Co ciekawsze wzory i algorytmy

NIE ZAWSZE PODANE SĄ WYPROWADZENIA WZORÓW, TYLKO KONCOWE ALGORYTMY !!!

Liczby zespolone

• 
  jest to jednostka urojona oraz
  

• Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej

• dodawanie
  ,
  ,
  

• mnożenie
  

• Dygresja: dla liczb zespolonych
  liczba postaci
  nazywa się liczbą sprzężoną do liczby Z

• Postać trygonometryczna liczby zespolonej
  
  gdzie:
  .
  Natomiast
  jest argumentem liczby zespolonej, jeżeli
  to
  jest argumentem głównym liczby zespolonej.

• Mnożenie liczb danych w postaci trygonometrycznej
  
  
  
  Podobnie przy dzieleniu:
  
  

• Przypadek 1 pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej
  n=2 x,y - szukane a,b - dane
  
  [teraz podniesiemy obie strony równania do kwadratu]
  
  
  
  porównujemy Re oraz Im obu liczb
  Otrzymujemy układ 2 równań:
  rozwiązując ten układ znajdujemy szukane x,y.

• Przypadek 2
  Rozwiąż równanie kwadratowe
  
  

• Przypadek 3 pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej
  W tym przypadku przewidujemy, że pierwiastek z liczby zespolonej będzie liczbą zespoloną daną w postaci trygonometrycznej tzn.:
  
  
  Np.
  Obliczyć
  
  
  
  Zamienimy 1 na postać trygonometryczną
  
  
  
  
  
  
  

• Przypadek 4
  Obliczyć wartość wyrażenia (ile to k… jest ?)
  
  
  

• Uwaga !!!
  
  
  

• Dygresja: wzory redukcyjne
  Dla ćwiartki II
  
  Dla ćwiartki III
  
  Dla ćwiartki IV
  
  
  Do tego należy uwzględnić znak jaki dana funkcja przyjmuje w konkretnej ćwiartce !!!
  Można także określać przy pomocy tangensa !!!

Macierze i wyznaczniki

Macierz to coś takiego:

np.

Wyznacznik macierzy jest LICZBĄ !!!

Dla macierzy 2x2
wyznacznik tej macierzy oblicza się

Dla macierzy 3x3 (wymiaru) stosuje się schemat Sarussa

Dla macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru wyznacznik można obliczyć za pomocą tzw. rozwinięcia Laplace'a !!!

Jeżeli w wyznaczniku skreślimy pewien wiersz i pewną kolumnę to tak otrzymany wyznacznik jest podwyznacznikiem lub minorem.

posiada minorów 9 m.in.

Do obliczania wyznacznika dowolnego stopnia służy tzw. rozwinięcie Laplace'a (w tym również do wyznacznika stopnia 2 i 3). Rozwinięcie Laplace'a polega na rozwijaniu wyznacznika wg pewnego ustalonego wiersza lub pewnej ustalonej kolumny np.:

dla tego wyznacznika rozwinięcie Laplace'a wg 1 wiersza ma postać

czyli:

Rozważmy układ równań liniowych

układ ten ma n równań i n niewiadomych

Wyznacznik postaci:

jest wyznacznikiem głównym tego układu

Jeżeli wyznacznik główny układu równań * jest różny od 0 to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie w postaci:

Są to wzory Cramera

Gdzie:

Ciekawa własność:

Przykładzik

Kolejność przekształceń:

• Wyciągnąć 2 z 3 wiersza

• Przemnożyć 2 kolumnę przez -2 i dodać do kolumny 1

• Przemnożyć 4 wiersz razy 3 i dodać do 1 wiersza

• Rozwinąć Laplace'm wg 1 kolumny

• Wyciągnąć 2 z 2 kolumny

• Przemnożyć 3 wiersz razy 5 i dodać do 1 wiersza

• Przemnożyć razy -1 3 wiersz i dodać do 2 wiersza

• Rozwinąć Laplace'm wg 1 kolumny

• Wyciągnąć 2 z 1 kolumny

• Obliczyć wyznacznik

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

Macierzą odwrotną do danej macierzy kwadratowej A nazywamy macierz oznaczoną A^-1, taką że jeśli pomnożymy ją z lewej lub prawej strony przez macierz A to otrzymamy macierz jednostkową A·A^-1=A^-1·A=E

Dla każdej macierzy kwadratowej nieosobliwej (det≠0) istnieje macierz odwrotna, która można znaleźć wg formuły:

Dla każdego elementu macierzy kwadratowej można znaleźć dopełnienie algebraiczne tego elementu:

Przykład: znaleźć macierz odwrotną dla macierzy A

• Sprawdzamy czy wyznacznik jest różny od 0

• Teraz znajdujemy dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy, czyli będzie ich 9

• Następnie układamy macierz dopełnień algebraicznych

i zamieniamy ją w macierz transponowaną

• Zgodnie z definicją macierzy odwrotnej musimy teraz ów macierz dołączną (dołączoną; czyli transponowaną macierz dopełnień algebraicznych) przemnożyć przez odwrotność wyznacznika macierzy A.

• Na końcu możemy sprawdzić, czy ta macierz jest dobrze znaleziona
  Mnożymy macierz A przez otrzymaną macierz odwrotną, powinniśmy w wyniku tego mnożenia otrzymać macierz jednostkową E.

Rzędem macierzy nazywamy stopień (rozmiar) największego różnego od zera minora wyjętego z tej macierzy.

Np. dla macierzy:

Dla powyższej macierzy B jej rząd nie wynosi 3 gdyż ów minor jest równy 0; natomiast istnieje minor 2na2 różny od 0.

Druga definicja rzędu macierzy

Rząd macierzy jest to największa liczba liniowo niezależnych kolumn tej macierzy

Na rząd macierzy nie wpływają następujące operacje:

• Zamiana miejscami 2 wierszy lub 2 kolumn

• Pomnożenie wiersza lub kolumny przez stałą liczbę

• Pomnożenie wiersza lub kolumny przez stałą liczbę i dodanie do innego wiersza lub kolumny

• Kolumna zer nie wpływa na rząd macierzy, można ją wykreślić

Jeszcze raz to samo, tylko szybciej:

Dygresja: na samym końcu wyciągnęliśmy kolejno z kolumn 1,2 i 3 następujące dzielniki: 21,-44,33.

Przykład dla wzorow cramera

a=-2

m>n więcej równań niż niewiadomych

m<n mniej równań niż niewiadomych

m=n liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, może być układem Cramera jeśli W≠0

W tym układzie mamy

jest to macierz współczynników układu

macierz rozszerzona układu

kolumna wyrazów wolnych

W oparciu o te oznaczenia można sformułować twierdzenie, które rozstrzyga o rozwiązalności układu równań *

Twierdzenie KRONECKERA - CAPELLI'EGO

Układ równań * ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy (n - liczba niewiadomych; m - liczba równań):

rzA = rzA_B przy czym:

rzA = rzA_B = r = n to układ ma jedno rozwiązanie

rzA = rzA_B = r < n to układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów

rzA ≠ rzA_B to układ jest sprzeczny

rzA = rzAB = r		rzA ≠ rzAB
r = n	r < n	układ sprzeczny
układ ma dokładnie jedno rozwiązanie	układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów

I rozwiąż układ równań

rzA=rzA_B=r=2 n=2

aby rozwiązań trzeba odrzucić jedno równanie, takie aby W≠0

II rozwiąż układ równań

rzA=rzA_B=2=r n=3

układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru, umawiamy się że jedna zmienna np. z = t jest parametrem.

Odrzucamy trzecie równanie

Podstawiamy dowolną liczbę za z (czyli t) i obliczamy resztę, możliwości jest nieskończenie wiele

Wektory

Długość wektora PQ to odległość odcinka PQ

Kierunek wektora to prosta, do której ten wektor jest równoległy

Zwrot wektora to jedno z 2 możliwych uporządkowań punktów PQ albo QP

Dwa wektory nazywamy równymi, jeśli mają tą samą długość kierunek i zwrot

Niech w przestrzeni trójwymiarowej R³ będą 2 punkty

P(x_p,y_p,z_p) Q(x_q,y_q,z_q)

Liczby x_q-x_p,y_q-y_p,z_q-z_p

Stanowią współrzędne wektora PQ = [x_q-x_p,y_q-y_p,z_q-z_p]

Np. P(1,3,5) Q(4,8,9) PQ = [3,5,4]

Jeżeli wektor PQ oznaczymy jako
, natomiast liczby x_q-x_{p =} a_x y_q-y_p = a_y z_q-z_p = a_z

to

UWAGA współrzędne wektora są liczbami

Długość wektora:

suma kwadratów współrzędnych wektora

Iloczynem skalarnym wektorów
nazywamy LICZBĘ określoną wzorem

Dla 2 wektorów
mamy:

Z definicji iloczynu skalarnego można znaleźć kąt między wektorami

warunek prostopadłości dwóch wektorów

Iloczyn wektorowy 2 wektorów

Iloczynem wektorowym 2 wektorów
nazywamy trzeci wektor
(zapisujemy
), który posiada:

• Długość
  

• Kierunek wektora jest taki, że
  

• Zwrot wektora c jest taki, że wektory w kolejności a,b,c tworzą układ prawoskrętny (zwrot wektora c jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej)

mamy więc:

Jest to sposób na obliczanie iloczynu wektorowego 2 wektorów, jeśli dane są współrzędne tych wektorów

---