Numer ćwiczenia	Data	Imię i Nazwisko Dawid Tyszer		Wydział Elektryczny		Semestr III		Grupa 6 Nr lab.
Prowadzący dr A. Krzykowski			Przygotowanie		Wykonanie		Ocena

Temat: Badanie ruchu jednostajnie przyspieszonego za pomocą komputerowego zestawu pomiarowego.

Podstawy teoretyczne

Ruch, jaki wykonuje ciało, zależy od rodzaju działającej na nie siły. Przykładowo ruch jednostajny wywoływany jest przez siłę zerową, ruch jednostajnie zmienny - siłę stałą. W opisie ruchu obiektu, wygodnie jest się posługiwać pojęciem punktu materialnego, jeżeli oczywiście wymiary, które pomijamy, nie mają wpływu na jego ruch. Położenie takiego punktu w przestrzeni trójwymiarowej opisuje wektor wodzący, wyrażony przez trzy współrzędne:

Współrzędne wektora podczas ruchu zmieniają się w czasie, wówczas jego koniec kreśli drogę, po której porusza się punkt materialny. Jej kształt w ogólnym przypadku jest linią krzywą, a jej przyrosty w kolej-nych odcinkach czasu - różne.

Ruch cechują trzy wielkości: droga s, prędkość v, przyspieszenie a. Ogólnie są one określone przez wektory, ale ponieważ w danym ćwiczeniu jest rozważany jedynie ruch po linii prostej, pod uwagę bierzemy wielkości skalarne. W takim przypadku prędkość i przyspieszenie definiujemy następująco:

,

.

Bardzo małe przyrosty użyte w powyższych wzorach sugerują, że za ich pomocą można obliczyć wielkości chwilowe - prędkość i przyspieszenie chwilowe. Na ogół wielkości te są zmienne w czasie. Stałe przyspieszenie, cechujące rozważany w niniejszym ćwiczeniu ruch (jednostajnie zmienny) obiektu, pozwala na wyznaczenie prędkości w dowolnej chwili t. Odpowiednie przekształcenia powyższych wzorów prowadzą do właściwych zależności (bierzemy również pod uwagę prędkość początkową v₀ w chwili t₀).

Oraz dalej, przy zastosowaniu otrzymanej powyżej zależności do wzoru na przyrost drogi w czasie:

W ćwiczeniu rozważane są dwa przypadki ruchu jednostajnie przyspieszonego: spadek swobodny i ruch na równi pochyłej. Z tego względu należy pokrótce omówić zagadnienia przyspieszenia ziemskie-go oraz równi pochyłej.

Na każde ciało znajdujące się w polu grawitacyjnym Ziemi działa siła skierowana do jej środka. Siła ta nazywa się siłą ciężkości. Jej wartość określa prawo powszechnej grawitacji:

,

gdzie G jest stałą grawitacji, m - masą ciała, M - masą Ziemi, R - odległością od środka Ziemi.

Siłę ciężkości możemy wyrazić także przez II zasadę dynamiki:

.

Po porównaniu obu zależności otrzymujemy wyrażenie:

,

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.

Z ostatniego wzoru wynika, że przyspieszenie ziemskie nie jest niezmienne, a zależne od odległości od środka Ziemi. Jednak dla zakresu niewielkich wysokości nad powierzchnią Ziemi można uznać tę odległość za stałą, bowiem przyspieszenie g w takim przypadku zmienia się nieznacznie.

Poznawszy siłę ciężkości możemy przejść do zagadnienia równi pochyłej. Siła ta, dla ciała spoczy-wającego na równi, rozkłada się na dwie składowe siły: równoległą F oraz prostopadłą do równi N. Pierwsza z nich prowadzi do ruchu wzdłuż równi (stąd nazwa - siła zsuwająca), natomiast druga nie powoduje ruchu, lecz przyczynia się do nacisku ciała na podłoże (stąd nazwa - siła nacisku). Obie siły zależą od kąta nachylenia równi i wynoszą odpowiednio:

,

.

Poniżej znajduje się rysunek ilustrujący sytuację (dodatkowo pojawiają się elementy uwzględnione w praktycznej części ćwiczenia).

Nacisk na podłoże powoduje siłę tarcia, która utrudnia wprowadzenie ciała w ruch bądź go spowalnia. Siła tarcia jest proporcjonalna do nacisku:

,

gdzie μ jest współczynnikiem tarcia.

Współczynnik tarcia zależy od rodzaju powierzchni ciała i podłoża, i w zakresie niewielkich prędkości wykazuje stałość.

Metoda pomiarowa

W obu rozważanych przypadkach zadany jest cel doświadczenia. Spadek swobodny ma prowadzić do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego, natomiast zamierzeniem ruchu ciała po równi pochyłej jest wyznaczenie współczynnika tarcia. W obydwu doświadczeniach wykorzystywany jest komputerowy układ pomiarowy.

Swobodnemu spadkowi poddana jest drabinka, którą przedstawia poniższy rysunek.

