1. Podaj cele kształcenia i wychowania w edukacji matematycznej.

• Kształtowanie pojęcia liczby naturalnej oraz rozumienia czterech podstawowych działań matematycznych.

• Rozwijanie umiejętności schematyzacji i wstępnej matematyzacji w konkretnych sytuacjach życiowych.

• Rozwijanie wyobraźni, aktywności twórczej i zainteresowań matematycznych uczniów.

• Kształtowanie umiejętności posługiwania się symbolami i językiem matematycznym.

• Rozwijanie myślenia matematycznego przez rozwiązywanie zadań tekstowych.

2. Podaj taksonomię celów nauczania matematyki (np. wg Stuckiego).

Taksonomia- hierarchiczne ujęcie celów kształcenia, hierarchiczność taksonomii polega na tym, że wyższe kategorie mieszczą w sobie kategorie niższe, a więc osiąganie celu wyższego mówi nam, że cel niższy został osiągnięty, są to narzędzia operacjonalizacji celu, hierarchiczna klasyfikacja celów dydaktycznych

Cele

Ogólne Szczegółowe

Dydaktyczne Wychowawcze

Cele ogólne dydaktyczne:

1. Przyczynianie się do wszechstronnego rozwoju ucznia:

• rozwijanie ogólnych zdolności poznawczych,

• rozwijanie samodzielnego i logicznego myślenia,

2. Wstępne kształtowanie zrozumienia podstawowych pojęć matematycznych.

3. Opanowanie odpowiednich umiejętności matematycznych.

Cele ogólne wychowawcze:

1. Wdrażanie uczniów do rzetelnej i sumiennej pracy własnej.

2. Wdrażanie do współdziałania w zespole.

3. Przyczynianie się do wyrabiania pożądanych postaw, takich jak:

• umiejętność koncentracji,

• wytrwałość w przezwyciężaniu trudności,

• staranność,

• systematyczność,

• samodzielność,

• krytyczny stosunek do wykonanej pracy,

• kreatywność,

• koleżeńskość,

• odpowiedzialność.

Cele szczegółowe:

1. Kształtowanie zrozumienia:

• pojęcia liczby naturalnej,

• szereg działań arytmetycznych wraz z podstawami techniki rachunkowej.

2. Intuicyjne kształtowanie:

• pojęcia zbioru,

• pojęcia ułamka,

• niektórych pojęć geometrycznych i innych.

3. Rozwijanie umiejętności:

• posługiwania się metodami matematycznymi w codziennym użyciu,

• schematyzacji i wstępnej matematyzacji konkretnych sytuacji oraz umiejętności ich opisywania za pomocą słów, schematów obrazowych i symboli matematycznych.

4. Rozwijanie:

• wyobraźni geometrycznej,

• aktywności twórczej,

• zainteresowań matematycznych,

• przygotowanie do zdobycia umiejętności czytania tekstów matematycznych.

3. Struktura lekcji matematyki (+błędy nauczyciela) i strategie.

Struktura- względnie stały związek części i ich oddziaływań na siebie w całości.

Struktura lekcji matematyki wg Sośnickiego: wg Klemensiewicza:

• Powtarzająca faza przygotowawcza

• Postępująca faza wykonawcza

• Zbierająca faza kontrolna

1. Część wstępna(faza)- przygotowująca i ukierunkowująca pracę uczniów, która zawiera:

• Czynności organizacyjno-porządkowe,

• Sprawdzenie pracy domowej,

• Ćwiczenia w kształtowaniu umiejętności i biegłości rachunku pamięciowego oraz powtórzenie wiadomości.

Błędy popełnione w części wstępnej:

• Zbyt rozciągnięte w czasie czynności organizacyjno-porządkowe,

• Pomijanie uświadomienia tematu i celów lekcji,

• Niekontrolowana pogadanka wstępna, rozciągnięta w czasie i zbaczająca z zasadniczego toku rozważań.

2. Część główna- tzw. Realizacja tematu- dotyczy realizacji ciągu zadań dydaktyczno-wychowawczych podjętych ze względu na założone cele lekcji. (Realizacja tematów z celami, które sobie założyliśmy).

Błędy popełnione w części wstępnej:

• Realizacja głównie zadań odtwórczych

• Pomijanie zadań twórczych

• Niedocenianie zadań wartościowujących

3. Część końcowa (faza)- służy podsumowaniu i podkreślaniu struktur wiedzy, związków i zależności występujących między nimi, sprawdzeniu stopnia zrozumienia nowo poznanych treści i wysuwania sugestii oraz wskazówek dla dalszej pracy.

W tej części występuje zadanie i objaśnienie pracy domowej.

Błędy popełnione w części końcowej:

• Pośpiech z braku czasu

• Pomijanie podsumowań i uogólnienia nowego tematu

• Pomijanie oceny pracy uczniów

• Pośpiech w zadaniu pracy domowej i brak wyjaśnień.

4. Rachunek pamięciowy- funkcje i rodzaje (+ podaj 3 przykłady rachunku pamięciowego).

Rachunek pamięciowy- umiejętność wykonywania w pamięci prostych a później bardziej skomplikowanych obliczeń pamięciowych bez potrzeby stosowania algorytmów działań pisemnych czy kalkulatora.

Funkcje rachunku pamięciowego:

• Utrwala rozszerza doskonali umiejętności uczniów

• Przygotowuje warunki do realizacji nowego tematu

• Uatrakcyjnia formy pracy na lekcji

Rodzaje rachunku pamięciowego:

• Ogólny- dotyczy czterech podstawowych działań +, -, *, :

• Specjalny różni się sposobem doboru pomysłów w stosowanych technikach liczenia.

Przykłady rachunku pamięciowego:

Na + i - np. 4+5, 25+5, 4-9,

Na + i - kilku liczb 5+2+3, 12-6-2

Na * i : liczb 1 cyfrowych np. 5*4, 6*4, 8:2, 6:3

Na * i : liczb 2 cyfrowych np. 49:7, 52:4, 17*4

5. Wymień główne założenia metody czynnościowej w nauczaniu matematyki i podaj jej definicję.

Czynnościowa metoda nauczania- jest postępowaniem dydaktycznym uwzględniającym stale i konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem INTERJORYZACJI (uwewnętrznienie), prowadzącym do czynności konkretnych przez wyobrażeniowe do abstrakcji.

Konkret Wyobrażenia Abstrakcja

Główne założenia czynnościowego nauczania matematyki:

• Występuje tu wielka dbałość o precyzję i porządek, jasność i zrozumienie pojęć matematycznych,

• Występuje tu głównie działalność uczniów, gdzie głównym celem jest zdobywanie wiedzy operatywnej tzn. efektywnej, skutecznej umożliwiającej sprawne działanie i możliwej do stosowania w praktyce,

• Metoda czynnościowa realizuje podejście konstruktywistyczne tzn. uczeń konstruuje swoją wiedzę w interakcji z materiałami, zadaniami, środkami dydaktycznymi na drodze wielu doświadczeń pod kierunkiem nauczyciela i we współpracy z rówieśnikami,

• Nacisk kładzie się głównie na umiejętności a nie tylko na wiadomości,

• Nacisk kładzie się na aktywność intelektualną, emocjonalna i praktyczną,

• Zagadnienia są ujmowane problemowo,

• Stroną aktywną jest przede wszystkim uczeń

6. Środki dydaktyczne i ich rola w kształtowaniu pojęć matematycznych.

• Opisz 3 środki, które będą kształtowały różne cechy w edukacji matematycznej.

Środkami dydaktycznymi nazywamy przedmioty materialne i znaki symboliczne, które reprezentują w procesie nauczania i uczenia się rzeczywistość w jej naturalnej lub odtworzonej postaci. Pośrednicząc w poznawaniu rzeczywistości, ułatwiają one uczniom lub wręcz umożliwiają bezpośrednie lub pośrednie jej poznanie.

1. Geoplan- to kwadratowa tabliczka, w którą wbite są gwoździe w równych odstępach. Na gwoździach tych rozpina się gumki uzyskując kształt rożnych figur geometrycznych.

• pomaga w kształtowaniu pojęć figur geometrycznych,

• daje możliwość zauważenia zależności, różnic i podobieństw pomiędzy różnymi figurami,

• kształci pamięć, wyobraźnię i umiejętności, różne operacje myślowe: uogólnianie i konkretyzowanie,

• pozwala na lepsze zrozumienie pojęć geometrycznych dotyczących prostej, odcinaka, łamanej czy prostych figur płaskich.

2. Tabele- wypełnianie i odczytywanie tabelek działań służy wdrażaniu uczniów do posługiwania się różnego rodzaju tablicami z którymi będą spotykali się później. Tabele :

• pozwalają uprościć znacznie sytuację i przedstawić sposób bardziej przejrzysty to co jest akurat istotne.

3. Waga szalkowa- jest to bardzo ważna pomoc niezbędna do kształtowania pojęć związanych z ważeniem. Dziecko musi mieć możliwość samodzielnego układania odważników. Później takie czynności będzie mogło wykonywać w myśli i zapisywać tylko wyniki.

7. Pojęcie osi liczbowej i jej wykorzystanie.

Oś liczbowa- powstaje przez wyróżnienie na linii prostej dwóch dowolnych punktów, którym przyporządkowujemy dwie kolejne (dowolne) liczby. Odkładając dowolną jednostkę zaznaczamy w równych odstępach punkty odpowiadające kolejnym liczbom naturalnym, a kierunek wzrostu liczb oznaczamy grotem strzałki.

Oś liczbowa jest dobrym środkiem poglądowym pomagającym w zrozumieniu pojęcia liczby i stosunku pomiędzy liczbami, w tym także działań arytmetycznych.

Oś liczbową wykorzystuje się w:

• ćwiczeniach i zadaniach z treścią

• jednostkach długości: metr, centymetr, milimetr

• wprowadzeniu linijki, centymetra i mierzenia

• wprowadzania i kształtowania pojęcia liczby (monografia liczb od 0 do 9),

• wprowadzania i utrwalania pojęcia liczb parzystych i nieparzystych,

• rozszerzenia zakresu liczbowego do 20,

• wprowadzania znaków rzymskich, kolejności miesięcy w roku,

• ćwiczeń w dodawaniu i odejmowaniu z wykorzystaniem osi liczbowej.

8. Opisz w jaki sposób będziemy realizować temat z zakresu kształtowania orientacji w stosunkach przestrzennych + przykład.

Podstawy kształtowania pojęć stosunków przestrzennych- z pojęciami geometrycznymi z zakresu stosunków przestrzennych dziecko styka się wszędzie: w domu, w klasie, w szkole itp. Dotyczą one położenia przedmiotów na płaszczyźnie i przestrzenie oraz kierunku ruchu. Opracowanie działu stosunków przestrzennych ma na celu kształtowanie pojęć na poziomie elementarnym i naukowym w zakresie położenie przedmiotów na płaszczyźnie i przestrzeni oraz kierunku ich ruchu. Odbywać się to powinno w trakcie czynnościowego nauczania polegającego na takim organizowaniu działań uczniów, aby od czynności konkretnych przechodzić stopniowo przez czynności wyobrażeniowe do abstrakcji matematycznej.

5 etapów procesu dydaktycznego podczas omawiania tematów z zakresu stosunków przestrzennych:

1. Zapewnienie dobrej orientacji w zakresie działania, które ma dziecko wybrać

2. Organizowanie czynności na przedmiotach materialnych w zakresie położenia przedmiotów na płaszczyźnie, przestrzeni oraz kierunku ich ruchu

3. Słowne określenie ich położenia i kierunku

4. Określanie położenia i kierunku w mowie cichej .

5. Określanie na poziomie umysłowym położenia przedmiotów i ich kierunku.

Typy ćwiczeń, które powinno się wykorzystywać podczas omawiania zagadnień z zakresu stosunków przestrzennych w czasie roku szkolnego :

• Ćwiczenia ruchowe prowadzące do kształtowania, rozumienia i umiejętności posługiwania się wyrażeniami określającymi wzajemne położenie przedmiotów na płaszczyźnie i przestrzeni oraz kierunku ruchu.

• Przedstawienie stosunków przestrzennych z wykorzystaniem różnych środków dydaktycznych.

• Analizowanie zadań z zeszytu ćwiczeń w zakresie określania wzajemnego położenia przedmiotów słownie i w działaniu.

W trakcie realizacji działu stosunki przestrzenne należy pamiętać o następujących wskazaniach:

• Sprawdzić poziom orientacji dzieci w operowaniu pojęciami z zakresu stosunków przestrzennych wyniesionych z przedszkola.

• Należy zorientować dzieci w nowych warunkach przestrzennych, w klasie, w budynku szkolnym, na boisku, osiedlu, w drodze do szkoły.

• Należy pomóc dziecku w uzyskaniu orientacji w przestrzeni w zakresie: ręki, oka, nogi, całego ciała przez wykonywanie różnych czynności przemieszczania różnych przedmiotów i samego siebie oraz ich słowne określanie

• Do kształtowania pojęć z zakresu stosunków przestrzennych warto wykorzystać: sprzęty i przybory w klasie, rozkład sali i innych pomieszczeń w budynku szkolnym, urządzenia na boisku szkolnym, drogę do szkoły, graficzne przedstawienie stosunków przestrzennych w formie rysunków, obrazków, kreślenia figur, i różne środki dydaktyczne.

• Ćwiczenia orientacyjne nasilić we wszystkich przedmiotach i przy każdej nadarzającej się okazji.

Przykład:

Dzieci mają za zadanie rysować przedmioty na kartce o które poprosi nauczyciel:

- narysuj w prawym górnym rogu kwadrat

- Narysuj na środku serduszko

- Narysuj w lewym dolnym rogu trójkąt

-Narysuj z lewej strony chmurkę a z prawej słoneczko.

9. Opisz w jaki sposób będziemy realizować temat z zakresu porównywania cech wielkościowych + przykład.

Cechy wielkościowe- to dział pomocniczy, którego zadaniem jest dalsze przygotowanie do właściwej nauki ale także sprawdzanie i wyrównywanie braków i zakresie rozumienia i operowania pojęciami z tego procesu, które były do opanowania w wieku przedszkolnym. Wszelkie ćwiczenia o charakterze zabawowo-ruchowym powinny sprowadzać się do porównywania różnych przedmiotów pod względem określonej cechy wielkościowej i porządkowania.

Do najważniejszych uwag metodycznych i rzeczowych w realizacji działu cechy wielkościowe należy zaliczyć następujące wskazówki:

1. Należy pamiętać, że ćwiczenia dotyczące cech wielkościowych mają za zadanie rozumienie i pogłębianie pojęć: długi - krótki, równy - nierówny itd. Przy różnych ustawieniach przedmiotów i zwrócenia uwagi na względność tych określeń w zależności od zmieniającej się sytuacji (np. podczas porównywania wzrostu dzieci w klasie najwyższa dziewczynka jest nisza od kilku chłopców itp.).

2. Na początku uczniowie powinni porównywać przedmioty pod względem jednej cechy wielkościowej np. długości ciężaru, objętości itd., a następnie pod względem dwóch cech: np. długości i szerokości. Kolejność ćwiczenia jest następująca:

• Szukanie równych pasków papieru, sznurków, listewek.

• Szukanie dwóch jednakowej wysokości półek, kredek itp.

• Szukanie koła (trójkąta, prostokąta) dłuższego i małego

• Szukanie długiego i krótkiego paska papieru

• Szukanie przedmiotów długich i krótkich oraz szerokich i wąskich.

• Dorysowanie drugiego przedmiotu do danego np. wyższego lub niższego, krótszego lub dłuższego, węższego lub szerszego, wprowadzenie strzałek od wielkości mniejszych do większych.

• Rysowanie dwóch przedmiotów wyższego i niższego, szerszego i węższego, większego i mniejszego, grubszego i cięższego, dłuższego i krótszego.

• Określenie słownie z wyobraźni cech wielkościowych dwóch przedmiotów np. -Co jest grubsze: beczka czy butelka, igła czy butelka, - Co jest szersze rzeka czy strumyk, korytarz czy ulica, - Co jest dłuższe pociąg czy wagon, ołówek czy wagon, -Co jest wyższe: blok czy dom, dźwig czy samochód, - Co jest większe mysz czy słoń, koń czy kot.

3. Dalsze ćwiczenia powinny obejmować jednocześnie trzy przedmioty coraz dłuższe lub krótsze itp. I w końcu trzy równe, aby dzieci zaczęły zauważać przechodniość pewnych relacji np. pewnych relacji np. tej samej długości.

4. Ciekawym typem ćwiczenia jest porównywanie długości kredek. Kredki dzieci mogą ułożyć od najdłuższej do najkrótszej a potem odwrotnie a na końcu ułożyć w dowolnej kolejności. Określanie długości danej kredki w stosunku do poprzedniej (np. kredka żółta jest dłuższa od niebieskiej ale krótsza od czerwonej)i sąsiednich. To ćwiczenie rozszerza pojęcia zmiany następstwa wielkości. Szukanie w poprzednich ułożeniach i ostatnim kredek najdłuższych i najkrótszych ułożeniach zmusi dzieci do syntezy złożonej, w której dzieci oceniają wielkość przez porównywanie wielkości interesujących do pozostałych i wyciągają słuszny wniosek. Syntezą złożoną równej i różnej długości trzech kredek będzie powolne rozumienie reakcji przechodniości, mianowicie: jeżeli pierwsza kredka jest taka sama jest jak druga, a druga taka sama jak trzecia, to pierwsza jest takiej samej długości co trzecia. Podobnie jeżeli pierwsza kredka jest krótsza od drugiej a druga krótsza od trzeciej, to pierwsza jest krótsza od trzeciej.

5. Ćwiczenia te powinny stopniowo przechodzić do porównywania i klasyfikowania przedmiotów na podstawie wyodrębnionej cechy np. ten sam kolor klocków.

6. Ćwiczenia w wyodrębnianiu cech wielkościowych maja min. przygotować uczniów do mierzenia i porównywania wielkości, głównie długości odcinków, a także wstępnego rozumienia relacji przedniości.

