lokalizacji poziomych

matematyczna reprezentacja kształtu powierzchni Ziemi.

• Układ odniesienia definiuje:

• elipsoida obrotowa spłaszczona, która jest przybliżeniem kształtu Ziemi

• orientacja i pozycja elipsoidy względem środka Ziemi

• Fizyczna realizacja układu odniesienia

• Elipsoida - jako powierzchnia odniesienia

• Parametry określające elipsoidę

• Długości półosi: a, b

• Elipsoida obrotowa spłaszczona - parametry podstawowe

• Półoś równikowa a

• Półoś biegunowa b

• Elipsoida obrotowa spłaszczona - parametry

• Czy istnieje jedna elipsoida odniesienia?

• Nie - istnieje wiele różnych elipsoid odniesienia wyznaczanych w różnych okresach, w różnych krajach, przy zastosowaniu różnych metod i środków

• lokalne / globalne

• Różne elipsoidy ziemskie

• LOKALNE - przyłożone do geoidy w określonym punkcie i zorientowane na dany kierunek

• GLOBALNE - o środku w środku masy Ziemi i osi obrotu zgodnej z osią obrotu geoidy

• Lokalna i globalna Elipsoida

• przykłady

• Układ lokalny:

Układ `42' (URSS).

Obejmuje terytorium Rosji oraz sąsiednich państw byłego Związku Radzieckiego. Oparty jest o elipsoidę Krasowskiego, która została opracowana na podstawie obszernych badań obejmujących swoim zasięgiem znaczne obszary Europy, Azji oraz Ameryki Północnej. Dzięki temu jest ona jedna z najbliższych geoidzie elipsoid lokalnych. Zorientowano ją wielopunktowo z punktem przyłożenia w obserwatorium w Pułkowie koło Leningradu.

• Układ Globalny:

Układ 92 (Polska)

Układ oparty na elipsoidzie WGS 84 (obecnie ETRS 89)

• Lokalny układ odniesienia

• Lokalny układ odniesienia wyrównuje swoją elipsoidę tak aby dopasować ją do powierzchni Ziemi na określonym obszarze;

• jego punkt początkowy znajduje się na powierzchni ziemi.

• Współrzędne punktu początkowego są stałe, a wszystkie pozostałe punkty są obliczane w stosunku do tego punktu kontrolnego.

• Globalny / geocentryczny układ odniesienia

• Dla układu geocentrycznego początek układu stanowi środek masy ziemi.

• Czy elipsoida obrotowa może być powierzchnią odniesienia ?

• TAK - ponieważ daje się matematycznie opisać
  i po wyznaczeniu jej parametrów nie zmienia się,
  jest jednoznacznie wyznaczona.

• Dla jakich map stosowana jest elipsoida obrotowa jako powierzchnia odniesienia?

• Dla map wielkoskalowych
  - o skalach większych
  niż 1: 2 500 000

• Mapa zasadnicza

• Mapy topograficzne

• Mapy w skalach mniejszych niż 1: 2 500 00

• Za powierzchnię odniesienia można przyjąć prostszą bryłę obrotową: sferę

• Spłaszczenie na biegunach nie wpływa na dokładność map w tak małych skalach

• Równania dla powierzchni kuli

• Plany

• mapy niewielkich fragmentów terenu, tak małych, że zakrzywienie powierzchni Ziemi nie odgrywa większej roli

• Wówczas za powierzchnię odniesienia może zostać przyjęta PŁASZCZYZNA

• Porównanie powierzchni odniesienia

• Dlaczego Globalny, geocentryczny układ odniesienia ?

• Pomiary GPS

• Globalne systemy tj. np. Google Map, ArcGlobe i inne

• Możliwość zestawienia dowolnych danych przestrzennych z dowolnego regionu świata

• ArcGlobe - siatka południków i równoleżników na elipsoidzie WGS84

• ArcGlobe - dane ściągnięte on-Line - NMT, zdjęcia satelitarne, warstwy wektorowe

• Dodanie warstwy rastrowej z własnego zasobu i „udrapowanie jej” na NMT

• Dodanie warstwy tematycznej

• Dodanie danych z TBD i wykonanie modelu 3D (fragment Warszawy) - w perspektywie

• Modelowanie widoku nocą

• Analiza danych, różne wizualizacje tematyczne,
  tu: różne funkcje budynków zaznaczone odmiennymi kolorami

• To wszystko jest proste jeśli dane odniesione są do tej samej elipsoidy

• Bez względu na to jakie jest zastosowane dalej odwzorowanie, jeśli tylko jest ono matematycznie określone - zawsze możliwy jest powrót do współrzędnych geograficznych i zestawienie danych w jednym spójnym systemie.

• Układy współrzędnych
  - na powierzchni odniesienia

• Położenie punktu na powierzchni odniesienia

• określają współrzędne

• układy współrzędnych na płaszczyźnie

• w przestrzeni trójwymiarowej…

• Układ współrzędnych o początku w środku bryły obrotowej,
  oś Z pokrywa się z osią obrotów, oś X leży w płaszczyźnie południka początkowego. Powierzchnia xy pokrywa się z płaszczyzną równika.

• Położenie dowolnego punktu na powierzchni Ziemi określają trzy współrzędne:
  X, Y, Z

• np. dla punktu P współrzędne (Xp, Yp, Zp)

• chcemy znać położenie punktów
  na powierzchni odniesienia

• Rozwiązaniem jest wprowadzenie parametryzacji
  i zdefiniowanie układu krzywoliniowego na powierzchni odniesienia: elipsoidzie lub sferze

• Układ współrzędnych geograficznych (f,l)

• Układ współrzędnych geodezyjnych (B,L)

• inne

• Układ współrzędnych geograficznych na sferze

• Układ współrzędnych geograficznych

• Szerokość geograficzna - to kąt między normalną przechodzącą przez dany punkt P a płaszczyzną równika

• Długość geograficzna to kąt dwuścienny liczony
  w płaszczyźnie równika między półpłaszczyzną południka zerowego a półpłaszczyzną południka przechodzącego przez dany punkt P

