9.Transformacja Lorentza: Weźmy pod uwagę dwa układy inercjalne S i S`, których osie x i x` są do siebie równoległe, a początki O i O` pokrywają się w układzie S ze stałą prędkością v , zwróconą zgodnie ze zwrotem osi x. Gdy pewne zdarzenie zaobserwowane w układzie S ma współrzędne x,y,z,t, to odpowiednie jego współrzędne w układzie S` wynoszą x`,y`,z` ,t`. Układy odniesienia wybieramy w taki sposób, żeby zawsze y` = y i z` = z i tymi współrzędnymi nie będziemy się zajmować. Mamy więc w każdym układzie jedną współrzędną przestrzenną (x lub x`) i jedna współrzędną czasową (t lub t`).

Równanie czoła fali kulistej :

x²+y²+z²=c²t²

x'²+y'²+z'²=c²t'²

stosuję podstawienia

x' = x - v t

y' = y

z' = z

t' = t + f x

c't' - promień kuli

podstawiam wartości i rozwiązuję układ równań , przy czym 2c²f + 2v = 0 ⇒

f = -(v / c²) , współczynnik

x' = γ( x - v t) x = γ( x' +vt')

y' = y y = y'

z' = z z = z'

t' = γ( t - (v/c²)x) t = γ( t'- (v/c²)x')

10Skrócenie długości

mamy dwa układy s i s', mierzymy długość w obydwu układach : l'- długość zmierzona przez obserwatora w ruchomego ,l- opisuje długość jaką zaobserwuje obserwator nie będący w ruchu ,gdzie :

l₀ = x₂ - x₁ , l' = x₂' - x₁'

l₀=x² - x¹= γ(x₂'+vt')-γ(x₁'+vt') =γ(x₂'-x₁')

l'=l₀/γ =
ciało obserwowane w ruchu jest „krótsze” od ciała w spoczynku

13.Masa relatywistyczna, energia w teorii względności:

m. = γm₀ - masa ciała kiedy się porusza, nie jest równa masie ciała kiedy jest w spoczynku. Zmiana masy jest wynikiem płynięcia czasu w dwóch układach.

Energia relatywistycna:

V - małym:

m - całkowita masa jest cał. energią zawartą w masie, m₀c² - energia spoczynkowa, 1/2m₀V² - prędkość ruchu, E - energia całkowita, E₀ - energia spoczynkowa,

dla E₀ = 0, E = p ⋅ c

p = mV = E / c² V = (p / c) ⋅ V,

V⇒ c - wartość prędkości jest równa wartości c.

15.Oscylator harmoniczny:

Aby zaistniał ruch potrzebna jest siła :

F = -kx (x-wychylenie, k-sprężystość ukł)

m*a = -kx , to a + k/m x =0 , a -przyspie.

Możemy również zapisać :

x(t) = Asin (ωt + f₀)

a stąd:

A - amplituda drgań

ωt +f₀ - faza drgań

ω₀ - prędkość kołowa , pulsacja , częstość

Oscylator tłumiony :W rzeczywistym oscylatorze w wyniku działania tarcia amplituda drgań maleje stopniowo aż do zera.

F = ma lub -kx - b(dx/dt) =m(d²x/dt²)

-b(dx/dt) - siła tłumiąca, jeżeli b jest mała:

lne^βT = βT - log. deklement tłumienia

β = r/2m - współczynnik tłumienia

23.Prawo Kulomba: Dwa nieruchome ładunki elektryczne q oraz Q oddziałują na siebie siłą daną wzorem:

Lub w zapisie wektorowym

Stała k_o zależy tylko od układu jednostek. W układzie SI: k₀ = 1 / (4πε_oε). Stała:

Kulomb jest ładunkiem, który na drugi taki sam ładunek działa z odległości 1 [m.] siłą równą 9 ⋅ 10⁹ [N]. Kulomb jest jednostką pochodną ampera. Wartość jednego kulomba ma ładunek elektryczny, przepływający w czasie jednej sekundy przez przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu jednego ampera. Przyjmuje się że siła jest dodatnia dla ładunków równoimiennych, a ujemna dla różnoimiennych. Zakres stosowalności prawa Kulomba rozciąga się od 10^-15 [m.]. do kilkudziesięciu lat świetlnych.