Pomiar polega na tym, że fotobramka, przez którą przelatuje drabinka, mierzy czas przechodzenia kolej-nych szczebelków przy znanym parametrze d (odległości między sąsiednimi poprzeczkami). Na podstawie uzyskanych danych program oblicza przebytą drogę, prędkość oraz przyspieszenie na poszczególnych odcinkach.

Przed dokonaniem pomiarów należy otworzyć okna z wykresami - drogi i prędkości w funkcji czasu; ponadto na wykresie prędkości określić dopasowanie liniowe w celu zastosowania regresji liniowej do obliczenia odpowiedniego parametru. Wykres drogi ma za zadanie potwierdzić empirycznie to, co wiadome z teorii, mianowicie jej zależność kwadratową. Natomiast wykres prędkości wskazuje na jej liniową zależność od czasu. W odniesieniu do odpowiedniego wzoru, właściwym stwierdzeniem jest, że współczynnikiem nachylenia prostej na tym wykresie jest przyspieszenie ziemskie g. Obliczenie tej wielkości następuje automatycznie po zaznaczenie pewnego obszaru na wykresie, do którego ma zostać zastosowana regresja liniowa. Program dodatkowo wyznacza odchylenie standardowe dla tego parametru. Ważne jest, aby w polu statystyki zaznaczyć ten zakres pomiarów, w którym punkty pomiarowe faktycznie układają się wokół linii prostej. Do celów dalszych obliczeń zapisujemy obie wielkości.

W przypadku równi pochyłej, którą przedstawia wcześniejszy rysunek, stosuje się widoczny na obrazku krążek z otworami umieszczony między ramionami fotobramki. Dane następnie, jak w doświad-czeniu poprzednim, przekazywane są do komputera i przedstawiane w odpowiednim programie. Tam też dokonywane są wszelkie obliczenia.

Na wózek działają trzy siły równoległe do powierzchni równi, dwie z nich przeciwnie do działania siły zsuwającej: siła tarcia T i naprężenia nici S oraz wspomniana siła zsuwająca F. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki ich siłę wypadkową stanowi:

.

To samo można uczynić wobec przeciwwagi wózka:

.

Wyznaczając S z ostatniego równania i podstawiając do pierwszego wraz z wyprowadzonymi uprzednio wyrażeniami na F i T otrzymujemy równanie:

.

Z powyższego wyprowadzamy wzór na poszukiwany współczynnik tarcia:

Jak widać, do wyznaczenia współczynnika tarcia potrzebna jest znajomość mas wózka i przeciwwagi, jego przyspieszenia oraz kąta nachylenia równi. Ponieważ podczas pomiarów znana jest wartość dwóch pierwszych wielkości oraz kąta nachylenia równi, wystarczy wyznaczenie przyspieszenia wózka, co realizuje komputerowy zestaw pomiarowy.

Nić łącząca wózek z przeciwwagą przerzucona jest przez krążek, który w wyniku obrotu przecina lub nie drogę promienia detektora, generując odpowiedni sygnał. Dzięki temu mierzony jest czas obrotu między kolejnymi otworami przy znanej długości łuku zawartego między nimi. Podobnie jak w przypadku spadku swobodnego, na podstawie otrzymanych danych program wyznacza przebytą przez wózek drogę oraz prędkość i przyspieszenie w kolejnych rejestrowanych punktach. Również i tym razem interesują nas wykresy przebytej drogi oraz prędkości, dlatego przed dokonaniem pomiarów przygotowu-jemy program podług znanego już sposobu. Pożądane przebiegi mają charakter identyczny jak te z poprzedniego doświadczenia.

Pomiar niczym nie różni się od tego, który stosowany jest przypadku spadku swobodnego przy odczytaniu wartości przyspieszenia ziemskiego. Natomiast parametr, który jest wyznaczany, nie jest przyspieszeniem ziemskim, lecz przyspieszeniem wózka. Jedynie sczytywanie odchylenia standardowego tej wielkości można pominąć. Pomiary i obliczenia można wykonywać dla różnych kątów nachylenia równi oraz różnych obciążeń przeciwwagi.

Wyniki pomiarów

Znane są wielkości:

• masa wózka - 362 g

• masa pręta do zawieszania ciężarków - 10,44 g

Spadek swobodny.

Doświadczenie zostało przeprowadzone zgodnie z opisem zawartym w „metodzie pomiarowej”. Wykonana została seria dziesięciu pomiarów. Poniższa tabela prezentuje otrzymane wyniki.

Lp.	g [m/s^2]	Δg [m/s^2]
1	9,8147	0,1496
2	9,5778	0,8788
3	9,9014	0,5089
4	10,0683	0,9417
5	9,9419	0,6478
6	9,6938	0,4015
7	9,8681	0,3870
8	9,7060	0,6873
9	9,7758	0,9101
10	10,0828	0,8547

Równia pochyła.

Doświadczenie zostało przeprowadzone zgodnie z opisem zawartym w „metodzie pomiarowej”. Przyspieszenie wyznaczano dla czterech różnych kątów nachylenia równi oraz czterech różnych obciążeń dla każdego z nich - łącznie dla szesnastu przypadków. Poniższa tabela prezentuje otrzymane wyniki.

Lp.	kąt nachy-lenia równi α [º]	obciążenie przeciw-wagi m1 [g]	przyspie-szenie wózka a [m/s^2]
1	10	10	0,5158
2			15	0,4377
3			25	0,2812
4			45	0,0120
5		15	10	1,0599
6			25	0,7582
7			45	0,3588
8			65	0,1140
9		20	10	1,6746
10			30	1,1665
11			50	0,7410
12			100	0,0063
13		25	10	2,2641
14			30	1,7339
15			50	1,2869
16			100	0,3620

Obliczenia

Spadek swobodny.

Na podstawie serii otrzymanych wyników pomiaru przyspieszenia ziemskiego i jego odchylenia standardowego obliczam średnią arytmetyczną dla obu wielkości.

Zaokrąglam wynik błędu najpierw do dwóch znaczących cyfr, potem do jednej i sprawdzam czy druga z kolei operacja zmienia wartość wyniku pierwszej o więcej niż 10%.

Zostawiam więc zaokrąglenie błędu do jednej znaczącej cyfry:

.

Wartość przyspieszenia ziemskiego zaokrąglam do miejsca, do którego wyznaczony jest błąd. Zatem ostatecznie:

.

Równia pochyła.

Dla każdego pomiaru obliczam współczynnik tarcia na podstawie wzoru wyprowadzonego w „metodzie pomiarowej” dla ruchu ciała po równi pochyłej z uwzględnieniem pozostałych potrzebnych danych. Należy pamiętać, że do obciążenia przeciwwagi należy dodać masę pręta, na którym zawieszone były ciężarki (w bezpośrednich pomiarach uwzględniono jedynie ich masę).

Przykładowe wyliczenia dla kąta nachylenia równi α = 10º.

m = 0,362 kg

g = 9,8 m/s²

α = 10º

1.

m₁ = 10 + 10,44 = 20,44 g = 0,02044 kg

a = 0,5158 m/s²

2.

m₁ = 15 + 10,44 = 25,44 g = 0,02544 kg

a = 0,4377 m/s²

3.

m₁ = 25 + 10,44 = 35,44 g = 0,03544 kg

a = 0,2812 m/s²

4.

m₁ = 45 + 10,44 = 55,44 g = 0,05544 kg

a = 0,012 m/s²

Wyniki obliczeń dla wszystkich pomiarów przedstawia poniższa tabela.

Lp.	kąt nachy-lenia równi α [º]	obciążenie przeciw-wagi m1 [g]	przyspie-szenie wózka a [m/s^2]	współczynnik tarcia μ
1	10	10	0,5158	0,0625
2			15	0,4377	0,0564
3			25	0,2812	0,0449
4			45	0,0120	0,0194
5		15	10	1,0599	0,0912
6			25	0,7582	0,0787
7			45	0,3588	0,0657
8			65	0,1140	0,0376
9		20	10	1,6746	0,1118
10			30	1,1665	0,1043
11			50	0,7410	0,0924
12			100	0,0063	0,0384
13		25	10	2,2641	0,1347
14			30	1,7339	0,1260
15			50	1,2869	0,1130
16			100	0,3620	0,0765

Na podstawie otrzymanych wyników współczynnika tarcia obliczam jego średnią i jej odchylenie standardowe (kalkulacje dokonywane w Excelu).

Stosuję procedurę zaokrąglania (identycznie jak dla przyspieszenia ziemskiego).

Zostawiam więc wynik błędu zaokrąglony do dwóch znaczących cyfr:

.

Wartość współczynnika tarcia zaokrąglam do miejsca, do którego wyznaczony został błąd. Zatem ostatecznie:

Poniżej w tabeli znajdują się końcowe wyniki.

przyspieszenie ziemskie	współczynnik tarcia

Wnioski

Obliczone przyspieszenie ziemskie jest zgodne z wielkością tablicową. Dokładność pomiaru może być sporna, ponieważ intuicyjnie wiele czynników mogło na nią wpływać podczas wykonywania pomiaru, mimo że błąd nie jest duży. Znacznie trudniej jest mówić o niemałej dokładności pomiaru w przypadku drugiego doświadczenia. Spore zróżnicowanie wartości współczynnika tarcia dla różnych warunków wskazuje na bardzo małą dokładność zestawu pomiarowego. Zastrzeżenia mógł choćby budzić śliski sznurek, który przewieszony był przez krążek - element istotny dla pomiarów. Przy niewielkich ciężarach mogło bowiem tym bardziej dochodzić do poślizgu, co skutecznie wpływało na niewłaściwą prędkość obrotu krążka. Ponadto koła wózka, oprawione w nierówne gumowe pierścienie, wprawiały go w nieregularny ruch. Niedokładność uzyskanych wyników odzwierciedla duży błąd w stosunku do wartości współczynnika tarcia.

- 8 -

---