7. W realizacji treści tego działu warto wykorzystać różnorodne środki dydaktyczne np. klocki Dienesa, klocki logiczne, kolorowe liczby, różne naczynia i pojemniki, wagę, przybory w klasie, otoczenie szkoły itd.

8. Treści z działu cechy wielkościowe warto łączyć z ćwiczeniami ruchowymi w przerwach śródlekcyjnych i z zagadnieniami na innych zajęciach.

10. Opisz jak będziemy kształtować pojęcia mnogościowe w młodszym wieku szkolnym.

Zbiór- jest terminem niedefiniowalnym i terminem pierwotnym.

4 etapy kształtowania pojęcia zbioru u dziecka:

a) samorzutne- ćwiczenia klasyfikacyjne

b) ćwiczenia klasyfikacyjne organizowane przez nauczyciela bez użycia słowa zbiór

c) ćwiczenia z użyciem schematów graficznych i terminu zbiór bez symboliki matematycznej

d) ćwiczenia z symbolami (ćwiczenia te nie wchodzą w zakres edukacji wczesnoszkolnej).

Dzieci 6 letnie są na poziomie kolekcji. Poziom kolekcji poprzedza klasyfikacje operacyjną. Przejście z jednego poziomu na drugi trwa długo 2-3 lata.

Definiowanie jest także klasyfikacją. Rozwiązując czynności umysłowe dzieci należy łączyć segregowania z definiowaniem, są to dwie strony tego samego procesu.

To co odróżnia klasyfikacje na poziomie operacyjnym od wcześniejszych rozwojowo sposobów porządkowania przedmiotów dotyczy:

• Giętkości rozumowania -dziecko potrafi segregować przedmioty na wiele sposobów np. wg koloru, wielkości kształtu.

• Konsekwencji- gdy dziecko podejmuje decyzje np. segreguje wg wielkości kierują się nią aż rozdzielą wszystkie przedmioty.

• Dokładności definiowania- charakteryzując przedmioty dziecko bierze pod uwagę te cechy które uwzględniło przy segregacji.

Każdy zbiór składa się z przedmiotów, które nazywamy elementami zbioru.

Zbiory równoliczne to takie, które mają po tyle samo czyli równo elementów

Zbiory równe- tak takie, które mają takie same elementy.

Zbiory rozłączne- to takie, które nie posiadają wspólnych elementów, tzn. żaden element zbioru A nie należy do zbioru B

Zbiory nierozłączne-to takie, które gdy przy klasyfikacji bierzemy pod uwagę różne warunki, które względem siebie są zależne stanowić będą część wspólną.

Podstawowe działania na zbiorach:

-suma (złączenie)

-iloczyn (część wspólna)

-różnica zbioru

11. Opisz jak będziemy kształtować pojęcia matematyczne (etapy na przykładzie wg wybranego autora + trudności w kształtowaniu pojęć).

Kształtowanie pojęć matematycznych wg Czesława Kupisiewicza:

1. Analiza wstępna- zestawienie danego przedmiotu i zjawiska z innymi w celu wyodrębnienia go.

2. Generalizacja- wyszukiwanie cech wspólnych dla danych przedmiotów i zjawisk.

3. Różnicowanie- wyszukiwanie cech różniących dane przedmioty i zjawiska.

4. Synteza- zdefiniowanie przez uczniów danego pojęcia na podstawie znajomości cech określonego przedmiotu lub zjawiska.

5. Zastosowanie- wykorzystanie przez uczniów poznanego pojęcia w nowych sytuacjach w celu utrwalenia go i wdrożenia do posługiwania się nim w życiu.

Trudności w kształtowaniu pojęć matematycznych:

1. Utrwalenie właściwych związków między przedmiotami i odpowiadającymi im nazwami.

2. Określanie realnych celów lekcji i wyraźnych planów wszelkich zajęć.

3. Unikanie odbiegania od właściwego celu lekcji.

4. Dopilnowanie, aby uczniowie opanowali pojęcia niezbędne do prawidłowego przebiegu nowego poznania.

5. Właściwe formułowanie pytań i żądanie pełnych odpowiedzi.

6. Właściwe kierowanie i organizowanie obserwacji uczniów.

7. Nie doprowadzanie do uogólnień na podstawie jednego przykładu, chyba, że towarzyszy temu ogromne zabarwienie emocjonalne.

8. Unikanie dokonywania uogólnień na podstawie cech istotnych.

9. Nie doprowadzanie do uogólnień, jeżeli brak odpowiedniego materiału porównawczego.

10. Podsumowywanie istoty treści lekcji.

11. Ustosunkowanie się do odpowiedzi uczniów i ich ocena.

12. Unikanie wyręczania uczniów w pokonywaniu trudności w myśleniu.

13. Unikanie wyciągania wniosków za uczniów.

14. Unikanie kształtowania zbyt wielu pojęć na jednej lekcji.

12. Opisz w jaki sposób będziemy kształtować pojęcie liczby jako wyniku pomiaru.

Kształtowanie u dziecka pojęcia liczby naturalnej jest nadrzędnym celem edukacji matematycznej.

Pojęcie liczby jest pojęciem abstrakcyjnym. Liczba bowiem sama w sobie nie realnie, liczba określa pewną ilość lub wielkość.

Liczbę naturalną należy rozpatrywać w trzech aspektach:

• Aspekt kardynalny- w tym aspekcie liczba związana jest z liczebnością zbioru, określa ile elementów ma dany zbiór (moc zbioru), liczba kardynalna odpowiada na pytanie „ile”, np. „Ile jest elementów w zbiorze? Na jej określenie używamy liczebników głównych.

Ćwiczenia kształtujące aspekt kardynalny:

-liczenie przedmiotów

- ćwiczenia manipulacyjne

-ćwiczenia związane z rysowaniem

• Aspekt porządkowy- liczba w aspekcie porządkowym oznacza miejsce danego elementu w uporządkowanym zbiorze przedmiotu. Liczba porządkowa mówi o tym, o który z kolei element danego zbioru chodzi, lub który element danego zbioru właśnie rozpatrujemy. Odpowiada na pytanie „który z kolei?”. Na określenie liczby w aspekcie porządkowym używamy liczebników porządkowych.

• Aspekt miarowy- liczba w aspekcie miarowym określa ile razy w danej wielkości mieści się wielkość jednostkowa. Wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki (przy zmianie jednostki zmienia się wartość liczbowa choć wielkość mierzona jest taka sama)

Ćwiczenia kształcące w tym aspekcie:

-Zmierz szerokość ławki swoim ołówkiem

-Sprawdź ile patyczków potrzeba do zmierzenia długości książki.

Synteza trzech aspektów daje prawidłowy obraz liczby naturalnej rozumiany jako abstrakcyjny obiekt matematyczny.

Zadaniem nauczyciela jest dążenie do tego by w umyśle dziecka powstało pojęcie liczby naturalnej jako synteza liczby kardynalnej, porządkowej, liczby będącej wynikiem mierzenia.

13. Monografia opracowania liczby- podaj tok metodyczny.

Monograficzne opracowanie liczby powinno być poprzedzone czynnościami przygotowawczymi. Można do nich zaliczyć m.in.:

• liczenie przedmiotów i stwierdzenie, że liczba elementów w zbiorze nie należy do ich wielkości, sposobu liczenia i kierunku ułożenia,

• doliczanie i odliczanie,

• porównywanie liczebności zbiorów przez łączenie ich elementów w pary lub przeliczanie,

• porównywanie wielkości i porządkowanie ich w kolejności rosnącej i malejącej.

Przy wprowadzaniu kolejnych liczb naturalnych trzeba ukazać wszystkie aspekty liczby:

• kardynalny- ile?- jest wyrażany przez określenie liczby elementów w zbiorze,

• porządkowy- który z kolei?- jest wyrażany przez określenie, który z kolei element jest analizowany i które ma miejsce w ciągu liczbowym,

• miarowy- jest wyrażany wielkościami ciągłymi określającymi, ile razy w danej wielkości mieści się wielkość jednostkowa,

• algebraiczny- polegający początkowo na rozkładzie liczby na dwa i więcej składników, a następnie na operowaniu liczbami w działaniach.

Etapy wprowadzania liczby:

1. Poznanie danej (nowej) liczby przez powiększenie znanej już liczby o jeden (doliczanie i odliczanie jedności).

2. Wyodrębnianie zbiorów o określonej liczbie elementów, dostrzeganie liczby jako wspólnej cechy zbiorów równolicznych, określającej liczebność zbioru- liczba w aspekcie kardynalnym.

3. Określanie miejsca liczby w ciągu liczbowym, jej związku z liczbami sąsiednimi oraz poznawanie własności porządku w zbiorze liczb naturalnych- liczba w aspekcie porządkowym.

4. Określanie, ile razy w danej liczbie mieści się wielkość jednostkowa- liczba w aspekcie miarowym- wskazane wykorzystanie liczb w kolorach, osi liczbowej, następnie pomiaru czasu, ciężaru, pojemności itd.

5. Pisanie cyfry jako znaku graficznego danej liczby (pokaz sposobu pisania z uwzględnieniem miejsca rozpoczęcia kreślenia oraz kierunku kreślenia, rozmieszczenia poszczególnych elementów cyfr w kratkach).

6. Rozkład liczby na dwa lub więcej składników- liczba w aspekcie algebraicznym.

7. Zastosowanie liczby w zadaniach tekstowych i ćwiczeniach.

14. Pojęcie działania i formuły matematycznej (podaj na przykładzie jak wprowadzamy dodawanie - odejmowanie, lub mnożenie - dzielenie).

Formuła matematyczna- jest symbolicznym przedstawieniem działania arytmetycznego dodawania i odejmowania, mnożenie i dzielenia za pomocą słów lub cyfr i znaków matematycznych.

Do wprowadzenie formuły dodawania można przystąpić wówczas gdy dzieci mają już elementarne pojecie liczby i jej symbolu cyfry, wykonywania działań na zbiorach bez zapisu oraz poznały już znak równości przy porównywaniu mocy zbiorów za pomocą liczb.

Zaznajamianie dzieci z formułą matematyczną dodawania wymaga starannego stopniowania trudności. Najpierw dzieci wykonują (wynikające z zadania tekstowego) czynności na zbiorach, następnie rysują grafy, i ujmują czynności w słowa, aby wreszcie zapisać je za pomocą symboli za pomocą symboli matematycznych w postaci formuły. Wprowadzenie formuły występuje przy monografii liczby 4.

Wprowadzając pojęcie formuły matematycznej w zakresie dodawania należy: ująć w formułę zadania tekstowego w różną sytuację życiową dodawanie wyrażone rozmaitymi czynnościami fizycznymi znanymi dzieciom, poprzez pojęcia: dołożyć, dobrać, dosypać, znaleźć, dostać, przyłączyć, otrzymać itd., dzieci stopniowo abstrahują i uogólniają znaczenie symbolu + „plus” jako działania oznaczającego ogół czynności prowadzonych do złączenia zbioru. Dzieci spostrzegają, że niezależnie od różnej treści zadań i różnych występujących w nim czynności rozwiązuje się je za pomocą arytmetycznego działania dodawania oraz zapisuje się je znakiem „plus” i czyta „dodać”.

Analiza zadania

Jaś dostał od babci 3 jabłka (Nauczyciel zawiesza na tablicy 3 jabłka zrobione z papieru). W sadzie znalazł jeszcze dwa jabłka i wziął je (prezentowana jest czynność dokładania tych dwóch jabłek). Ile jabłek przyniósł do domu Jaś?

Pytania które zadaje dzieciom nauczyciel:

• Co wiemy z zadania?

• Ile jabłek babcia dała Jankowi?

• Co się stał później?

• Ile jabłek Jaś znalazł w sadzie?

• Co zrobił Jaś ze wszystkimi jabłkami?

• Jak to zapiszemy?

Po zapisaniu tych formuł należy wdrożyć uczniów do poprawnego odczytywania jej treści. Dzieci powinny odczytać formułę dwojako wskazując jednocześnie odpowiednie symbole.

• Najpierw zgodnie z treścią: np. Janek miał 3 jabłka, znalazł jeszcze 2, ma teraz 5 jabłek.

• Następnie bez treści, np. mieć 3 dodać 2 jest 5

Odejmowanie

Odejmowanie jako działanie odwrotne do dodawania- opracowanie odejmowania odbywa się podobnie jak dodawania czyli od powiązania znaku minus z konkretną czynnością najpierw rzeczywiście wykonaną a potem już tylko wyobrażoną, aż wreszcie pomyślana w sposób uogólniony. Punktem wyjścia do wprowadzenia odejmowania jest dodawanie, przebieg tego procesu jest znacznie szybszy niż dodawania gdyż dzieci znają już formułę dodawania i odejmowanie poznają jako działanie odwrotne do dodawania.

Etapy wprowadzania odejmowania:

• Ukazanie dzieciom zadania na dodawanie (Tata kupił 4 jabłka. Ola kupiła 2 jabłka. Ile jabłek kupili razem?)

• Słowna analiza zadania.

• Wykonanie przez dzieci czynności praktycznej polegającej na dołożeniu do 4 jabłek kupionych przez tatę 2 jabłek kupionych przez Olę

• Przedstawienie zagadnienia graficzne i zapis formuły matematycznej 4+2=6

• Ukierunkowanie dzieci, że w tym zadaniu występuje czynność odwrotna od treści poprzedniego zadania czyli odejmowanie wprowadza się nie tylko jako ubywanie jabłka lecz również jako działanie odwrotne do dodawania.

Zadanie na mnożenie + dzielenie uzupełnić!!!!!!!!!!!!!!!

15. Podaj ćwiczenia przygotowujące do przekroczenia progu dziesiątkowego i cykle lekcji realizujące wymienione zagadnienia.

Przed przystąpieniem do dodawania i odejmowania liczb naturalnych w zakresie 20 z przekroczeniem progu dziesiątkowego należy doprowadzić dzieci do zrozumienia działań, oraz zmechanizowania operacji rachunkowych w zakresie

pierwszej dziesiątki. Służą nam do tego tzw. ćwiczenia przygotowujące:

- dopełnianie do 10 i odejmowanie od 10 typu:

7 + 3, 8 + 2, 6 + 4, 10 - 4, 10 - 1,

- dodawanie i odejmowanie typu:

10 + 5, 14 - 4,

Cykle lekcji:

1. Wprowadzenie pojęć: dziesiątka i jedność:

• Dzieci dostają luźne patyczki i kawałki grubej nici do ich wiązania. Początek lekcji poświęcamy technice wiązania dziesiątek. Dzieci odliczają 10 patyczków, ujmują je palcami lewej ręki, a prawą okręcają patyczki grubą nicią, której koniec zakładają między związane patyczki. Wystarczy pociągnąć koniec nici, aby paczka patyczków rozwiązała się. Te czynności powtarzamy kilkakrotnie dla osiągnięcia wprawy.

• Następnie dzieci kojarzą nazwę z konkretem: 10 związanych patyczków to dziesiątka, 1 luźny patyczek to jedność.

• Na prośbę nauczyciela układają z patyczków liczbę 12, układając z prawej strony dwa patyczki, a z lewej związaną dziesiątkę.

• Następnie omawiają: ile jest ułożonych patyczków, ile jest jedności, dziesiątek.

• Dosuwają 1 patyczek i omawiają jak wyżej. W ten sposób dosuwając po1 patyczku, dzieci dochodzą do liczby 19, po czym odsuwają po jednym patyczku, cofając się do 12. Za każdym razem określają: jaka liczba jest ułożona, ile jest jedności a ile dziesiątek.

2. Wprowadzenie pojęcia: miejsce pierwsze i drugie:

• Lekcja ta przebiega podobnie jak poprzednia. Do zdobytych poprzednio wiadomości dochodzą nowe, a mianowicie: że jedności stoją na pierwszym miejscu od prawej strony, a dziesiątki na drugim.

3. Podpisywanie cyframi liczb ułożonych z patyczków:

• Oprócz patyczków dzieci dostają również komplety cyfr od 1 do 9 na kartonikach.

• Na polecenie nauczyciela układają z patyczków np. liczbę 14 i wyjaśniają: z ilu jedności i dziesiątek składa się ta liczba oraz, na którym miejscu leżą dziesiątki, a na którym jedności.

• Następnie podpisują cyframi ułożoną z patyczków liczbę 14( pod jednościami kładą cyfrę 4, a pod dziesiątką 1) i wyjaśniają : co oznacza cyfra 4- jedności. Dlaczego?- bo stoi na pierwszym miejscu. Co oznacza cyfra 1?- dziesiątkę. Dlaczego?- bo stoi na drugim miejscu. Dosuwają do 14 patyczków 2 i otrzymują 16 i zmieniają podpis: zamieniają cyfrę 4 na 6 itd.

4. Pogłębianie rozumienia pozycyjnego znaczenia cyfr na przykładzie liczby 11:

• Dzieci powtarzają wiadomości zdobyte w oparciu o czynności na konkretach -patyczki i komplety cyfr.

• Kulminacyjny moment- analiza liczby 11. Dzieci układają i podpisują liczbę 12. Na polecenie nauczyciela odsuwają 1 patyczek. Pada pytanie: Ile macie teraz ułożonych patyczków?- 11, Ile jest jedności, dziesiątek? Czy dobrze jest ta liczba podpisana?

• Dzieci stwierdzają, że trzeba zmienić podpis: zabrać cyfrę 2, a położyć 1.

• Nauczyciel rozdaje dodatkowe jedynki.

• Omówienie liczby 11 w odniesieniu do innych liczb.

• Później dzieci stwierdzają, że na pierwszym i drugim miejscu stoi taka sama cyfra 1, lecz znaczenie każdej z nich jest różne, uwarunkowane zajmowanym przez nią miejscem w liczbie 11.

5. Pozycyjne znaczenie zera:

• Ułożenie z patyczków i podpisanie cyframi liczby 13.

• Na polecenie nauczyciela dzieci osuwają 3 patyczki i stwierdzają, że mają teraz dziesięć.

• Na pytanie: czy to jest dobrze podpisane? Dzieci podsuwają cyfrę 3 i wyjaśniają, że pierwsze miejsce jest puste, nie ma tu jedności, więc cyfra 3 jest zbędna.

• Nauczyciel pyta: na którym miejscu stoi cyfra 1? - na drugim, bo oznacza dziesiątkę.

• Odsuńcie dziesiątkę z patyczków na koniec ławki. Czy teraz widać, że cyfra 1 stoi na drugim miejscu? - nie widać. Co trzeba zrobić, aby było wiadomo, że 1 stoi na drugim miejscu?- dzieci się zastanawiają.

• Na życzenie dzieci nauczyciel rozdaje cyfrę zero, którą one kładą na pierwszym miejscu obok cyfry 1.

• Dla unaocznienia znaczenia zera kładą z powrotem dziesiątkę z patyczków nad cyfrą 1.

• Analiza zapisu 10. Jakimi cyframi podpisaliście ułożoną z patyczków dziesiątkę? - cyframi 1 i 0. Dlaczego? - bo oznacza 1 dziesiątkę. Na którym miejscu stoi zero? - na pierwszym. Co oznacza? - że nie ma jedności i ze cyfra1 jest na drugim miejscu.

• Następnie dokładają po 2, 3, 4 patyczki i zmieniając za każdym razem podpis, dzieci dochodzą do 20 i tutaj jeszcze raz powtarzają pozycyjne znaczenie zera.

16. Metody przekraczania progu dziesiątkowego (opisz i podaj przykład).

Metody przekraczania progu dziesiątkowego:

1. Bezpośrednia- polega na rozkładaniu danych lub na ich składaniu. Są to ćwiczenia, które polegają na + i - z wykorzystaniem środków dydaktycznych np. 3+4

2. Metoda przekraczania progu dziesiątkowego z użyciem drugiego działania- polega na przedstawieniu jednego ze składników- przy + lub odjemnika - przy - w postaci różnicy, tak, aby pojawiła się w działaniu liczba 10

np. 9 przedstawia się jako 10-1

8 przedstawia się jako 10-2

3+4= 3+10 - 6=13-6=7

3. Metoda wydawania reszty- Kasjerów to metoda odejmowania poprzez dopełnienie np. Kupujemy coś za 8zł. Dajemy 20 zł. Kasjer najpierw daje nam 2zł (dopełniając 8 do 10) mówiąc 10 i następnie (dopełnia do 20) mówiąc 20.

4. Metoda dopełniania jednego ze składników do 10.

7+5=7+3+2=10+2=12

12 - 7=12 - 2 - 5=10 - 5=5

5. Metoda + i - liczb dwucyfrowych-

Wykonywanie takich obliczeń jest jedną z głównych umiejętności, jakie uczeń powinien zdobyć w klasie 2. Należy dążyć do tego, by dzieci zauważyły i poznały jak najwięcej możliwości obliczania takich działań np.

27+35=27+30+5=57+5=62

27+35=20+30+7+5=62

27+35=20+7+35=32+30=62 itd.

17. Rozszerzenie zakresu liczbowego do 100 i 1000.

Rozszerzenie zakresu liczbowego- jest stopniowym poznawaniem systemu dziesiątkowego. Uczniowie muszą od razu wykazywać, która liczba odnosi się do dziesiątek, a która do jedności i odróżniać liczby pisane tymi samymi cyframi. Bardzo wskazane jest też używanie od razu określeń: miejsce dziesiątek, miejsce jedności lub rząd dziesiątek, rząd jedności.

Podstawowymi środkami ułatwiającymi rozszerzenie zakresu liczbowego są: tabele dziesiątkowego układu pozycyjnego oraz oś liczbowa.

W rozszerzeniu zakresu liczbowego nauczyciel powinien uwzględnić zagadnienia:

-kształtowanie rozumienia liczb w nowym zakresie a w szczególności tego, które liczby są większe, a które mniejsze.

-ćwiczenie poprawnego wymawiania i pisania liczebników

-zapisywanie liczb za pomocą cyfr i związek zapisu pozycyjnego z numeracyjnymi przypadkami + i -

-miejsce nowo poznanych liczb na osi liczbowej

-stopniowe zaznajamianie dzieci z dziesiątkowym systemem pozycyjnym.

W pierwszym okresie po wprowadzeniu nowych liczb wykonujemy na nich tylko te działania, które potęgują zrozumienie zapisu dziesiątkowego. Są to:

1). Numeracyjne przypadki +

400+25=425; 721=700+20+1

2). Numeracyjne przypadki -

215-15=200; 348-8=340

3). + i - pełnymi dziesiątkami i setkami 20+40=60; 300+400=700

4). Mnożenie pełnych dziesiątek, setek przez liczby

1-cyfrowe 3x10=30;

5x100=500

5). Przedstawienie liczb w postaci 526=5x100+2x10+6x1

Zapis w dziesiątkowym systemie pozycyjnym oraz oś liczbowa są podstawowymi środkami ułatwiającymi zrozumienie tematu rozszerzenia zakresu liczbowego. Uczeń powinien umieć badać zależności występujące pomiędzy liczbami, porównywać liczby i znać ich miejsce na osi liczbowej, zapisywać cyframi liczby w systemie dziesiątkowym i zrozumieć związek zapisu liczby z jej nazwą słowną.

Konieczne jest uświadomienie uczniom, że 10 setek to 1 tysiąc, gdyż 10 jedności to 1 dziesiątka i 10 dziesiątek to 1 setka, a tysiące są kolejnym rzędem w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Ciągle obowiązuje tu zadasz że 10 jednostek niższego rzędu tworzy 1 jednostkę wyższego rzędu.

18. Podaj podział zadań tekstowych, ich rolę i wymień metody rozwiązywania.

Podział zadań tekstowych wg M. Cackowskiej:

Rola zadań tekstowych:

• rozwijają myślenie i inne umiejętności intelektualne,

• stanowią podstawę pracy na lekcjach matematyki, zarówno przy wprowadzeniu materiału, jak i przy stosowaniu nabytej wiedzy,

• rozwiązując zadania tekstowe uczniowie wyrabiają sobie umiejętność spostrzegania i formułowania związków między wielkościami oraz rozwijają umiejętność logicznego rozumowania,

19. Pojęcie zadania tekstowego i metody rozwiązywania zadań tekstowych

(ze schematem).

Zadanie tekstowe wg Zofii Cydzik jest to zagadnienie życiowe zawierające dane liczbowe powiązane takimi zależnościami , których wykrycie prowadzi do znalezienia odpowiedzi na główne pytania. Inaczej mówiąc zadanie tekstowe jest zdaniem pytającym, lub układem zdań zakończonych pytaniem.

Metody rozwiązywania zadań tekstowych:

• Metoda analityczna - cofanie się z rozumowaniem wstecz,  znalezienie głównej niewiadomej zadania. Co wystarczy wiedzieć aby tę liczbę znaleźć? Metoda ta jest bardziej kształcąca niż kolejna poniżej.

• Metoda syntetyczna - wyciąganie wniosków z tego, co wiemy, wyodrębnienie danych zadania.  Czego można się dowiedzieć na podstawie tych danych? Metoda ta nie zawsze sprzyja rozwijaniu logicznego myślenia u dzieci.

• Metoda analityczno - syntetyczna - polega na kilkakrotnym przechodzeniu od analizy do syntezy i od syntezy do analizy. Jest niewątpliwie najczęściej  stosowaną metodą w kształtowaniu logicznego myślenia i usamodzielniania uczniów w rozwiązywaniu zadań tekstowych.

• Metoda symulacji - jedna z czynnościowych metod rozwiązywania zadań polegająca na symulowaniu na materiale konkretnym sytuacji opisanych w zadaniu (polecana przy rozwiązywaniu zadań za pomocą równań). Przy rozwiązywaniu zadań, gdy liczby dane w zadaniu są duże, stosuje się metodę częściowej symulacji (część symulacji na rysunku, a część - jej kontynuacja - w myśli).

• Metoda „guziczkowa” - użycie schematu graficznego (rysuje się kółka - guziczki). Metoda ta naśladuje rozwiązanie manipulacyjne, czyli symulację za pomocą konkretnych przedmiotów (polecana przy rozwiązywaniu zadań za pomocą równań). Najpierw przedstawia się na rysunku sytuację końcową, następnie otacza się pętlą liczbę kółek zgodnie z sytuacją w zadaniu.

• Metoda „kruszenia” - modyfikowanie, zwiększanie lub zmniejszanie liczby danych i ich wartości, zastępowanie danych innymi, rezygnacja z niektórych danych, zmiana miejsca danych, a także przekształcanie zadania, jego odwracanie, wprowadzanie nowych związków i zależności, uszczegóławianie lub uogólnianie zadania. Metodę kruszenia można stosować w różnych wersjach. Wszystkie zaczynają się od zadania bazowego.

20. Porównaj ze sobą sposoby rozwiązywania zadań tekstowych wg dwóch wybranych dydaktyków.

Ala znalazła kilka borowików, a Adam 3 rydze. Razem dzieci znalazły 9 grzybów. Ile borowików znalazła Ala?

Wg Zofii Cydzik:

1. Inscenizacja zadania, czyli przedstawienie zadania w formie inscenizacji i dopiero później jego rozwiązywanie:

Ala i Adam są ubrani w odpowiedni strój do zbierania grzybów. Adam zbiera rydze, a Ala borowiki. Adaś bierze z podłoża 3 rydze i wkłada do koszyka. Ala wszystkie borowiki, które zebrała wkłada także do koszyka. Razem liczą ilość zebranych grzybów. Policzyli, że mają ich razem 9. Ile grzybów zebrała Ala?

2. Ilustrowanie zadania czynnościami na konkretach.

Dzieci operują na konkretach.

3. Rozbudowa zadania na podstawie cyklu obrazów. Pokazujemy dzieciom 3 obrazki. Do dwóch pierwszych układają zdania, a do trzeciego nauczyciel układa pytanie. I potem pyta, czy pasuje to pytanie do treści zadania.

1+1 2+1 1+1 ?

4. Układanie zadań do formuły matematycznej z nawiasami.

Wg Zbigniewa Semadeni:

Praca nad zadaniem rozpoczynać się powinna od rozbioru zadania. Polega on na wyodrębnieniu jego części składowych istotnych dla poszukiwania sposobu rozwiązania.

Są to:

1. Niewiadome, których dotyczy pytanie lub polecenie zadania, oraz inne niewiadome występujące w zadaniu.

2. Dane.

3. Związki między niewiadomymi i danymi.

Rozwiązanie zadania krok po kroku:

• Zapoznanie się z zadaniem.

• Odszukanie pytania lub polecenia zadania.

• Wyłowienie przez ucznia wszystkich danych i niewiadomych, oraz związki między niewiadomymi i danymi.

Nie warto zapisywać słowami znaczenia występujących w zadaniu liczb. Znacznie korzystniejsze będzie posłużenie się w tym celu schematem graficznym, który często ułatwia znalezienie sposobu rozwiązania.

Np.

x- liczba borowików znalezionych przez Anię

3- liczba grzybów znalezionych przez Adama

9- liczba wszystkich grzybów

+3 -3

X 9 X 9

21. Wymień, jaka jest rola/funkcja zadań tekstowych i wskaż sposoby ich rozwiązywania (etapy pracy wg dwóch wybranych autorów na przykładzie).

Rola/funkcja zadań tekstowych wg M. Cackowskiej:

-ułatwia kształtowanie oraz wprowadzenie podstawowych pojęć matematycznych z analizy

realnych sytuacji życiowych;

-pozwala na konkretyzację i pogłębienie rozumienia tych pojęć poprzez odnoszenie ich do różnych sytuacji praktycznych, zawierających aspekty matematyczne;

-wiąże matematykę z życiem i przygotowuje uczniów do różnych sytuacji praktycznych;

-uczy analizy i rozumienia tekstów matematycznych;

-utrwala umiejętność wykonywania ustnych i pisemnych obliczeń;

-uczy twórczego posługiwania się poznanymi prawami i własnościami działań matematycznych;

-sprzyja wielostronnej aktywizacji i rozwijaniu myślenia skłaniając uczniów do wykonywania wielu operacji myślowych oraz rozumowań logicznych.

Etapy pracy nad zadaniami tekstowymi:

Zadania tekstowe powinny być rozwiązywane według poprawnie skonstruowanego planu, który będzie wskazywał główne etapy pracy nad zadaniem oraz będzie zawierał rejestr wszystkich czynności, które wchodzą w skład ogólnej umiejętności ich rozwiązywania.

M. Cackowska proponuje następujący plan:

I. Zrozumienie zadania:

1. Przeczytaj polecenie poprzedzające tekst zadania: zwróć uwagę, jakie czynności masz wykonać.

2.Przeczytaj uważnie tekst zadania:

a) wyodrębnij w nim warunki i pytanie;

b) zastanów się, czy zadanie jest dobrze ułożone;

c) uzupełnij luki w zadaniu lub popraw je tak, żeby dało się rozwiązać.

II. Ustalenie planu rozwiązania zadania:

Wskaż dane i niewiadome.

Zilustruj ich zależności zgodnie z poleceniem ( np. na liczmanach, na rysunku, na

schemacie lub w krótkim zapisie).

1. Porównaj rezultaty wykonanych czynności z tekstem zadania.

2. Ustal „na oko” wynik rozwiązania.

III. Rozwiązanie zadania:

1. Przeanalizuj zależności danych na rysunku, grafie lub w krótkim zapisie.

2. Zapisz je w postaci formuły matematycznej.

3. Porównaj zapisaną formułę z tekstem zadania.

4. Wykonaj działania zapisane w formule i zapisz ich wyniki.

5. Sprawdź poprawność obliczeń.

IV. Sprawdzenie rozwiązania:

1. Porównaj otrzymane wyniki z tymi, które przewidywałeś wcześniej.

2. Zastanów się, czy zadanie można rozwiązać innym sposobem.

3. Odczytaj pytanie z zadania i sformułuj na nie odpowiedź.

22. Metoda kruszenia- podstawy, wersje, wartości.

Podstawy metody „kruszenia” opracowali A. Kaufmann, M Justier i A. Drevet. Zakładają oni, że tworzenie nowych obiektów jest możliwe dzięki kruszeniu istniejących. Czynności takie pozwalają uczniom przygotować w ich umysłach miejsce dla obiektów jeszcze nie istniejących, ale takich, które chcą powstać. Obiektem takim może być m.in. zadanie tekstowe.

Proces „kruszenia” konkretnego zadania tekstowego ma na celu lepsze jego poznanie i zrozumienie, a w rezultacie także jego zmodyfikowanie, które spełni oczekiwania ucznia. Proces „kruszenia” rozpoczyna się zawsze od tzw. zadania bazowego. Jest to zadanie, które ma następujące cechy: jest najczęściej złożone, otwarte, niestandardowe i nie posiada nigdy pytana. Tematyka zadań powinna łączyć się z przeżyciami dzieci, a dane powinny dość precyzyjnie odzwierciedlać rzeczywistość i zainteresowania uczniów.

5 wersji metody kruszenia wg Edmunda Stuckiego:

1. Układanie pytań, a potem działań do zadania bazowego.

Etapy:

• prezentacja zadania bazowego i zapoznanie się z nim uczniów,

• układanie pytań szczegółowych do polecenia: Co można obliczyć?- zapis na tablicy. Zapisujemy wszystkie pytania aż do wyczerpania- interesuje nas ilość pytań a nie ich jakość,

• analiza pytań, układanie do nich działań i obliczanie wyników oraz wycieranie pytań zle postawionych,

• wybór dowolnego pytania przez ucznia i samodzielne ułożenie treści zadania o tej samej lub innej tematyce,

• samodzielne rozwiązanie tego zadania przez ucznia i zapis odpowiedzi.

2. Druga wersja jest prawie odwrotna do pierwszej. Polega ona na układaniu do zadania bazowego działań, a potem pytań.

Etapy:

• prezentacja zadania bazowego,

• układanie i zapisywanie na tablicy przez uczniów wszelkich możliwych działań i ich obliczanie,

• analiza działań,, układanie do nich pytań i ich zapis obok oraz wycieranie działań zle ułożonych lub ich poprawienie,

• wybór dowolnego działania i pytania, ułożenie do nich samodzielnie nowego zadania o tej samej lub innej tematyce,

• samodzielne rozwiązanie tego zadania w zeszycie i zapis odpowiedzi.

3. Trzecia wersja polega na obmyślaniu zadań szczegółowych do zadana bazowego i przedstawienie ich w zakodowanej formie, następnie próby ich określenia.

4. Czwarta wersja polega na zabawie opartej o zadanie bazowe do polecenia: Co by było, gdyby…..? Zapis ciekawych pomysłów i próby ich rozwiązań.

5. Piata wersja z kolei polega na układaniu wszelkich możliwych pytań do zadania bazowego, ale z prawem do dokładania danych.

Zalety metody kruszenia:

• lepsze rozumienie zadań,

• rozwój logicznego myślenia,

• płynność myślenia- uczeń nie poprzestaje na ułożeniu jednego pytania, układa całe ciągi,

• giętkość myślenia- uczeń musi szybko zmieniać kierunek myślenia, przechodzi z jednego toru myślenia na inny, bowiem dostrzega coraz to nowe związki w zadaniu bazowym,

• oryginalność,

• rozwija twórcze, logiczne myślenie,

• wchodzi w skład metod aktywizujących,

• występuje zaciekawienie treścią.

23. Opisz jaki sposób będziemy wprowadzać pojęcia: porównywania różnicowego, lub ilorazowego w edukacji dziecka młodszym wieku szkolnym.

Wprowadzając porównywanie różnicowe wychodzimy od zadania, w którym zaznaczamy słowo „tyle samo” a także „o ile?”

• Jeśli w zadaniu występuje sformułowanie „o ile więcej” oznacza to dodawanie

• Jeśli w zadaniu występuje sformułowanie „o ile mniej” oznacza to odejmowanie

• Jeśli w zadaniu występuje sformułowanie „2 razy więcej” oznacza to mnożenie

• Jeśli w zadaniu występuje sformułowanie „2 razy mniej” oznacza to dzielenie.

Wprowadzając pojęcia porównywania różnicowego możemy wyjść od zadania np.

Tomek miał 5 samochodów a Franek o 2 więcej zapisując działanie: 5+2

Zadania na porównywanie ilorazowe tłumaczymy dzieciom wychodząc od zadania na porównywanie różnicowe

Tomek miał 5 samochodów a Franek o 2 więcej zapisując działanie: 5+2 a następnie zmieniamy treść zadania na:

Tomek miał 5 samochodów a Franek 2 razy więcej: zapisując formułę 5*2

24. Wiadomości i umiejętności praktyczne dotyczące obliczeń pieniężnych miary, wagi -przykłady zadań.

Dział wiadomości i umiejętności praktyczne dotyczące obliczeń pieniężnych obejmuje liczenie pieniędzy, płacenie, zamiana złotych na grosze. Przykładem zadań może być:

1. Zamień jednostki:

1zł= gr. 1.50 zł = gr. 200 gr. = zł

2. Ala kupiła 5 zeszytów po 1.50 zł i 3 ołówki po 30 gr. A Janek kupił 3 zeszyty po 1.90 zł i 5 ołówków po 60 gr. Które z dzieci zapłaciło więcej.

4. Kasia postanowiła rozbić swoja świnkę skarbonkę, którą napełniała przez 2 miesiące. Kiedy posegregowała pieniążki okazało się że ma 5 monet 5 zł, 7 monet 2 złotowych, 3 monety jednozłotowe, i 15 monet 10 groszowych. Ile pieniążków miała Kasia w swojej skarbonce?

Dział wiadomości i umiejętności praktyczne dotyczące miary obejmuje jednostki długości (mm, cm, m,). Stopniowe wdrażanie uczniów do posługiwania się skrótami i nazwami jednostek. Środki dydaktyczne które wykorzystujemy do tego działu: sznurek różnej długości, patyczki,itd.

1. Zamień jednostki:

10 cm = dm. 10mm = cm 1 m = cm

2.Sprawdź, za pomocą linijki który z odcinków jest najdłuższy a który najkrótszy,

a) b) c)

Dział wiadomości i umiejętności praktyczne dotyczące wagi obejmuje jednostki używane przy ważeniu (g, dag, kg), porównywanie co jest cięższe i co lżejsze środki dydaktyczne które możemy używać przy realizacji tego działu to: różne wagi i odważniki, waga szalkowa, łazienkowa, kuchenna, towary i przedmioty do ważenia.

Zadanie1.

Zamień:

1kg= dag 1000g = kg 10 dag = g

Zadanie 2.

Ćwiczenia manipulacyjne: Za pomocą wagi szalkowej porównaj co jest cięższe zeszyt do matematyki czy podręcznik.

25. Opisz w jaki sposób będziemy kształtować pojęcia czasu i kalendarza u dziecka w młodszym wieku szkolnym

Pojęcie czasu i kalendarza możemy kształtować u dzieci poprzez:

• Nauczenie dzieci dni tygodnia po kolei stosując taki schemat: „ w poniedziałek macie angielski, a we wtorek religie, w środę macie lekcje tylko z waszą panią, we czwartek macie plastykę i religię, a piątek są zajęcia ruchowe, w sobotę nie idziemy do szkoły i musicie posprzątać swój pokój, w niedziele idziecie do kościoła i na obiad do dziadków.”

• Odczytywanie czasu i zapisywanie w systemie 12 i 24 godzin, kształcimy to poprzez zabawy i ćwiczenia na tarczy zegarowej, tłumacząc dziecku co wskazuje mała i duża wskazówka.

• Naukę dzieci pojęć minuta, sekunda, godzina, pół godziny, kwadrans

• Zapisywanie i porządkowanie chronologiczne dat (dni i miesięcy) można wykorzystać schemat podany powyżej i analogiczny w stosunku do wydarzeń danego miesiąca.

• Zapisywanie i odczytywanie liczb rzymskich od I do XII

• Wykonywanie prostych obliczeń kalendarzowych i zegarowych w zakresie pełnych miesięcy i pełnych godzin.

26.Podaj jakie trudności występują w rozwiązywaniu zadań tekstowych i jak je przezwyciężamy.

27. Podaj w jaki sposób kształtujemy pojęcia geometryczne w edukacji wczesnoszkolnej podaj przykład- tok wprowadzania pojęcia

Wg W Okonia:

1. Kojarzenie nazw z odpowiednimi im przedmiotami. Uczniowie dostrzegają tutaj przedmioty z najbliższego otoczenia w tym też geometryczne. Kojarzenie nazwy z tymi przedmiotami może odbywać się kilkoma sposobami:

- Nauczyciel wprowadza nowy wyraz, sam określa jego znaczenie posługując się oglądaną przez uczniów rzeczą. Uczniowie słyszą nową nazwę i widzą przedmiot.

- Nauczyciel wyjaśnia znaczenie nowego słowa używając innego słownictwa np. kwadrat to prostokąt o równych bokach.

2. Kształtowanie pojęć elementarnych na podstawie znajomości zewnętrznych cech przedmiotów. Wystąpić tu powinno:

- zestawienie danego przedmiotu z innym np. czworokąta z kwadratem i prostokątem

- wyszukiwanie cech wspólnych

- Wyszukiwanie cech różniących dane przedmioty

- określenie przez uczniów danego pojęcia w nowych sytuacjach np. rysowanie, mierzenie.

3. Rozwijanie pojęć naukowych, obejmuje ono takie same momenty jak w kształtowaniu pojęć elementarnych z tym jednak że mogą one wystąpić w różnej kolejności i mieć różny zakres poznawania ćwiczenia i operowania.

Według przewodnika metodycznego:

1. Nauczyciel rozdaje uczniom klocki logiczne

2. Zwraca uwagę na ich kształt. Pokazuje odpowiedni klocek mówiąc np. „To jest klocek w kształcie koła”, demonstruje taki klocek uczniom. „poszukajcie takiego klocka”

3. Uczniowie koncentrują uwagę na kształcie klocków, odrzucają te które nie są okrągłe, wybierają te które spełniają warunek, następnie porównują wszystkie okrągłe klocki pod względem wielkości i grubości.

4. Dalszym zadaniem nauczyciela jest doprowadzenie do tego, aby dziecko samodzielnie przedstawiło graficznie poznany kształt. Można wykorzystać klocki jako szablony służące do odrysowania.

5. Uczniowie obrysowują klocki na kartkach lub w zeszycie.

6. Stopniowo przechodzą do rysowania odręcznego.

7. W celu utrwalenia nazwy podanej figury można przeprowadzać zabawy ruchowe zorganizowane w klasie lub na boisku szkolnym.

Kształtowanie pojęcia prostokąta- przykład.

• Uczniowie otrzymują klocki logiczne

- Wybierz te które mają kształt zeszytu

- Wymień przedmioty w klasie, które mają taki sam kształt jak zeszyt.

- Ułóż barwną posadzkę z wybranych figur

- Wybierz jeden klocek obrysuj go i zaznacz wierzchołki różnymi kolorami, zamaluj wnętrze.

- Z czym kojarzy Ci się ten kształt?

- Posadź drzewa w kątach tego ogródka.

-Ile drzew posadziłeś?

- Pomaluj boki tej figury różnymi kolorami. Ile kolorów zużyłeś?

- Jak nazwiecie tę figurę?

28. Algorytm sposobem pisemnym, pojęcie i tok metodyczny (ze schematem).

• Dodawanie, odejmowanie lub mnożenie i dzielenie.

wykonywania kolejnych czynności i prowadzący do rozwiązywania zagadnień pewnego typu, a przy tym spełniający pewne określone warunki.

Warunki algorytmu:

- wykonywalność krok po kroku

- jednoznaczność i powtarzalność

-skończoność

-biegłość w obliczeniach i dostosowanie przykładów do wieku i poziomu.

1. Nauczyciel przed przystąpieniem do wprowadzenia algorytmu dodawania sposobem pisemnym powtórzyć powinien:

- rachunek pamięciowy w zakresie 20

- dziesiątkowy układ pozycyjny z próbami zapisu kilku liczb

- manipulacyjne zamienianie jednostek niższego rzędu na jednostki wyższego rzędu np. przy płaceniu.

Etapy nauczania algorytmu dodawania:

1. Przedstawiamy jakiś konkretny problem dotyczący płacenia.

2. Uczniowie manipulują kartonikami, czyli pieniędzmi np. 18+15

3. Uczniowie opowiadają jakie czynności wykonywali- komentują kolejne kroki.

4. Zapisujemy rachunki na tablicy w zwykły sposób z użyciem znaku równości.

5. Przedstawiamy rachunki w rzędach systemu dziesiątkowego.

5a. to moment pośredni przy pierwszych próbach obliczeń

6. Obliczanie sumy najpierw z zaznaczeniem rzędów i cyframi pomocniczymi.

7. Stopniowe opuszczanie linii oddzielającej rzędy z cyferkami pomocniczymi.

8. Biegłość w rachunkach poprzez rozwiązywanie zadań tekstowych.

2. Nauczyciel przed przystąpieniem do wprowadzenia algorytmu odejmowania sposobem pisemnym powtórzyć powinien:

- rachunek pamięciowy dotyczący odejmowania w zakresie 20

-wyjaśnić pojęcia: różnica, odjemna, odjemnik

-zamianę jednostek wyższego rzędu na niższy

-dziesiątkowy układ pozycyjny

Etapy wprowadzania algorytmu odejmowania:

1. Przedstawienie problemu dotyczącego płacenia.

2. Uczniowie manipulują kartonikami- pieniędzmi na ławkach.

3. Uczniowie opowiadają- komentują jakie czynności wykonywali.

4. Zapis rachunków na tablicy z użyciem znaku równości =.

5. Przedstawienie, zapis rachunku w rzędach systemu dziesiątkowego.

6. Przedstawienie obliczeń z cyferkami pomocniczymi: najpierw z rzędami, a później stopniowe wymazywanie.

7. Dochodzenie do biegłości obliczeń poprzez obliczanie zadań tekstowych.

Algorytm odejmowania zawsze kończy się sprawdzaniem wyniku!!!

3. Nauczyciel przed przystąpieniem do wprowadzenia algorytmu mnożenia sposobem pisemnym powtórzyć powinien:

-tabliczkę mnożenia w rachunku pamięciowym

-pojęcia: iloczyn, czynnik

-dziesiątkowy układ pozycyjny

-zamianę jednostek niższego rzędu na wyższy przy manipulowaniu

-dzielenie z resztą

Etapy wprowadzania algorytmu mnożenia:

1.Wychodzimy od sytuacji związanej z płaceniem.

2.Przedstawienie tego problemu za pomocą manipulowania konkretami np. pieniędzmi

3.Przedstawienie obliczeń sposobem pamięciowym poprzez rozpisywanie łańcuchów (prawo rozdzielności mnożenie względem dodawania)

Np. 28x6=20x6+8x6

4.Przedstawienie obliczeń w postaci słupku dodawania.

5.Przeniesienie obliczeń do dziesiątkowego układu pozycyjnego.

5a. Pokazanie skąd wzięła się ta 4

5b. (Pomocnicza cyferka)

6.Nabywanie biegłości w obliczeniach przez rozwiązywanie zadań tekstowych lub mnożenia przez pełne 10, 100 lub użycie zer w działaniach np.

305

X 5

4. Nauczyciel przed przystąpieniem do wprowadzenia algorytmu dzielenia sposobem pisemnym powtórzyć powinien:

-rachunek pamięciowy w zakresie 100 w tabliczce x i :

-wyjaśnić pojęcie: dzielnik, dzielna, iloraz

-dziesiątkowy układ pozycyjny i zamianę jednostek wyższego rzędu na niższy.

Etapy wprowadzenia algorytmu dzielenia:

1.Sytuacja problemowa związana z dzieleniem.

2.Manipulacja + komentarz

3.Przeniesienie obliczeń do tabelki.

4.Nabycie wprawy wykonywania tego algorytmu dzielenia z resztą

Etap finalny-rozwiązywanie zadań tekstowych.

29. Kontrola i ocena i wyrównywanie braków edukacyjnych w nauczaniu matematyki.

Cele kontroli i oceny:

Kontrola i ocena postępów ucznia to jeden z najważniejszych elementów procesu kształcenia polegający na gromadzeniu informacji i opisywaniu osiągnięć edukacyjnych uczniów w celu ustaleniu ich aktualnego stanu wiedzy, posiadanych umiejętności i sprawności jak też umożliwiający i sprawności ich kariery szkolnej a także stymulowania ich rozwoju i motywacji do uczenia się.

Funkcje kontroli i oceny:

• Informacyjna- informuje ucznia o własnych postępach w uczeniu się matematyki. Daje informacje rodzicom ucznia o poczynaniach postępach i ewentualnych brakach. Nauczyciela informuje o aktualnym stanie wiedzy ucznia (Pozwala nauczycielowi zorientować się w uzyskanych wynikach swojej pracy dydaktycznej).

• Motywacyjna- motywuje uczniów do polepszania swojego stanu wiedzy, przezwyciężenia trudności, systematycznej pracy, oraz pozwala na planowanie swojego rozwoju

• Kształcąca

• Wspierająca

• Diagnostyczna

Oceniać możemy:

- Opisowo:

- Opisowo w postaci różnych pieczątek.

-Punktowo

-Procentowo

-Słownie na zasadzie pochwał

-Dozwolone są oceny cyfrowe 1-6 jako oceny cząstkowe

Ocenianie uczniów na etapie nauczania początkowego odnosi się do takich sfer aktywności ucznia jak:

• Aktywność i praca na lekcji

• Samodzielna praca na lekcji z kartą pracy

• Odrabianie zadań domowych

• Rozwiązywanie zadań na lekcji w pamięci i przy tablicy

• Samodzielna praca ucznia w czasie sprawdzianów testów klasówek.

30. Indywidualizacja ćwiczeń w uczeniu się matematyki.

Indywidualizacja jest organizowaniem nauczania w sposób uwzględniający w swoim założeniu fakt występowania różnic w zakresie zdolności umiejętności i zainteresowań między poszczególnymi uczniami.

Celem indywidualizacji pracy ucznia na zajęciach jest polepszenie wyników pracy dzieci i polepszenie wykorzystania i zwiększania jego możliwości.

Nauczyciel przygotowując się do zajęć powinien uwzględnić indywidualne możliwości uczniów, poprzez pracę indywidualną z uczniem zdolnym lub mało zdolnym lub poprzez zastosowanie zróżnicowanych zadań i ćwiczeń dostosowanych do indywidualnego poziomu ucznia.

Celem pracy indywidualnej jako pośredniego i niezbędnego ogniwa między jedną pracą zbiorową a druga jest zachowanie wszystkich uczniów do podejmowania wysiłku intelektualnego w procesie rozwiązywania problemów.

3 etapy organizacji pracy uczniów:

1. Praca jednolita której celem jest opracowanie nowych zagadnień programowych.

2. Praca zróżnicowana polegająca na organizowaniu pracy uczniów na dwóch lub trzech poziomach

3. Praca jednolita polegająca na przedstawieniu wyników całego zespołu.

Aby uczeń chętnie pracował nie powinien otrzymywać zadań ani zbyt trudnych ani zbyt łatwych.

31. Przyczyny trudności w uczeniu się matematyki.

Trudności w uczeniu się matematyki to wg Gruszczyk-Kolczyńskiej to trudności, które dzieci pomimo pewnego wysiłku nie mogą samodzielnie przezwyciężyć należą do nich:

• Nie rozumienie matematycznego sensu i zależności między pomiędzy liczbami i zadaniami.

• Brak odporności emocjonalnej.

• Brak odpowiedniej dojrzałości do uczenia się matematyki i obniżona sprawność manualna potrzebna przy stosowaniu środków graficznych przy zapisie działania.

Należy dążyć do jak najwcześniejszego wykrycia trudności w uczeniu się aby problemy nie nawarstwiały się poprzez diagnozę wstępną.

5 wskaźników dojrzałości do uczenia się matematyki wg Gruszczyk-Kolczyńskiej:

1. Świadomość w jaki sposób należy…………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………..

2. Odpowiedni poziom operacyjnego rozumowania

- Operacyjne rozumowanie w zakresie stałości nieciągłych

- Operacyjne porządkowanie elementów w zbiorze przy wyznaczeniu konsekwentnych serii.

- Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalania stałości, długości, przy obserwowanych przekształceniach

- Operacyjne rozumowanie w zakresie ustalania stałej objętości cieczy przy dokonywanych zmianach.

3. Zdolność do funkcjonowania na poziomie symbolicznym i koniecznym bez potrzeby odwoływania się do poziomu działań praktycznych.

4. Stosunkowo wysoki poziom odporności emocjonalnej na sytuacje trudne.

5. Właściwa sprawność manualna precyzja spostrzegania i koordynacja wzrokowo-ruchowa.

Do najczęstszych konsekwencji długo rozwijanych niepowodzeń szkolnych zaliczamy:

• Obniżenie zainteresowania matematyką.

• Spadek motywacji do osiągnięć szkolnych.

• Obniżenie ogólnej odporności nerwowej.

• Silne napięcie emocjonalne.

• Utrato wiary we własne siły i możliwości.

• Systematyczne pogarszanie się ogólnej sprawności umysłowej.

• Narastanie konfliktów w środowisku szkolnym.

32. Rozwijanie uzdolnień matematycznych w młodszym wieku szkolnym.

33. Zabawy i gry dydaktyczne i ich wartość w edukacji matematycznej uczniów klas młodszych.

typowe

algebraiczne

arytmetyczne

typowe

algebraiczne

proste

złożone

Zadania

arytmetycznene

---