• Siatka geograficzna na sferze

• Linie parametryczne: j = const. oraz l = const. tworzą odpowiednio równoleżniki i południki przecinające się pod kątem prostym (z wyjątkiem biegunów)

• Jest to tzw. siatka geograficzna na powierzchni kuli

• Związek między układem współrzędnych geograficznych a układem geocentrycznym XYZ

• Układ współrzędnych geodezyjnych na elipsoidzie

• Szerokość geodezyjna B

• kąt między normalną do powierzchni elipsoidy poprowadzoną przez dany punkt P a płaszczyzną równika

• Długość geodezyjna L

• kąt dwuścienny liczony w płaszczyźnie równika między półpłaszczyzną południka początkowego
  (L = 0) a półpłaszczyzną południka przechodzącego przez dany punkt

• Szerokość geodezyjna geocentryczna f

• Siatka geodezyjna na powierzchni elipsoidy

• Linie parametryczne B = const. i L = const. tworzą na powierzchni elipsoidy siatkę równoleżników i południków geodezyjnych przecinających się pod kątem prostym (z wyjątkiem biegunów)

• Początkiem tego krzywoliniowego układu współrzędnych na powierzchni elipsoidy jest punkt przecięcia się równika (B = 0) z południkiem początkowym (L = 0)

• Związek między układem geocentrycznym XYZ a układem współrzędnych geodezyjnych na elipsoidzie

• siatki

• Siatka geograficzna

• Siatka kartograficzna

• Siatka topograficzna

• Siatka geograficzna na sferze

• Linie parametryczne: j = const. oraz l = const. tworzą odpowiednio równoleżniki i południki przecinające się pod kątem prostym (z wyjątkiem biegunów)

• Jest to tzw. siatka geograficzna na powierzchni kuli

• Siatka kartograficzna

• To obraz siatki geograficznej po odwzorowaniu na płaszczyznę mapy. Tworzą ją obrazu południków i równoleżników

• Siatka kartograficzna

• Układ siatki kartograficznej zależy od zastosowanego odwzorowania.

• Siatka topograficzna

• Związana jest z realizacją układu współrzędnych prostokątnych płaskich x, y na płaszczyźnie mapy

• siatka topograficzna i kartograficzna na arkuszu mapy topograficznej

• orientacja

• Pytanie - czym jest PRAWDZIWA PÓŁNOC?

• Północ magnetyczna - kierunek na biegun magnetyczny - pokazywana przez kompas, położenie biegunów magnetycznych jest zmienne

• Północ geograficzna - biegun geograficzny - pokazywana przez kierunek południków, na mapie mamy obrazy tych południków, tworzące razem z obrazami równoleżników siatkę kartograficzną

• Północ topograficzna - pokazywana przez linie siatki topograficznej (kilometrowej) równoległe do osi x układu współrzędnych.

• powierzchnia

• W geometrii różniczkowej powierzchnią nazywa się zbiór punktów przestrzeni, których położenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie różniczkowalna w pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa dwóch niezależnych od siebie parametrów u i v

• Obszar D - dziedzina zmienności parametrów u i v

• Równanie wektorowe powierzchni:

• Powierzchnia regularna

1. Wektory pochodnych cząstkowych
   są klasy C¹

2. Oraz dla każdego punktu tej powierzchni spełniona jest nierówność:

• Czy sfera jest powierzchnią regularnlą?

• Równanie wektorowe sfery:

• Warunek regularności:

• Czy elipsoida jest powierzchnią regularną?

• Równanie wektorowe powierzchni elipsoidy

• Warunek regularności dla powierzchni elipsoidy przyjmuje postać:

• Powyższa nierówność jest spełniona dla wartości B,L należących do przedziału otwartego:

• odwzorowanie

• Odwzorowanie kartograficzne

Pojęcie powierzchni oryginału i powierzchni obrazu w odwzorowaniu kartograficznym:

• Powierzchnia oryginału
  powierzchnia elipsoidy obrotowej

• Powierzchnia obrazu
  płaszczyzna mapy

Odwzorowanie kartograficzne to:

• określony matematycznie sposób odzwierciedlenia powierzchni odniesienia (elipsoidy, sfery) na powierzchni obrazu płaszczyźnie.

• Odwzorowanie kartograficzne

• Ustala analityczną zależność między współrzędnymi geograficznymi (lub innymi) punktów elipsoidy ziemskiej a współrzędnymi prostokątnymi (lub innymi) tych punktów na płaszczyźnie.

• Określenie odwzorowania kartograficznego wymaga:

• Określenia powierzchni oryginału, parametryzacji na tej powierzchni oraz określenia obszaru zmienności parametrów

• Określenia powierzchni obrazu, parametryzacji na tej powierzchni oraz określenia obszaru zmienności parametrów

• Funkcji odwzorowawczych wiążących współrzędne punktów na powierzchni oryginału ze współrzędnymi tych punktów na powierzchni obrazu

• Funkcje odwzorowawcze

• Funkcje odwzorowawcze powinny spełniać warunki:

• Powinny być klasy C² (dwukrotnie różniczkowalne i ciągłe)

• być wzajemnie niezależne

• zapewniać jednoznaczność: każdej parze współrzędnych z powierzchni obrazu musi być przyporządkowana jedna para współrzędnych powierzchni oryginału

• powierzchnie powinny być regularne

• w konsekwencji:

• punkt odwzorowuje się na punkt, krzywa na krzywą, powierzchnia na powierzchnię

• Zniekształcenia odwzorowawcze.

• podstawy

• Elementarna skala zniekształceń długości

• skala mapy

• Teoria zniekształceń Tissota

• Niezależnie od rodzaju odwzorowania, w każdym punkcie na powierzchni odniesienia (kuli, elipsoidzie) można znaleźć co najmniej jedną parę kierunków prostopadłych, które zachowują prostopadłość również w odwzorowaniu, mimo, że inne kąty w tym punkcie mogą zostać zmienione.

Są to kierunki główne odwzorowania.

• Teoria zniekształceń Tissota

• elipsa zniekształceń

W danym punkcie na powierzchni odniesienia (elipsoidzie, kuli) rozpatrujemy elementarny okrąg (ds = 1) w płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni.

W wyniku procedury odwzorowawczej okrąg ten odwzorowuje się wiernie tylko w miejscach zerowych zniekształceń.

• w pozostałych przypadkach:

dla odwzorowania równokątnego:

pozostaje okręgiem, ale zmianie ulega powierzchnia: zmniejszeniu lub powiększeniu.

dla odwzorowania równopolowego:

przyjmuje postać elipsy, lecz zachowuje pole powierzchni okręgu jednostkowego.

dla odwzorowania równoodległościowego:

przyjmuje postać elipsy o zmiennym polu powierzchni, lecz w kierunku rodziny linii odwzorowującej się bez zniekształceń zachowana jest wartość ds'=1

dla pozostałych odwzorowań:

przyjmuje postać elipsy zniekształceń o zmiennej powierzchni.

• układy współrzędnych stosowane w Polsce

klasyfikacja oparta na:

• zastosowanej elipsoidzie - matematycznej powierzchni odniesienia (lokalne, globalna)

• zastosowanego odwzorowania - wiernokątne

• rodzaju i zasięgu obszarowego zastosowania odwzorowania - strefy odwzorowawcze

kryterium:

wielkość maksymalnych zniekształceń liniowych

• mapy wielkoskalowe (mapa zasadnicza)

• mapy topograficzne

• elipsoidy i układy

• elipsoida BESSELA z punktem przyłożenia do geoidy w Borowej Górze

• układ PND 1925 od 1930r.

• KRASOWSKIEGO z punktem przyłożenia w Pułkowie pod Petersburgiem - od 1952 r.

• układy: 1942, 1965, GUGiK 80

• GRS-80 (WGS - 84, ETRS 87) - elipsoida geocentryczna

• układy: 1992, 2000

• stosowane odwzorowania

• odwzorowanie Roussilhl'a

• w Polsce:

• odwzorowanie quasi-stereograficzne Wojskowego Instytutu Geograficznego - od 1934 r. do map topograficznych w skalach:
  1:25 000 i 1:100 000 i 1: 300 000

• układ 65

• układ GUGiK 80

• odwzorowanie Gaussa-Krugera i UTM

• w Polsce:

• styczne - układ 1942

• sieczne - układ 1992 i 2000

• odwzorowanie quasi-stereograficzne

• Metodę tego typu odwzorowania stereograficznego dla elipsoidy podał w 1924 roku astronom francuski Roussilhe, tworząc odwzorowanie równokątne i azymutalne.

• odwzorowanie quasi-stereograficzne

• Element „lokacyjny” odwzorowania quasi-stereograficznego

• Punkt przyłożenia płaszczyzny odwzorowawczej
  (B_o, L_o) - punkt główny odwzorowania

• Realizacja układu współrzędnych
  I. Przekształcenie łuku południka środkowego

1. określamy sferę styczną do płaszczyzny i elipsoidy w punkcie głównym o promieniu R_S równym średniemu promieniowi krzywizny elipsoidy w tym punkcie.

2. Dowolny łuk południka środkowego Δs mierzony na elipsoidzie od punktu głównego (G) do danego punktu (P) rozciągamy na sferze (w tym samym przekroju południkowym).

• Metoda realizacji odwzorowania G-K zachowująca te warunki

1. wiernokątne odwzorowanie całej elipsoidy na całą sferę (powierzchnię kuli), znane jako odwzorowanie Lagrange'a,

2. wiernokątne walcowe poprzeczne odwzorowanie sfery na płaszczyznę (odwzorowanie poprzeczne Mercatora),

• Układ „1965”

OODWZOROWANIE:

• początek układu współrzędnych każdej ze stref
  (od 1 do 4) znajduje się w punkcie głównym (punkcie „przyłożenia” płaszczyzny do powierzchni odniesienia) charakterystycznym dla każdej ze stref (patrz tabela);

• w strefach 1 - 4 układu „1965” przyjęto skalę
  w punkcie głównym m₀ = 0,9998
  (zniekształcenie -20 cm/km);

• w strefie 5 w której zastosowano odwzorowanie G-K
  modyfikacja polegała na zmianie skali w południku
  centralnym na m₀ = 0,999983;

• Układ „2000”

2. podział obszaru kraju na cztery pasy południkowe:

szerokości 3^o i południkach osiowych:

15^o, 18^o, 21^o, 24^o długości geograficznej wschodniej,

ponumerowane odpowiednio numerami:

5, 6, 7, 8;

• Układ „2000”

Odwzorowanie każdej strefy osobno:

południk osiowy każdej ze stref odwzorowuje się na linię prostą ze skalą 0,999923 zniekształcenia:

-7,7 cm\km na południku osiowym

do +7 cm\km na brzegu strefy

 

początkiem układu współrzędnych dla każdej ze stref jest punkt przecięcia obrazu równika z obrazem południka osiowego, otrzymuje on współrzędną x = 0 m;

punkty leżące na południku osiowym otrzymują współrzędną y = 500000m;

• Układ „2000”

W celu jednoznacznego określenia położenia punktu przed współrzędną y podaje się numer pasa południkowego, czyli dla punktów leżących na południku osiowym będzie:

 

y = 5 500 000 m dla południka L₀ = 15^o
y = 6 500 000 m dla południka L₀ = 18^o
y = 7 500 000 m dla południka L₀ = 21^o
y = 8 500 000 m dla południka L₀ = 24^o

                                                      

Układ stworzony w celu prowadzenia mapy zasadniczej;

od 31.12.2009 roku (najpóźniej) ma zastąpić istniejące układy w których sporządza się mapy zasadnicze ("1965", układy lokalne).

• Układ „1992”

zmodyfikowane odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy WGS84

• transformacja między układami dwóch różnych elipsoid

układ 1965 układ 2000

układ 1942 układ 2000

układ 1942 układ 1992

układ GUGiK80 układ 1992

1A. poprzez transformację między układami
geograficznych współrzędnych geodezyjnych
B, L, h (szerokość, długość i wysokość
elipsoidalna)

• Transformacja między
  układami X, Y, Z

• Parametry tej transformacji wyznaczone zostały (estymowane) przez GUGiK na podstawie punktów sieci POLREF.