26.Pole magnetyczne i jego względność: Dwa równoległe przewodniki, przez które płynie prąd, przyciągają się lub odpychają się. Obserwując zamiast dwóch przewodników strumień swobodnych elektronów w pobliżu przewodnika z prądem, również stwierdzimy odchylenie biegu elektronów po włączeniu prądu. Można więc przyjąć, że w przestrzeni otaczającej przewodnik z prądem znajduje się pole magnetyczne. Pole to opisujemy za pomocą wektora indukcji magnetycznej
, zdefiniowanego przez siłę elektrodynamiczną działającą na poruszający się ładunek:

w próżni

Pole magnetyczne jest polem bezżródłowym , jest polem wirowym. Nie mam szans na otrzymanie pojedynczego bieguna N lub S .

Cyrkulacja

27.Równanie Maxwella: Maxwell traktował przestrzeń jako ośrodek materialny - eter. Jeśli w przestrzeni nie ma żadnej dotykalnej materii ,prąd przesunięcia płynie w jakimś ośrodku.

Postać różniczkowa:

μ₀ i ε₀ - stałe które charakteryzują własności próżni w sensie magnetycznym ( gdy nie ma materii)

Są to cztery sprzężone równania różniczkowe cząstkowe .Stosują się one do każdego punktu przestrzeni pola elektromagnetycznego. W próżni gęstość ładunku ρ oraz prądu I równa się zero.

Maxwell jako pierwszy zasugerował, że światło jest falą elektromagnetyczną o określonym zakresie częstotliwości.

2. Prawo Ohma :

Prawo Ohma

Przepływ prądu w przewodniku jest wywołany działaniem pola elektrycznego na nośniki ładunku znajdujące się wewnątrz przewodnika. Jeżeli do końców przewodnika doprowadzimy napięcie U to wytworzone w ten sposób pole elektryczne spowoduje przepływ prądu o natężeniu I.

Iloraz R=U/I nazywamy oporem elektrycznym [

Stosunek napięcia między dwoma punktami przewodnika do natężenia przepływającego przezeń prądu jest wielkością stałą i nie zależy ani od napięcia ani od natężenia prądu. Twierdzenie to nosi nazwę prawa Ohma.

Z powyższego wzoru można napisać, że I=U/R czyli natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia. Prawo Ohma jest ściśle słuszne tylko gdy temperatura = const.

Prawo Ohma stosuje się do wszystkich ciał jednorodnych i izotropowych przy niewielkich napięciach i natężeniach prądu.

Opór danego przewodnika zależy od jego wymiarów i jest on wprost proporcjonalny do długości L oraz odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S przewodnika.

R= ρL/S

Współczynnik ρ nosi nazwę oporu właściwego. Ze względu na opór właściwy ciała dzieli się umownie na grupy:
- metale będące b. dobrymi przewodnikami
- półprzewodniki
- elektrolity
- izolatory
Odwrotność oporu nazywa się przewodnością, a odwrotność oporu właściwego - przewodnością właściwą. Zatem:

δ=1/ ρ
Ustalimy obecnie związek między natężeniem pola elektrycznego w przewodniku a gęstością prądu. W tym celu zauważamy, że jeżeli przewodnik ma długość L, to przy napięciu U natężenie pola E=U/I
Przy założeniu, że prąd jest rozłożony równomiernie w całym przekroju przewodnika, gęstość prądu w tym przewodniku wynosi:
j=L/S
j=U/RS=EL/RS=E/ρ=δE

(pytanie 46:)
Wzór powyższy j=δE wyrażający proporcjonalność prądu do natężenia pola elektrycznego jest inną postacią prawa Ohma. Nazywamy go różniczkowym prawem Ohma. Wyraża ono lokalne własności przewodnika. Związek zapisujemy często w postaci wektorowej.

1. Natężenie prądu elektrycznego (wielkość elektryczna)

Natężenie prądu elektrycznego I płynącego przez przewodnik jest wprost proporcjonalne do napięcia U przyłożonego między końcami przewodnika.

I ~ U

Dla danego odcinka obwodu stosunek napięcia mierzonego na jego końcach do natężenia na jego końcach do natężenia prądu przez niego przepływającego ma stałą wartość i nazywa się oporem elektrycznym R.

U

R = --- = const

I

Jednostką oporu elektrycznego jest 1 om (1Ω).

1Ω jest to opór takiego przewodnika, w którym pod napięciem 1V płynie prąd o natężeniu 1A.

Natężenie prądu elektrycznego (wielkość geometryczna)

Opór elektryczny - właściwy - jest równy oporowi przewodnika o długości 1m i polu przekroju poprzecznego 1 m².

Na opór wpływa ma również temperatura. Opór przewodnika rośnie wraz ze wzrostem temperatury.

3) Siły bezwładności :

Inercjalne układy odniesienia:

Układ odniesienia , w którym obowiązują zasady dynamiki Newtona, nazywamy układem inercjalnym.

Według I zasady dynamiki Newtona układ inercjalny wyróżnia się tym, że ciało nie poddane działaniu sił spoczywa lub porusza się jednostajni prostoliniowo względem tego układu. Doświadczenia wykazują, że układ odniesienia związany z Ziemią jest w bardzo dobrym przybliżeniu układem inercjalnym. Jednak ruch obrotowy Ziemi wokół własnej osi wpływa w niewielkim stopniu na przebieg zjawisk mechanicznych (dowód wahadło puszczone w ruch poziomy). Dokładniejszym układem inercjalnym jest układ związany z gwiazdami.

Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym i prostoliniowym jest też układem inercjalnym.

Układy nieinercjalne:

Przypuśćmy, że obserwujemy ruch punktu materialnego P w pewnym inercjalnym układzie odniesienia, który oznaczmy przez O. Rozważany punkt znajduje się pod działaniem innych sił materialnych, więc porusza się ruchem jednostajnym (F=m*a) Weżmy teraz pod uwagę drugi układ odniesienia O' , poruszający się względem układu O w kierunkuosi x ruchem dowolnym.

Na podstawie rysunku widzimy , że x'(t) = x(t) - x_o(t), po dwukrotnym zróżniczkowaniu otrzymujemy:

a' = a - a_o

Z powyższego związku widać, że przyspieszenie w układzie O' , nie jest równe przyspieszeniu w układzie O. Równość taka zachodzi tylko dla a_o=0 , a więc gdy przyspieszenie układu O' względem O jest równe zeru, gdy układ O' jest układem inercjalnym. Jeżeli zaś
to układ O' nazywamy układem nieinercjalnym, a przyspieszenie a_o - przyspieszeniem unoszenia.

W układzie O' nie obowiązuje I zasada dynamiki: punkt materialny nie spoczywa , lecz porusz sie z przyspieszeniem a' = - a_o. Układ ten nie jest układem inercjalnym i nie działa w nim także II zasada dynamiki: iloczyn masy i przyspieszenia nie jest równy sile działającej na masę, lecz równy jest sile mnius wyrażenie m*a_o.

Zdefiniujemy teraz siłę bezwładności F_b jako iloczyn masy i przyspieszenia unoszenia ze znakiem minus:

F_b = - m*a_o

Siłę bezwładności nazywa się siłą pozorną, gdyż jej istnienie zależy od wyboru nieinercjalnego układu odniesienia.

W obracającym się układzie odniesienia występuje siła bezwładności, zwana odśrodkową siłą bezwładności.

F_od = m*ω²*r

Siła bezwładności

Prawa Newtona są spełnione tylko w inercjalnych układach odniesienia. