Równania różniczkowe liniowe cząstkowe rzędu drugiego.
Def. RR cząstkowym liniowym rzędu drugiego funkcji niewiadomej 
nazywamy równanie
(1)
, gdzie funkcje 
są klasy 
w pewnym obszarze 
.
Def. Wyróżnikiem równania (1) nazywamy funkcję
(2) 
Def. Jeżeli w każdym punkcie obszaru 
(a) 
, to równanie (1) jest typu hiperbolicznego
(b) 
, to równanie (1) jest typu parabolicznego
(c) 
, to równanie (1) jest typu hiperbolicznego
Przykładami kolejnych trzech typów są następujące równania
Równanie fali płaskiej lub struny drgającej
Równanie przewodnictwa cieplnego
Równanie Laplace'a na płaszczyźnie
Jeśli znaku wyróżnika nie da się ustalić , to równanie (1) nazywamy typu mieszanego
Ćwiczenie . Znaleźć obszary w których równanie jest hiperboliczne, eliptyczne, paraboliczne
Tw.1 . Znak wyróżnika 
nie ulega zmianie przy dowolnej zmianie zmiennych
(3) 
gdzie funkcje 
, 
mają ciągłe pochodne cząstkowe i wyznacznik(jakobian)
jest różny od zera w obszarze 
Def. Wyznacznik 
nazywamy jakobianem, a przekształcenia (3) dla których jakobian jest różny od zera przekształceniami nieosobliwymi lub jakobiano - niezależnymi.
Fakt, że jakobian jest różny od zera gwarantuje lokalną odwracalność przekształcenia względem 
, tzn 
Przechodząc do nowych zmiennych 
otrzymujemy równanie cząstkowe rzędu drugiego funkcji niewiadomej 
następującej postaci
gdzie
Charakterystyki równania różniczkowego liniowego cząstkowego
Def. Charakterystykami RR cząstkowego nazywamy rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych
Równania te można zapisać w postaci
lub
Z wzorów tych wynika, że równania typu hiperbolicznego (
) ma dwie charakterystyki
(4) 
, 
gdzie 
, 
są całkami pierwszymi.
Równanie typu parabolicznego (
) ma jedną charakterystykę rzeczywistą
(5) 
.,
a równanie typu eliptycznego (
) dwie charakterystyki zespolone. ,
(6) 
, 
Przykład . Znaleźć charakterystyki równania
(a) 
Równanie jest typu hiperbolicznego, 
Charakterystyki równania maja postać 
Rozwiązaniami układu RR zwyczajnych 
i 
są 
, 
i to są charakterystyki równania (a)
(b) 
Równanie jest typu eliptycznego, 
Charakterystyki równania mają postać 
Rozwiązaniami układu RR zwyczajnych 
i 
są 
i 
. Stąd 
i 
Tw 2. Istnieją nieosobliwe przekształcenie zmiennych typu (3), za pomocą których RR (1) można sprowadzić do następujących postaci kanonicznych
w przypadku RR typu hiperbolicznego (
)
w przypadku RR typu parabolicznego (
)
w przypadku RR typu eliptycznego (
)
Jeżeli RR (1) jest typu hiperbolicznego i chcemy uzyskać jego postać kanoniczną , to przechodzimy do nowych zmiennych 
określonych wzorami
gdzie 
są funkcjami występującymi w zależnościach (4)
Jeżeli RR (1) jest typu parabolicznego i chcemy uzyskać jego postać kanoniczną, to przechodzimy do nowych zmiennych 
określonych wzorami
lub
gdzie 
jest funkcją występującą w zależności (5), a 
jest dowolną funkcją jakobianowi niezależną od 
.
Jeżeli RR (1) jest typu eliptycznego i chcemy uzyskać jego postać kanoniczną , to przechodzimy do nowych zmiennych 
określonych wzorami
gdzie 
są funkcjami występującymi w zależnościach (6).
Przykład . Sprowadzić równanie cząstkowe
(a) 
do postaci kanonicznej, a następnie rozwiązać je przy danych warunkach początkowych
(b) 
, 
Równanie jest typu hiperbolicznego 
. Znajdziemy postać kanoniczną RR (a). W tym celu rozwiążemy równanie charakterystyk
Przedstawiają one układ równań zwyczajnych
, 
Skąd otrzymujemy dwie całki pierwsze
Dokonujemy zamiany zmiennych
Łatwo sprawdzić, że 
Obliczamy na podstawie wzorów 
, 
, 
.
Wobec tego RR (a) przejdzie w równanie
Rozwiązaniem równania jest funkcja 
. Podstawiając wzory na zamianę zmiennych mamy
(c) 
Z warunków początkowych (b) wynika, że rozwiązanie (c) musi spełniać równania
(d) 
Rozwiązując układ równań (d) otrzymujemy kształt funkcji 
.
, 
. stąd 
Przykład. Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie cząstkowe
(a) 
Równanie jest typu parabolicznego, ponieważ 
Rozwiązujemy charakterystyki
(b) 
Skąd (c) 
Równanie (c) ma całkę pierwszą 
. Ażeby sprowadzić RR do postaci kanonicznej określamy przekształcenie
, 
. Funkcje są jakobianowo niezależne.
Obliczamy 
, 
, 
oraz
I podstawiamy do wzorów (*,*). Stąd
, 
, 
, 
Postać kanoniczna równania jest następująca
(d) 
RR (d) możemy rozwiązać podstawiając za 
.
Wówczas RR (d) przyjmie postać 
. Jest to RR liniowe .Rozwiązaniem tego równania jest 
. Wobec czego 
, a stąd
Przykład . Sprowadzić do postaci kanonicznej RR cząstkow
(a) 
RR jest typu eliptycznego 
Rozwiązujemy równania charakterystyk 
Ażeby sprowadzić RR do postaci kanonicznej określamy przekształcenie
, 
Obliczamy 
, 
,
Równanie (a) przejdzie w równanie .
.
Wyszukiwarka