• Aby takie wyznaczenie mogło mieć miejsce, punkty te musiały posiadać współrzędne wyznaczone w obu układach elipsoidalnych.

• parametry:

3 - przesunięcia,

3 - obroty osiowe

1 - zmiany skali

• 1A.

• transformacja między współrzędnymi geograficznymi B,L,h

• czy jest możliwe bezpośrednie przeliczenie współrzędnych płaskich ?

• takie przeliczenie nie jest prawidłowe

• konieczna jest znajomość wysokości elipsoidalnych h w obydwu układach - lub chociaż przybliżonej wartości h systemu wyjściowego

• wpływ wysokości elipsoidalnej na poziome położenie punktu

• podsumowanie - jeśli dwie różne elipsoidy to:

• ale skąd brać wysokości elipsoidalne ?

• wszystkie współrzędne na mapach czy w wykazach mają wysokości odniesione do poziomu odniesienia = wyznaczone dla geoidy

1. podejście bardziej ścisłe

1. pomiar GPS przy wykorzystaniu numerycznego modelu quasi-geoidy

2. lokalna interpolacja odstępów geoidy od elipsoidy na podstawie punktów dostosowania

2. podejście bardziej przybliżone

• odstępy quasi-geoidy od elipsoidy GRS-80

• odstępy quasi-geoidy od elipsoidy GRS-80 - model 2001

• transformacje w ramach tej samej elipsoidy

1. transformacja współrzędnych między różnymi strefami tego samego układu

2. transformacja między różnymi układami tej samej elipsoidy.

na przykład:

między strefą 4 i 5 układu 2000

lub między układem 65 i GUGiK-80

• transformacje w ramach tej samej elipsoidy

rozwiązanie:

• przejście pośrednie poprzez geograficzne współrzędne geodezyjne
  B, L elipsoidy (h - nie jest konieczna)
  
  x₁, y₁ B, L x₂, y₂

• transformacje w ramach tej samej elipsoidy

rozwiązanie:

2. przejście bezpośrednie między współrzędnymi różnych układów lub stref odwzorowawczych tej samej elipsoidy

1. wiernokątność odwzorowań

2. wielomiany wyznaczone za pomocą funkcji analitycznej zmiennej zespolonej

• transformacje w ramach tej samej elipsoidy

uwaga:

współrzędne x, y płaszczyzny mapy obarczone są zniekształceniami odwzorowawczymi - elementarna skala zniekształceń odwzorowawczych m(B,L,A)

kierunki wyznaczane do północy topograficznej T (IIx) nie pokrywają się z azymutami geograficznymi (kierunek do stycznej do obrazu południka L' = const.) - zbieżność południków

elementarna skala liniowa (m) lub parametr pochodny - elementarne zniekształcenie długości s = m-1

Niech będzie dany na elipsoidzie punkt P o współrzędnych (B, L) oraz w bliskim „różniczkowym” jego otoczeniu drugi punkt Q odległy o ds. Punkty te odwzorują się na płaszczyźnie w odpowiednie punkty P' oraz Q', zaś łuk PQ o długości ds w odpowiadający łuk P'Q' o długości dS. Elementarną skalę liniową definiujemy stosunkiem m = dS/ds. W odwzorowaniach wiernokątnych jest ona niezależna od azymutu łuku PQ i wyraża się funkcją położenia np. we współrzędnych geodezyjnych (B,L) lub odwzorowawczych (x, y). Konwergencja (zbieżności południków) γ mierzy natomiast różnicę pomiędzy azymutem łuku PQ (na elipsoidzie) a azymutem topograficzznym (kątem kierunkowym) łuku P'Q' w układzie współrzędnych x,y (na płaszczyźnie odwzorowawczej).

• Zbieżność południków w odwzorowaniach kartograficznych

• podsumowanie - jeśli ta sama elipsoida, to:

• korekty post-transformacyjne związane z empirycznym układem odniesienia

• korekty post-transformacyjne

• każdy definiowany w geodezji układ współrzędnych ma sens praktyczny tylko wtedy, gdy istnieje jego fizycznie powiązanie z obiektem pomiaru (powierzchnią Ziemi) poprzez punkty osnów geodezyjnych

• Pomiędzy teorią układu a jego rzeczywistą (empiryczną) realizacją, która dokonuje się w środowisku błędów pomiarowych, zachodzi mniej lub bardziej istotna rozbieżność.

• wymusza to stosowanie dodatkowych operacji korygujących owe rozbieżności.

• Matematyka a rzeczywistość.

• przykładowe przekształcenie matematyczne:

• Matematyka a rzeczywistość.

• wyniki przekształceń matematycznych nie pokryją się na ogół z wartościami odpowiadających współrzędnych archiwalnych, a różnice dochodzą nawet do 1 m

• mają wyraźne cechy lokalnych lub globalnych (strefowych) odchyleń systematycznych.

• układ matematyczny a układ empiryczny

(x, y)₁₉₆₅ => (~x, ~y)₁₉₆₅

_{układ matematyczny => układ empiryczny}

• Wpasowanie w układ empiryczny

• korekty globalne (dla całej strefy) o charakterze przekształcenia wiernokątnego,

• korekty globalne o charakterze afinicznym,

• korekty lokalne (ograniczone do obszaru opracowania, fragmentu strefy) oparte na danym lokalnym zbiorze punktów dostosowania realizowane przy zastosowaniu transformacji Helmerta oraz dodatkowej korekty (korekty post- transformacyjnej) Hausbrandta - mającej na celu „wyzerowanie” odchyłek na punktach dostosowania i odpowiednie skorygowanie z tego tytułu wszystkich pozostałych punktów transformowanych.

• korekty globalne a lokalne

Korekty globalne różnią się od korekt lokalnych tym, że nie wymagają odszukiwania, identyfikowania i kontroli poprawności lokalnego układu punktów dostosowania.

Funkcje realizujące korekty globalne wyznaczone sa jednorazowo dla każdej strefy układu 1965 (w oparciu o dostępne w różnych układach współrzędne punktów I klasy) i zostały wstawione „na stałe” do algorytmu transformującego.

• globalna korekta konforemna

• dla stref układu 1965 jest reprezentowana przez wielomian zmiennej zespolonej:

• stopnia 1 dla strefy 5

• stopnia 5 dla wszystkich pozostałych stref układu 1965

• przekształcenie pomiędzy układem empirycznym a matematycznym (lub odwrotnie) zachowuje cechę wiernokątności.

• testy wykazały, że globalne korekty konforemne powodują zmniejszenie odchyłek (względem układu empirycznego) przeciętnie o ok. 70%

• Korekta może być stosowana dwukierunkowo, tzn. także przy przekształceniach odwrotnych (z układu 1965 do układu 1992 lub 2000).

• zastosowanie - przekształcenia pomiarów GPS

• Globalna korekta afiniczna

• realizowana za pomocą wielomianów stopnia 5-6,

• sprowadza układ matematyczny do postaci odchylającej się od układu empirycznego przeciętnie już tylko o rząd kilku centymetrów (od 0.02 do 0.05 m).

• zastosowanie - przekształcenie obrazów map wektorowych i rastrowych - KARTOGRAFIA

• ograniczenie do granicy danej strefy.

• Korekta może być stosowana dwukierunkowo
  (do- i z- układu 1965).

• korekty lokalne - problem niejednoznaczności

• uzgodnienie styków różnych obszarów przekształcanych częściowo w oparciu o te same punktu dostosowania

• problem aktualności danych - przesunięcia archiwalnych punktów osnowy

• Układy lokalne

• Układy lokalne

• Prócz układów państwowych dla terenów wielu miast zakładane były lub kontynuowane układy lokalne

• Układ lokalny eliminował potrzebę wprowadzania istotnych redukcji odwzorowawczych obserwacji geodezyjnych i redukcji długości n.p.m.

• Związki pomiędzy układem „1965” a układem „2000” są znane - a więc wystarczy by dla każdego układu lokalnego wyznaczyć odpowiednie związki transformacyjne z dotychczasowym układem „1965”.

• Transformacja: układ lokalny układ `65

(x, y) lokalne < == > (x,y) 1965

Podstawa: punkty dostosowania, a nie matematyczne podstawy odwzorowań

• Rozmieszczenie i liczba punktów dostosowania

• rozmieszczone równomiernie w całym obszarze podlegającym (potencjalnie) transformacji.

• punkty skrajne (brzegowe) powinny tworzyć figurę wypukłą obejmująca transformowany obszar.

• Liczebność (gęstość) punktów powinna odpowiadać gęstości punktów osnowy szczegółowej.

• Na przykład w Łodzi, Krakowie przyjęto po ok. 600 punktów dostosowania.

• Formuły transformacyjne

• Wielomiany - PROBLEM - wyznaczenie stopnia i parametrów wielomianu

• Parametry - metoda najmniejszych kwadratów odchyłek na punktach dostosowania

• Stopień - wyznaczany iteracyjnie wzrost stopnia wielomianu nie powoduje już istotnej poprawy dokładności transformacji.

• Helmerta - transformacja liniowa, stopień wielomianu = 1 może być stosowana tylko dla niewielkich obszarów (o rozpiętości do około
  5 km)

• Formuły transformacyjne

• Ograniczenie wynikające z konieczności zachowania konforemności przekształcenia

• Większość stosowanych odwzorowań to odwzorowania konforemne, dlatego po transformacji do nowego układu powinny być zachowane wszystkie kąty

• Osiągane jest to poprzez zastosowanie wielomianów liczb zespolonych.

• Programy obliczeniowe

• program TRANSPOL

• Program TRANSPOL powstał jako załącznik
  (na płycie CD-R) do nowej edycji Wytycznych Technicznych G-1.10.

• Program ma przeznaczenie testowe i kontrolne,
  dla metod i algorytmów opisanych w treści wytycznych, a także w formie ogólnej -
  w Instrukcji Technicznej G-2

• Program realizuje matematyczne przeliczenia współrzędnych pomiędzy układami płaskimi:
  1965, 1942, GUGIK-80, 1992, 2000, UTM
  (dla stref polskich) oraz układami współrzędnych geograficznych - geodezyjnych BLH i kartezjańskich XYZ elipsoid: GRS-80 i Krasowskiego.

• podstawowe funkcje programu

• dodatkowe funkcje numeryczne

• Transformacje wysokościowe pozwalające na przeliczenie wysokości elipsoidalnych na normalne (lub odwrotnie). Mogą być one realizowane dwiema metodami (menu TRANS_H )

• w oparciu o numeryczny model geoidy niwelacyjnej (wielkości odstępów geoidy od elipsoidy GRS-80, zapisanej w pliku binarnym dla całego obszaru Polski w siatce punktów o rozdzielczości minutowej),

• poprzez lokalną aproksymację geoidy (quasi-geoidy)
  w oparciu o dostępny zbiór punktów dostosowania
  o wyznaczonych wysokościach niwelacyjnych.

Transformacja Helmerta (przez podobieństwo), uruchamiana w menu TRANS_XY, będąca m.in. narzędziem do realizacji korekt lokalnych układu 1965.

• wada - brak korekt globalnych

• import - eksport danych - w postaci pliku tekstowego. Nazwy plików są związane z układami, np.: xy65, xy92, blh92, blh42, pliki wynikowe mają rozszerzenie *.1

• dla każdego przeliczonego punktu, oprócz współrzędnych x, y wyznaczane są również elementy pola zniekształceń odwzorowawczych, a mianowicie:

Ⴗ elementarne zniekształcenie długości w [cm/km],

Ⴗ zbieżność południków w gradach.

Nr x y zniekształcenie konwergencja

informacje o strefie [cm/km] [^g ]

-------------------------------------------------------------------------------------------

5 5562200.0236 7597703.0263 4.020 1.167853

<2000> Lo = 21

16 5565284.4975 7600726.5584 4.756 1.205163 <2000> Lo = 21

4053 5560754.2884 7601924.9431 5.055 1.217737 <2000> Lo = 21

2022 5563768.8547 7605674.9741 6.010 1.263733 <2000> Lo = 21

19 5563975.6059 7607407.0103 6.463 1.284521 <2000> Lo = 21

• Program GEONET^ტ_unitrans

Program GEONET_unitrans jest wyodrębnionym modułem systemu obliczeniowego GEONET, obejmującym m.in. zadania obliczeniowe sieci geodezyjnych. Działa w środowisku WINDOWS' 95, `98, `NT (2000).

W stosunku do programu TRANSPOL zawiera następujące funkcje dodatkowe:

• realizacje korekt globalnych

• Transformacje wielomianowe (konforemne i ogólno-wielomianowe) do stopnia n = 9 włącznie

• Uwzględnienie układów lokalnych w zadaniach transformacji współrzędnych

• Graficzną prezentację zbiorów wejścia-wyjścia z użyciem dodatkowych narzędzi graficznych

• Obliczenie sieci wektorowej GPS

• opcje korekt globalnych układu 1965, układy lokalne, transformacje wielomianowe stopnia 1-9, obliczenia sieci wektorowych GPS.

• Graficzna prezentacja danych w programie GEONET_unitrans - wersja 7.1

• Odwzorowania w kartografii
  i w systemach informacji geograficznych

• Przykłady

• Georeferencja danych rastrowych

• Georeferencja - informacja o odniesieniu przestrzennym

• Realizowana jest poprzez właściwą kalibrację obrazu rastrowego.

• Informacja o georeferencji pliku może być zapisana wewnątrz pliku (np. GeoTIFF) lub jako osobny plik kalibracyjny.

• Etapy kalibracji rastra

• Identyfikacja punktów odniesienia (tzw. łączników) - punktów wspólnych

• Ocena błędów dopasowania

• transformacja

• Reklasyfikacja rastra (przepróbkowanie)

• Pomocnicza warstwa wektorowa zawierająca punkty kalibracyjne

• Wskazanie punktów na rastrze i w układzie klibracyjnym

• Ocena błędów

• Zapis transformacji

• Etap ten może być wykonany na dwa sposoby:

• zapis parametrów transformacji w rastrze źródłowym.

• transformacja rastra do nowego układu odniesienia - rektyfikacja

• A co jeśli nie znamy układu odniesienia dla rastra?

• Nieskalibrowany obraz dwie warstwy wektorowe o określonym odniesieniu przestrzennym pozwalające na kalibrację rastra

• Skalibrowany obraz rastrowy
  i tabela łączników. Na obrazie rastrowym zidentyfikowano narożniki budynków odpowiadające warstwie wektorowej o określonym odniesieniu przestrzennym.

• Dokładność kalibracji danych rastrowych zależy od jakości obrazu rastrowego - przede wszystkim od jego rozdzielczości. Rozdzielczość rastra decyduje w pewnym stopniu o dokładności identyfikacji punktu kontrolnego.

• Raster z georeferencją

• Po nadaniu georeferencji możliwe jest transformacja danych rastrowych do dowolnego zdefiniowanego układu odniesienia

• Przykładowe dane rastrowe pobrane z serwera WMS

• Dane z serwerów WMS na ogół są gromadzone w układzie współrzędnych geodezyjnych związanych z elipsoidą GRS 80 (WGS 84)

• W układzie 1992

• Po wskazaniu nowego układu współrzędnych program przelicza „w locie” obraz do nowego układu

• Możliwa jest integracja danych z serwera WMS z danymi wektorowymi

• algorytmy

• podstawowych odwzorowań i ich aplikacje do państwowych układów współrzędnych

• Odwzorowanie Gaussa-Krügera
  i odwzorowanie quasi-stereograficzne

1. Odwzorowanie Gaussa-Krügera

• wiernokątne 

• walcowe

• poprzeczne

odwzorowanie elipsoidy.

• Metoda realizacji odwzorowania G-K zachowująca te warunki

1. wiernokątne odwzorowanie całej elipsoidy na całą sferę (powierzchnię kuli), znane jako odwzorowanie Lagrange'a,

2. wiernokątne walcowe poprzeczne odwzorowanie sfery na płaszczyznę (odwzorowanie poprzeczne Mercatora),

• Układy związane z odwzorowaniem G-K

• 1942

• 1992

• 2000

• UTM

• 1965 w strefie 5

• przyjęcie m_o < 1ma na celu optymalizację wartości zniekształceń odwzorowawczych.

• Parametry przesunięcia układu współrzędnych oznaczone x_o, y_o mają zasadniczo dwa cele:

1. w przypadku y_o chodzi o to, by zapobiec występowaniu ujemnych wartości rzędnych,

2. w przypadku x_o chodzi o obcięcie dużych wartości x_GK (mierzonych od obrazu równika)

Prócz przesunięcia w zapisie współrzędnych x_o, y_o może być „ukryty” numer strefy odwzorowawczej

• Aplikacje odwzorowania Gaussa-Krügera

• Wzory ogólne:

x_{UKŁAD APLIKACYJNY} = m₀ · x_GK + x₀

y_{UKŁAD APLIKACYJNY} = m₀ · y_GK + y₀

( B, L ) პ ( ၪ, ၬ | ၬ_o ) პ (x_MERC, y_MERC ) პ (x _GK, y_GK)

[1] [2] [3]

• Wartości parametrów do wzorów aplikacyjnych odwzorowania G-K
  WPROST

• Wartości parametrów do wzorów aplikacyjnych odwzorowania G-K
  WSTECZ

• Elementarna skala zniekształceń odwzorowawczych

• Złożenie 3 przekształceń konforemnych upoważnia do tego, by ostateczną elementarną skalę zniekształceń odwzorowawczych wyrazić jako iloczyn skal odwzorowań składowych:

m_GK = m₁ • m₂ • m₃

Gdzie:

m₁ - skala odwzorowania Lagrange'a,

m₂ - skala odwzorowania Mercatora,

m₃ - skala odwzorowania Gaussa-Krügera
względem odwzorowania Mercatora.

• Dla przekształcenia dwóch płaszczyzn

• Zakładamy, że odcinek elementarny PQ o długości ds pokrywa się z osią ox na płaszczyźnie ၗ₁, zaś po przekształceniu przyjmuje on na drugiej płaszczyźnie położenie P'Q' o kącie kierunkowym ၡ i długości dS.

• Stosunek dS/ds wyznacza skalę elementarną przekształcenia (mierzącą lokalną „rozciągliwość” lub „kurczliwość” pola) natomiast kąt ၡ mierzy lokalne skręcenie obrazu (charakterystyczne dla pewnego bliskiego otoczenia punktu).

• Dla przekształcenia dwóch płaszczyzn

• Pojęcie konwergencji (zbieżności południków), które znaczymy przez ၧ jest tożsame z ujemną wartością skręcenia: ၧ = ိ ၡ. Biorąc pod uwagę, że m i ၧ mają cechy pary współrzędnych biegunowych, więc nazywamy je składowymi pola (wektorowego) zniekształceń.

• Skala długości i pól

• Skala długości:

m₁ = R_o cos (ၪ) / [R_n cos (B)],

ၧ₁ = 0

m₂ =1 / [ r s ]^1/2,

ၧ₂ = arc tg [ p tg(၄ၬ)]

m₃ = ( f_x ² + f_y²) ^1/2

ၧ₃ = ိ arc tg ( f_y / f_x) = ိ arc sin ( f_y / m₃ )

• odwzorowanie quasi-stereograficzne

• Związek z odwzorowaniem gaussa-krugera

• Układy 1965 oraz GUGiK 80

• Element „lokacyjny” odwzorowania quasi-stereograficznego

• Punkt przyłożenia płaszczyzny odwzorowawczej
  (B_o, L_o) - punkt główny odwzorowania

Podobną funkcję lokacyjną w odwzorowaniu Gaussa-Krügera pełni południk środkowy L_o

• Geneza odwzorowania quasi-stereograficznego
  I. Przekształcenie łuku południka środkowego

1. określamy sferę styczną do płaszczyzny i elipsoidy w punkcie głównym o promieniu R_S równym średniemu promieniowi krzywizny elipsoidy w tym punkcie.

2. Dowolny łuk południka środkowego Δs mierzony na elipsoidzie od punktu głównego (G) do danego punktu (P) rozciągamy na sferze (w tym samym przekroju południkowym).

3. Ze sfery rzutujemy na płaszczyznę, stosując rzut stereograficzny (środek rzutów leży w odległości 2R_S od punktu głównego).

• Związek między tymi układami wyraża się równaniem:

W = tan(w);

gdzie w i W są liczbami zespolonymi:

w = (u,v): u = (x_GK-S₀)/2R_s, v = y_GK/2R_s

W = (U, V): U = x/2R_s, V = y/2R_s

• znając wzory odwzorowania Gaussa-Krügera, możemy niemal „natychmiast” zrealizować odwzorowanie quasi-stereograficzne:

(x_GK, y_GK) ==>  (x , y)

• Dla konkretnego układu należy ponadto uwzględnić:

• przyjętą wartość elementarnej skali odwzorowawczej m₀ na południku osiowym

• parametry przesunięcia (X₀, Y₀):

X = m₀ x + X₀; Y = m₀ y + Y₀

• Parametry dla układów 1965 i GUGiK 80

• Parametry dla układów 1965 i GUGiK 80

• Zadanie wstecz

• Przejście odwrotne jest definiowane przez równanie:

w = arc tan (W)

• aby powrócić na elipsoidę należy następnie skorzystać z odwrotnego odwzorowania Gaussa-Krügera

• Rozwinięcie w szeregi potęgowe w postaci Hornera:

• gdzie parametry a_i oraz b_i są liczbami rzeczywistymi - znanymi współczynnikami rozwinięć funkcji tg i arc tg:

• Elementarna skala zniekształceń odwzorowawczych oraz zbieżność południków dla odwzorowania quasi-stereograficznego

• Ponieważ korzystamy „po drodze” z odwzorowania Gaussa-Krügera, więc dla odpowiednich parametrów odwzorowania quasi-stereograficznego zachodzą zależności:

m_qs = m_GK m_TG

g_qs = g_GK g_TG

gdzie:

m_GK,  γ_GK - elementarna skala i zbieżność południków liczona dla odwzorowania Gaussa-Krügera,

zaś czynnik m_TG oraz składnik konwergencji γ_TG wynikają tylko z przekształcenia płaszczyzny Gaussa-Krügera w płaszczyznę odwzorowania quasi-stereograficznego

• Układy pochodzące z różnych elipsoid

• transformacje

• Jeśli różne elipsoidy:

• Przeliczenie współrzędnych geodezyjnych B,L,H na współrzędne kartezjańskie - centryczne X,Y,Z dowolnej elipsoidy i zadanie odwrotne

• Współrzędne geodezyjne lub kartezjańskie - centryczne jako uniwersalny adres punktu.

Pozycja dowolnego punktu na powierzchni Ziemi jest jednoznacznie określana w umownym systemie elipsoidalnym za pomocą:

• współrzędnych geodezyjnych (B,L,H)

• współrzędnych kartezjańskich - geocentrycznych (X,Y,Z).

• Te dwa rodzaje współrzędnych można traktować jako informacje równoważne, ponieważ przejście (przeliczenie) pomiędzy nimi

(B,L,H) (X,Y,Z)

dokonuje się w oparciu o ścisłe, wzajemnie jednoznaczne formuły matematyczne.

• współrzędne (B,L,H) lub (X,Y,Z) określają równoważnie pozycję punktu

• Przeliczenie: [B, L, H] პ [X, Y, Z]

• Przeliczenie odwrotnie: [X, Y, Z] პ [B, L, H]

Aby dokonać przeliczenia odwrotnego należałoby odwrócić zależności (*), wyznaczając z nich B, L i H w oparciu o X,Y,Z.

Jednak promień R_N oraz wielkości d jest zależna również od szerokości B, odwrócenie formuł (*) nie jest zadaniem trywialnym

Dlatego stosuje się metody kolejnych przybliżeń. Jedna z prostych metod polega na wykorzystaniu zależności, którą można otrzymać z (*):

B = arc tan [(Z + q) / r] ; r = ( X² + Y² )^1/2

Gdzie: r ိ odległość punktu P od osi obrotu elipsoidy,

Wartość ta służy do tworzenia kolejnych przybliżeń B_o, B₁, B₂, ... niewiadomej B

• Algorytm: [X,Y,Z] პ B

Krok 0: przyjmujemy q = q_o = 0 i obliczamy B notując je jako B_o (przybliżenie początkowe),

Krok 1: obliczamy przybliżoną wartość q₁ jako funkcję B_o , a następnie nowe przybliżenie B₁ szerokości B  

Krok 2: obliczamy przybliżenie q₂ jako funkcję B = B₁, a następnie aktualne przybliżenie B₂ szerokości B

... itd.

Proces zatrzymujemy, jeśli różnica kolejnych przybliżeń jest mniejsza niż założony dopuszczalny błąd numeryczny wyznaczenia B. Zwykle konieczną dokładność otrzymuje się po kilku krokach.

• Obliczenie współrzędnych L, H

L = arc cos (X/r ) = arc sin (Y/r),

H = ( ၄r² + ၄z² ) ^1/2 * ( -1 jeśli ၄z < 0 lub ၄r < 0)

przy czym przyrosty ၄r, ၄z obliczamy ze wzorów:

၄r = r ိ r_o = r ိ R_N თ cos (B),

၄z = Z ိ z_o = Z ိ R_N თ (1ိe²) თ sin(B).

 

Współrzędne B, L wyrażone w radianach przeliczamy ostatecznie do miary stopniowej.

• Przeliczenia pomiędzy elipsoidami

• Przypuśćmy, że punkt P ma współrzędne [X, Y, Z]_K w centrycznym układzie kartezjańskim elipsoidy Krasowskiego. Analogiczne współrzędne [X, Y, Z]_G tego punktu w układzie elipsoidy GRS-80 (WGS-84)

• przeliczenie takie jest problemem transformacji przestrzennej (trójwymiarowej) układów współrzędnych związanych z różnymi elipsoidami odniesienia.

• Dla wykonania konkretnych zadań praktycznych parametry takiej transformacji muszą być znane.

• Zostały one wyznaczone w GUGiK w oparciu o punkty sieci POLREF (na podstawie zbiorów danych archiwalnych w systemie PUŁKOWO'42 oraz nowych pomiarów w systemie ETRF'89 dysponowano współrzędnymi kartezjańskimi punktów w obu układach elipsoidalnych).

• Transformacja [X,Y,Z]_G პ [X,Y,Z]_K

X_K = c₁₁ X_G + c₁₂ Y_G + c₁₃ Z_G + T_x

Y_K = c₂₁ X_G + c₂₂ Y_G + c₂₃ Z_G + T_y

Z_K = c₃₁ X_G + c₃₂ Y_G + c₃₃ Z_G + T_z

 

lub w postaci macierzowej:

X_K = C თ X_G + T

gdzie:

T jest wektorem przesunięcia środków układów, określonym w układzie elipsoidy Krasowskiego;

C - macierzą współczynników (parametrów)
c_ij (i, j :=1,2,3).

• zachowanie konformeności

Aby transformacja zachowywała kształty figur (warunek podstawowy) macierz C musi być proporcjonalna do tzw. macierzy ortonormalnej.

Dla takiej macierzy zachodzi związek:

C^ိ1 = const.თ C^T , const. > 0

Jeśli przyjmie się const. = 1/ m² ,

to liczba m będzie skalą podobieństwa dla transformacji

• elementy ortogonalnej macierzy C

według Wytycznych Technicznych G-1.10

c₁₁ = 1 + 0.84076440Eိ6

c₁₂ = + 4.08960694Eိ6

c₁₃ = +0.25613907Eိ6

c₂₁ = ိ4.08960650Eိ6

c₂₂ = 1 + 0.84076292Eိ6

c₂₃ = ိ 1.73888787Eိ6

c₃₁ = ိ0.25614618Eိ6

c₃₂ = + 1.73888682Eိ6

c₃₃ = 1 + 0.84077125Eိ6

• uproszczenia formuły

Zgodnie z najnowszym projektem instrukcji technicznej Gိ2 [11] uwzględniono już te uproszczenia (dane te zostały przekazane przez GUGiK do wiadomości Europejskiej Podkomisji IAG: CERCO, WG VIII):

T_x = ိ33.4297 m,

T_y = +146.5746 m,

T_z = +76.2865 m,

m = 1 + 0.8407728 თ 10^-6

ၥ_x = ိ1.7388854 თ 10^-6 [rad] = ိ0.35867 ”

ၥ_y = ိ0.2561460 თ 10^-6 [rad] = ိ0.05283 ”

ၥ_z = + 4.0896031 თ 10^-6 [rad] = +0.84354 ”

• Transformacja odwrotna: [X,Y,Z]_K პ [X,Y,Z]_G

Odwrócenie zależności prowadzi do formuł ogólnych:

X_G = d₁₁ (X_Kိ T_x) + d₁₂ (Y_Kိ T_y) + d₁₃ (Z_Kိ T_z)

Y_G = d₂₁ (X_Kိ T_x) + d₂₂ (Y_Kိ T_y) + d₂₃ (Z_Kိ T_z)

Z_G = d₃₁ (X_Kိ T_x) + d₃₂ (Y_Kိ T_y) + d₃₃ (Z_Kိ T_z)

gdzie współczynniki d są elementami macierzy D, która jest po prostu macierzą odwrotną
do C

• Transformacja odwrotna: [X,Y,Z]_K პ [X,Y,Z]_G

wartości elementów d macierzy D są następujące:

d₁₁ = 1ိ 0.84078048Eိ6 d₁₂= ိ4.08959962Eိ6 d₁₃ = ိ0.25614575Eိ6

d₂₁ = +4.08960007Eိ6 d₂₂=1ိ 0.84078196Eိ6 d₂₃ = +1.73888389Eိ6

d₃₁ = +0.25613864Eိ6 d₃₂ = ိ1.73888494Eိ6 d₃₃ = 1ိ 0.84077363Eိ6

---