Strumień ciepła doprowadzonego do elementu płynu może być skutkiem reakcji chemicznych, przewodnictwa cieplnego, promieniowania, jonizacji i innych procesów. Uwzględnimy tylko strumień ciepła dostarczony drogą przewodnictwa cieplnego; jego zmiana w kierunku osi x (rys. 8.5) wynosi

Składowa gęstości strumienia ciepła jest określona zgodnie z prawem Fouriera wzorem

(8.23)

gdzie jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, zależnym - w ogólnym przypadku - od temperatury i ciśnienia.

Analogicznie otrzymuje się zmiany strumienia ciepła w pozostałych kierunkach osi współrzędnych, co pozwala na zapisanie strumienia ciepła
w postaci równania

(8.24)

Wynikiem połączenia wszystkich uzyskanych rezultatów jest równanie zachowania energii

(8.25)

które - po podstawieniu zależności dla naprężeń (8.4), (8.5), (8.11) i wykorzystaniu oznaczeń (3.25) - można przedstawić następująco

(8.26)

Równanie (8.26) możemy przekształcić w sposób czysto formalny i wprowadzić entalpię (7.7). Po wykorzystaniu tożsamości

(8.27)

oraz równania ciągłości (3.18)

(8.28)

mamy

(8.29)

Mnożąc kolejne równania ruchu (8.13) przez składowe prędkości
oraz dodając je stronami uzyskamy równanie określające zmianę energii wewnętrznej płynu
Jeśli równanie to odejmiemy następnie stronami od równania energii (8.25), to otrzymamy równanie

, (8.30)

w którym jest składnikiem reprezentującym dyssypację energii mechanicznej

(8.31)

tzn. tę część pracy sił powierzchniowych, która nie ulega przekształceniu na energię kinetyczną płynu, ale na jego energię wewnętrzną, powodując podwyższenie temperatury płynu.

Równanie (8.30), przy wykorzystaniu zależności (8.28) i (7.7), można zapisać również w postaci

(8.32)

Z kolei zajmiemy się zmianami entropii zachodzącymi w elemencie gazu. Opierając się na związkach (7.8) i (7.11) mamy

(8.33)

Z porównania zależności (8.32) i (8.33) otrzymamy wzór

(8.34)

z którego wynika, że zmiany energii płynu zależą wyłącznie od efektów dyssypatywnych, tzn. od lepkości i przewodności cieplnej. Oznacza to, że entropia poruszającego się elementu płynu jest stała, jeśli płyn jest nielepki i nie przewodzi ciepła.

8.4. Podstawowe zagadnienie mechaniki p*yn*w

Podstawowe zagadnienie mechaniki płynów polega na wyznaczeniu ruchu płynu w sąsiedztwie zadanego ciała i sprowadza się do rozwiązania układu równań różniczkowych wynikających z praw zachowania, z odpowiednimi warunkami brzegowymi i początkowymi.

Układ równań dla płynu lepkiego i ściśliwego, doskonałego w sensie termodynamicznym, składa się z równania ciągłości (3.18), trzech równań ruchu (8.13), równania zachowania energii (8.26) i układu równań (1.13) ÷ (1.15). Możliwe jest zatem wyznaczenie sześciu niewiadomych funkcji:
- przy założeniu, że znane są zależności wyznaczające lepkość płynu μ i przewodność cieplną λ - przykładem takiej zależności jest wzór (1.8).

Warunki początkowe , formułowane tylko dla niestacjonarnych ruchów płynu, charakteryzują stan ruchu płynu oraz jego stan fizyczny w pewnej chwili uznanej umownie za chwilę początkową badanego zjawiska. Dla musimy więc określić wartości każdej spośród funkcji niewiadomych, np.:

(8.35)

Warunki brzegowe odnoszą się natomiast do brzegu
obszaru przepływu i określają wartość każdej funkcji niewiadomej lub pochodnej tej funkcji w każdym punkcie brzegu obszaru, w dowolnej chwili

W odniesieniu do prędkości płynu warunki brzegowe postulują zazwyczaj „przyklejanie się” płynu do powierzchni ciał stałych (rozdz. 1.3); jeśli powierzchnia brzegowa jest nieruchoma wtedy

(8.36)

Warunki brzegowe dla temperatury T mogą dotyczyć albo samej temperatury, albo jej gradientu, zależnie od tego czy powierzchnia ciała stałego ma zadaną temperaturę, czy też znany jest strumień ciepła transportowanego przez rozważaną powierzchnię. Oprócz tego zwykle zakładamy jednorodność przepływu w nieskończoności; prędkość, ciśnienie, gęstość i temperatura w nieskończoności powinny więc spełniać następujące warunki:

(8.37)

8.5. Formy opisu ruchu cieczy lepkiej

Cieczą lepką nazywać będziemy płyn newtonowski o stałej gęstości, stałej lepkości μ oraz stałej przewodności cieplnej λ. Przy tych założeniach układ równań, składający się z równania ciągłości (3.20) i równania Naviera-Stokesa (8.17):

(8.38)

można rozwiązać niezależnie od równania energii (8.26). Oznacza to, że pole temperatury T jest wyznaczane dopiero po określeniu pola prędkości
i pola ciśnienia p. Temperatura odgrywa więc rolę podrzędną w ruchu cieczy lepkiej, nie wpływa bowiem na prędkość i ciśnienie, co jest konsekwencją przyjęcia stałości μ oraz λ.

Rozwiązywanie układu równań (8.38) dla zmiennych fizycznych:
napotyka na szereg trudności, gdyż równanie ciągłości ma istotnie odmienną budowę od równania Naviera-Stokesa. Z tego też względu układ równań (8.38) jest zastępowany często innymi równaniami równoważnymi albo też stosowane są metody obliczeniowe oparte na wykorzystaniu zmiennych Lagrange'a.

Działając operatorem rotacji na wirowość (3.29)

i wykorzystując równanie ciągłości otrzymamy równanie

(8.39)

które może być użyte zamiast równania ciągłości. Jeśli pole sił masowych jednostkowych
jest potencjalne, to taka sama operacja zastosowana do równania Naviera-Stokesa zezwala na uzyskanie równania Helmholtza

(8.40)

którego lewa strona wynika z przekształcenia zależności (4.4) za pomocą operatora rotacji, po podstawieniu:
(przykł. 4.8)

Równania (8.39) i (8.40) tworzą układ równań, który musi być uzupełniony nieznanymi warunkami brzegowymi dla wektora wirowości
- wyznaczanymi w trakcie obliczeń. Ponadto, w otrzymanym układzie równań, przybliżone wartości składowych prędkości mogą nie spełniać równania ciągłości. Tę niedogodność układu (8.39) ÷ (8.40) można usunąć wprowadzając potencja* wektorowy

zdefiniowany wzorem

(8.41)

równanie ciągłości jest w tym przypadku spełnione tożsamościowo, ponieważ

Istniejąca pewna dowolność w określaniu
- wzór (12.31) - pozwala na przyjęcie założenia, że
tworzy pole solenoidalne

(8.42)

i wtedy z (8.41) mamy

(8.43)

Równania (8.40) i (8.43) tworzą zamknięty układ równań dla wektorów
i
po uprzednim wykorzystaniu zależności (8.41).

Inne możliwości zmodyfikowania układu równań (8.38) mogą polegać na wykorzystaniu zamiast równania ciągłości równania Poissona dla ciśnienia, otrzymanego jako wynik działania operatora diwergencji na obie strony równania Naviera-Stokesa, lub też na przyjęciu koncepcji sztucznej ściśliwości, która może być zastosowana przy wyznaczaniu stacjonarnych przepływów cieczy lepkiej. Zakładając zmienność gęstości według zależności

(8.44)

gdzie
jest gęstością cieczy nieściśliwej, - małym parametrem, możemy równanie ciągłości (3.18) zapisać następująco

(8.45)

przy pominięciu członów
Biorąc pod uwagę dodatkowo związek (7.18), mały parametr ε możemy zastąpić również prędkością c rozchodzenia się nieskończenie słabych zaburzeń; otrzymamy

(8.46)

*

Wielkie trudności matematyczne związane z wyznaczaniem rozwiązań pełnego układu (8.38) lub też układów równoważnych, zachęcały do badania szczególnych klas przepływów, dla których pewne składniki równania Naviera-Stokesa stają się pomijalnie małe, tak że można je odrzucić i uzyskać tą drogą równania zlinearyzowane, łatwiejsze do rozwiązania.

Jedna z takich uproszczonych form została zaproponowana przez Stokesa dla przypadku powolnego ruchu ciała w cieczy o dużej lepkości, gdy siły spowodowane lepkością są znacznie większe od sił bezwładności - wobec czego te ostatnie można pominąć. Zakładając
i ruch stacjonarny otrzymamy równanie Stokesa

(8.47)

W zagadnieniu opisywanym układem równań (8.38a) i (8.47) tkwi jednak swego rodzaju wewnętrzna sprzeczność. Okazuje się bowiem, że odrzucone z założenia siły masowe w równaniu rządzącym przepływem, stają się - w dostatecznie dużej odległości od ciała opływanego - większe od sił lepkości; ich odrzucenie jest więc usprawiedliwione tylko w obszarach bliskich ścianek ciała stałego. Ponadto okazuje się (przykł. 8.6), że zagadnienie to dla płaskiego opływu ciała w ogóle nie ma rozwiązania - paradoks Stokesa (przy założeniu, że w obszarze rozwiązania nie ma żadnych osobliwości).

Paradoks Stokesa nie wystąpi, jeśli w równaniach wyjściowych zachowane będą pewne składniki całkowitej siły masowej, które w dużej odległości od ciała są porównywalne z siłami lepkości. Tego typu linearyzację równania Naviera-Stokesa zaproponował Oseen postulując alternatywne równanie, nazywane równaniem Oseena , rządzące przepływem cieczy o dużej lepkości

(8.48)

gdzie
jest prędkością strumienia jednorodnego, równoległego do osi x.

Przybliżenie nieliniowe równań Naviera-Stokesa, oparte na koncepcji tzw. warstwy przyściennej, jest omawiane w rozdziale dziewiątym.

*

Postać przedstawionych równań opisujących przestrzenny ruch cieczy lepkiej ulega znacznemu uproszczeniu przy ograniczeniu się do rozwiązania płaskiego ruchu cieczy lepkiej

Stosunkowo najmniejszemu uproszczeniu ulega układ (8.38), który w formie rozwiniętej - po pominięciu pola
sił masowych jednostkowych - przedstawia się następująco:

(8.49)

Równanie Poissona dla ciśnienia otrzymamy po zróżniczkowaniu równania (8.49b) względem x oraz równania (8.49c) względem y, dodaniu ich stronami i odpowiednim wykorzystaniu równania ciągłości (8.49a)

(8.50)

Dzięki znikaniu składowych potencjału wektorowego
i składowych rotacji prędkości
w kierunku osi x i w kierunku osi y, bardzo dużemu uproszczeniu ulegają równania (8.40) i (8.43) - otrzymujemy:

(8.51)

gdzie a jest funkcją prądu (6.7).

Płaski, stacjonarny ruch cieczy lepkiej może być więc opisany - w szczególności - układem równań:

(8.52)

lub też równoważnym quasi-liniowym równaniem czwartego rzędu dla funkcji prądu

(8.53)

8.6. Hydrodynamiczna teoria smarowania

Hydrodynamiczna teoria smarowania objaśnia zjawiska występujące w cienkiej warstwie oleju - zwanej filmem olejowym - wypełniającej szczelinę pomiędzy dwiema gładkimi, poruszającymi się względem siebie powierzchniami. Zjawiska takie obserwowane są w łożyskach ślizgowych maszyn wirnikowych i tłokowych, w przekładniach zębatych i wielu innych węzłach tarcia różnych maszyn - pracujących w mgle olejowej.

Rys. 8.6

W celu wyprowadzenia podstawowych równań hydrodynamicznej teorii smarowania obieramy układ współrzędnych
- w taki sposób, żeby powierzchnie ograniczające przepływ (
na rys. 8.6) mogły być opisane równaniami:

(8.54)

Opis taki umożliwia określenie wielkości szczeliny między powierzchniami za pomocą różnicy tych funkcji

(8.55)

oraz wprowadzenie pomocniczego układu współrzędnych

(8.56)

Niech powierzchnie ograniczające przepływ:
poruszają się z prędkościami, odpowiednio,  i .

Ze względu na małą grubość warstwy smarnej (rzędu mikrometrów) występuje w niej laminarny ruch oleju, ale panujące w obszarze styku ciał bardzo wysokie ciśnienia (rzędu megapascali) powodują konieczność uwzględnienia zarówno ściśliwości oleju, jak i silnej zależności jego lepkości od ciśnienia. Przepływ oleju w szczelinie między współpracującymi elementami maszyn musi więc być opisany najogólniejszymi równaniami mechaniki płynów: równaniem ciągłości (3.16), równaniami Naviera-Stokesa (8.13) i równaniem energii (8.26). Ponieważ jednak grubość filmu olejowego jest bardzo mała w porównaniu z powierzchniami węzłów tarcia, możemy wprowadzić założenia upraszczające - wynikające z faktu, że zmiany parametrów hydrodynamicznych w kierunku normalnym do powierzchni  i powierzchni są dużo większe od zmian w kierunkach stycznych. Przy tych założeniach równania Naviera-Stokesa przepisujemy w postaci:

(8.57)

i następnie pomijamy wszystkie siły masowe jako małe w porównaniu z siłami ciśnieniowymi i siłami tarcia:

(8.58)

Po uśrednieniu temperatury i lepkości oleju w każdym przekroju poprzecznym warstwy smarnej, możemy obliczyć składowe prędkości w kierunku osi x i y:

(8.59)

gdzie
są składowymi wektorów prędkości, z jakimi poruszają się powierzchnie (rys. 8.6).

Scałkujemy teraz uproszczone równanie ciągłości (3.16) w granicach od

do

(8.60)

227

---