Zadanie 1

Wyznaczyć moment statyczny sił
i
względem początku układu współrzędnych. Współrzędne wektorów wynoszą:

Rysunek. Wektory sił i promienie wodzące do przykładu

Moment od siły
ma wartość dodatnią i wynosi:

Moment od siły
można obliczyć , rozkładając tę siłę na dwie składowe o długościach P_2x=4, P_2y=1. Składowa pozioma działa na ramieniu r_2y=2 i wywołuje obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara, zatem moment ma wartość ujemną M_2x= -2*4=-8kNm. Składowa pionowa działa na ramieniu r_2x= 5 i również wywołuje moment ujemny M_2y= -5*1=-5. Moment całkowity jest suma poszczególnych momentów:

M₂=-8-5=-13kN m

Parą sił nazywamy układ dwóch sił równoległych o równych wartościach, lecz o przeciwnie skierowanych zwrotach.

Rysunek 9. Układ dwóch sił równoległych.

Moment pary sił względem dowolnego bieguna O można obliczyć następująco:

M=(a+x)P-Px=aP

Z wyrażenia powyższego wynika, że wartość momentu pary sił nie zależy od położenia bieguna.

Równoległe przesunięcie siły do innego punktu.

Na rysunku 10a pokazano tarczę do której w punkcie A przyłożona jest siła
.

Zgodnie z trzecią zasadą statyki w dowolnym punkcie B można przyłożyć równolegle do niej dwie siły
o przeciwnych zwrotach (rys.10b).

Otrzymujemy równoważny układ trzech sił, z których dwie siły stanowią parę sił o momencie M=aP, a trzecia jest równolegle przesunięta do wyjściowej.

A więc przesuwając równolegle siłę
na odległość a, konieczne jest dodanie do układu momentu pary sił
(rys.10c).

a) b) c)

Rysunek10 Równoległe przesuniecie siły

Redukcja płaskiego układu sił

Układ sił zbieżnych

Jeżeli linie działania wszystkich sił przechodzą przez jeden wspólny punkt, to tworzą tzw. układ sił zbieżnych (rys.11).

Najprostszym przykładem takiego układu mogą być dwie siły
i
(Rys.11a). Układ pięciu sił zbieżnych pokazano na rysunku b.

a) b)

Rysunek11. Układy sił zbieżnych oraz ich wypadkowe: a)dwie siły, b) pięć sił.

Zgodnie z pierwszą zasadą statyki układ n sił zbieżnych

można zastąpić jedną równoważną im siłą
, zwaną siłą wypadkową

(4)

Wyznaczanie wypadkowej
będzie polegało na znalezieniu rzutów poszczególnych sił na obie osie układu oraz algebraicznym dodaniu ich do siebie.

Oznaczając współrzędne rzutów poszczególnych sił na oś x przez
, a na oś y przez
, wypadkową obliczamy ze wzoru:

(5)

gdzie W_x i W_y są współrzędnymi wektora
:

(6)

Bezwzględną wartość wypadkowej oblicza się z wcześniej podanego wzoru 2.

Linia działania wypadkowej układu sił zbieżnych przechodzi przez punkt zbieżności linii działania wszystkich sił składowych.

Układ sił dowolnych

Jeżeli linie działania wszystkich sił działających na konstrukcje nie przecinają się w jednym punkcie to najczęstszym sposobem redukcji układu sił jest redukcja do wektora głównego
i momentu głównego
układu.(rys.12)

Rysunek12. Redukcja układu sił dowolnych: a)układ sił, b)redukcja do wektora i momentu głównego.

(7)

gdzie
jest wektorem wodzącym i-tej składowej P_i względem punktu O.

Wektory
i
zaczepia się w punkcie nazywanym biegunem redukcji układu. Biegunem może być dowolny punkt na płaszczyźnie.

Moment statyczny wypadkowej płaskiego układu sił względem dowolnego punktu równa się sumie algebraicznej momentów statycznych sił składowych względem tego punktu.

Przykład

Zredukować przedstawiony na rysunku układ czterech sił względem początku układu współrzędnych. Współrzędne wektorów sił: P_1x=2kN, P_2y=2kN, P_3y=5kN, P_4x=3kN, P_4y=-4kN. Na rysunku położenie wektorów narysowano w skali [m].

Rysunek Układ sił dowolnych i jego redukcja do wektora i momentu głównego.

Zgodnie z rysunkiem poszczególnym współrzędnym wektora sił przyporządkowane są następujące współrzędne promieni wodzących:

r_1y=4m, r_2x=4m, r_3x=7m, r_4x=8m, r_4y=6m

Współrzędne wektora głównego obliczamy:

W_x=2+0+0+3=5kN, W_y=0+2+5-4=3kN

Moment ujemny wywołuje obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara, a zatem momenty statyczne od poszczególnych sił wynoszą:

M₁=-2x4=-8kNm, M₂=2x4=8kNm, M₃=5x7=35kNm,

M₄=-3x6-4x8=-50kNm

Moment główny układu jest sumą poszczególnych składowych:

M₀=-8+8+35-50=-15kNm.

Układ sił równoległych

Na rysunku (13) przedstawiono układ sił równoległych.

a) b)

Rysunek 13.Redukcja układu sił równoległych: a)układ sil, b) redukcja do wektora i momentu głównego.

Układ sił równoległych podobnie jak w przypadku układu sił dowolnych można zredukować do wektora głównego i momentu głównego układu.

(8)

W powyższych wzorach zastosowano zapis skalarny, gdyż wszystkie siły mają ten sam kierunek.

Zadanie

Zredukować układ sił

względem punktu O będącego początkiem układu współrzędnych, przyjmując A(3,5), B(3,8), C(7,2).

y[m] y[m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x[m] 0 1 2 3 4 5 6 7 8x[m]

M₀=-20

10

---