Równania różniczkowe liniowe cząstkowe rzędu drugiego.

Def. RR cząstkowym liniowym rzędu drugiego funkcji niewiadomej
nazywamy równanie

(1)
, gdzie funkcje
są klasy
w pewnym obszarze
.

Def. Wyróżnikiem równania (1) nazywamy funkcję

(2)

Def. Jeżeli w każdym punkcie obszaru

(a)
, to równanie (1) jest typu hiperbolicznego

(b)
, to równanie (1) jest typu parabolicznego

(c)
, to równanie (1) jest typu hiperbolicznego

Przykładami kolejnych trzech typów są następujące równania

1. Równanie fali płaskiej lub struny drgającej

2. Równanie przewodnictwa cieplnego

3. Równanie Laplace'a na płaszczyźnie

Jeśli znaku wyróżnika nie da się ustalić , to równanie (1) nazywamy typu mieszanego

Ćwiczenie . Znaleźć obszary w których równanie jest hiperboliczne, eliptyczne, paraboliczne

Tw.1 . Znak wyróżnika
nie ulega zmianie przy dowolnej zmianie zmiennych

(3)

gdzie funkcje
,
mają ciągłe pochodne cząstkowe i wyznacznik(jakobian)

jest różny od zera w obszarze

Def. Wyznacznik
nazywamy jakobianem, a przekształcenia (3) dla których jakobian jest różny od zera przekształceniami nieosobliwymi lub jakobiano - niezależnymi.

Fakt, że jakobian jest różny od zera gwarantuje lokalną odwracalność przekształcenia względem
, tzn

Przechodząc do nowych zmiennych
otrzymujemy równanie cząstkowe rzędu drugiego funkcji niewiadomej
następującej postaci

gdzie

Charakterystyki równania różniczkowego liniowego cząstkowego

Def. Charakterystykami RR cząstkowego nazywamy rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych

Równania te można zapisać w postaci

lub

Z wzorów tych wynika, że równania typu hiperbolicznego (
) ma dwie charakterystyki

(4)
,

gdzie
,
są całkami pierwszymi.

Równanie typu parabolicznego (
) ma jedną charakterystykę rzeczywistą

(5)
.,

a równanie typu eliptycznego (
) dwie charakterystyki zespolone. ,

(6)
,

Przykład . Znaleźć charakterystyki równania

(a)

Równanie jest typu hiperbolicznego,

Charakterystyki równania maja postać

Rozwiązaniami układu RR zwyczajnych
i
są
,
i to są charakterystyki równania (a)

(b)

Równanie jest typu eliptycznego,

Charakterystyki równania mają postać

Rozwiązaniami układu RR zwyczajnych
i
są
i
. Stąd
i

Tw 2. Istnieją nieosobliwe przekształcenie zmiennych typu (3), za pomocą których RR (1) można sprowadzić do następujących postaci kanonicznych

w przypadku RR typu hiperbolicznego (
)

w przypadku RR typu parabolicznego (
)

w przypadku RR typu eliptycznego (
)

Jeżeli RR (1) jest typu hiperbolicznego i chcemy uzyskać jego postać kanoniczną , to przechodzimy do nowych zmiennych
określonych wzorami

gdzie
są funkcjami występującymi w zależnościach (4)

Jeżeli RR (1) jest typu parabolicznego i chcemy uzyskać jego postać kanoniczną, to przechodzimy do nowych zmiennych
określonych wzorami

lub

gdzie
jest funkcją występującą w zależności (5), a
jest dowolną funkcją jakobianowi niezależną od
.

Jeżeli RR (1) jest typu eliptycznego i chcemy uzyskać jego postać kanoniczną , to przechodzimy do nowych zmiennych
określonych wzorami

gdzie
są funkcjami występującymi w zależnościach (6).

Przykład . Sprowadzić równanie cząstkowe

(a)

do postaci kanonicznej, a następnie rozwiązać je przy danych warunkach początkowych

(b)
,

Równanie jest typu hiperbolicznego
. Znajdziemy postać kanoniczną RR (a). W tym celu rozwiążemy równanie charakterystyk

Przedstawiają one układ równań zwyczajnych

,

Skąd otrzymujemy dwie całki pierwsze

Dokonujemy zamiany zmiennych

Łatwo sprawdzić, że

Obliczamy na podstawie wzorów

,
,
.

Wobec tego RR (a) przejdzie w równanie

Rozwiązaniem równania jest funkcja
. Podstawiając wzory na zamianę zmiennych mamy

(c)

Z warunków początkowych (b) wynika, że rozwiązanie (c) musi spełniać równania

(d)

Rozwiązując układ równań (d) otrzymujemy kształt funkcji
.

,
. stąd

Przykład. Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie cząstkowe

(a)

Równanie jest typu parabolicznego, ponieważ

Rozwiązujemy charakterystyki

(b)

Skąd (c)

Równanie (c) ma całkę pierwszą
. Ażeby sprowadzić RR do postaci kanonicznej określamy przekształcenie

,

. Funkcje są jakobianowo niezależne.

Obliczamy
,

,

oraz

I podstawiamy do wzorów (*,*). Stąd

,
,
,

Postać kanoniczna równania jest następująca

(d)

RR (d) możemy rozwiązać podstawiając za
.

Wówczas RR (d) przyjmie postać
. Jest to RR liniowe .Rozwiązaniem tego równania jest
. Wobec czego
, a stąd

Przykład . Sprowadzić do postaci kanonicznej RR cząstkow

(a)

RR jest typu eliptycznego
Rozwiązujemy równania charakterystyk

Ażeby sprowadzić RR do postaci kanonicznej określamy przekształcenie

,

Obliczamy
,
,

Równanie (a) przejdzie w równanie .
.