RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ CZ.2
Definicja 1. (zbiór wypukły)
- wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy
odcinek o końcach x1, x2 jest zawarty w 
.
Inaczej mówiąc, jeżeli potrafimy pokazać taki odcinek, którego końce należą do zbioru 
, a on sam nie zawiera się w tym zbiorze, to 
nie jest zbiorem wypukłym.
Definicja 2. (wypukłość funkcji)
Funkcja y = f (x) jest wypukła ku górze w 
wtedy i tylko wtedy, gdy:
Funkcja y = f(x) jest wypukła ku dołowi w przedziale w 
wtedy i tylko wtedy, gdy:
Zauważmy, że y = f(x0) + f'(x0)(x-x0) jest to równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0,f(x0)), więc powyższą definicję można rozumieć tak:
Funkcja y = f(x) jest wypukła ku górze w 
wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji w tym przedziale leży powyżej stycznej poprowadzonej w dowolnym punkcie o odciętej x0∈ 
.
Funkcja y = f(x) jest wypukła ku dołowi w 
wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji w tym przedziale leży poniżej stycznej poprowadzonej w dowolnym punkcie o odciętej x0∈ 
.
Definicja 3. (punkt przegięcia)
Punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy przy przejściu przez ten punkt zmienia się wypukłość funkcji.
Inaczej: (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy
f -wypukła ku górze
i jednocześnie 
f -wypukła ku dołowi
lub
f -wypukła ku dołowi
i jednocześnie 
f -wypukła ku górze.
Definicja 4. (ekstremum lokalne)
Niech 
- otoczenie punktu 
o promieniu 
.
=
.
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeśli
takie, że 
mamy 
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeśli
takie, że 
mamy 
.
Definicja 5.
Drugą pochodną funkcji 
w punkcie 
nazywamy pochodną pierwszej pochodnej funkcji 
w punkcie 
i oznaczamy 
.
Czyli:
.
Uwaga.
Kolejne pochodne funkcji 
w punkcie 
definiujemy następująco:
Definicja 6.
Przestrzeń funkcji ciągłych i n razy różniczkowalnych w sposób ciągły w przedziale 
oznaczamy:
Badanie monotoniczności funkcji.
Niech funkcja 
.
Wówczas:
Jeśli 
, to funkcja rośnie w tym przedziale.
Jeśli 
, to funkcja maleje w tym przedziale.
Jeśli 
,to funkcja jest stała w tym przedziale.
Badanie wypukłości funkcji.
Jeżeli 
i 
, to funkcja jest wypukła ku górze w 
.
Jeżeli 
i 
, to funkcja jest wypukła ku ku dołowi w 
.
Warunek konieczny istnienia ekstremum
funkcji w punkcie.
Funkcja ciągła 
ma w punkcie 
minimum lub maksimum lokalne, jeśli 
nie istnieje lub 
.
Badanie istnienia ekstremów lokalnych funkcji.
Niech 
i 
.
Metoda porównywania znaków pochodnej
Jeśli 
,
to funkcja 
ma w punkcie 
maksimum lokalne.
(tzn. jeśli pierwsza pochodna zmienia znak z „+” na „-” przy „przejściu” przez punkt 
).
Jeśli 
,
to funkcja 
ma w punkcie 
maksimum lokalne.
(tzn. jeśli pierwsza pochodna zmienia znak z „-” na „+” przy „przejściu” przez punkt 
).
Metodę porównywania znaków pochodnej można zastosować również do tych wartości 
, w których pochodna nie istnieje.
Metoda pochodnych wyższych rzędów.
Jeśli 
, to 
ma minimum lokalne w punkcie 
.
Jeśli 
, to 
ma maksimum lokalne w punkcie 
.
Jeśli natomiast okaże się, że 
, to obliczamy kolejne pochodne 
aż dojdziemy do takiej pochodnej, która w punkcie 
nie równa się zeru.
Jeśli pierwszą z pochodnych różnych od zera jest pochodna 
gdzie 
liczba parzysta, to funkcja 
ma w punkcie 
minimum lokalne, gdy 
, a maksimum lokalne gdy 
.
Badanie istnienia ekstremów globalnych funkcji.
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale 
, obliczamy wszystkie jej maksima i minima lokalne wewnątrz tego przedziału, a także obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału, w punktach nieciągłości funkcji i w punktach nieciągłości jej pochodnej.
Następnie ustalamy, która z obliczonych wartości jest największa, a która najmniejsza.
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia.
Funkcja 
ma w 
punkt przegięcia, jeśli 
nie istnieje lub 
.
Badanie istnienia punktów przegięcia.
Jeśli 
i pierwsza pochodna nie zmienia znaku przy „przejściu” przez punkt 
, to funkcja ma w 
punkt przegięcia, w którym styczna jest równoległa do osi 
.
Niech teraz 
i 
.
Metoda porównywania znaków pochodnej
Jeśli
lub
,
to funkcja 
ma w 
punkt przegięcia.
Tzn. jeśli druga pochodna zmienia znak z „+” na „-” lub z „-” na „+” przy „przejściu” przez punkt 
, wówczas zmieni się także kierunek wypukłości krzywej, to mamy w 
punkt przegięcia.
Metodę porównywania znaków pochodnej można zastosować również do tych wartości 
, w których druga pochodna nie istnieje.
Metoda pochodnych wyższych rzędów.
Jeśli 
oraz 
, to funkcja 
ma w 
punkt przegięcia.
Jeśli natomiast okaże się, że również 
, to obliczamy kolejne pochodne 
aż dojdziemy do takiej pochodnej, która w punkcie 
nie równa się zeru.
Wówczas jeżeli pierwsza różniąca się od zera pochodna będzie rzędu nieparzystego, to w 
jest punkt przegięcia.
A'
x'
x”
f(x)
y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
x0
b
a
y
x
x
y
a
b
x0
y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
f(x)
p.p.
p.p.
y
x
Wyszukiwarka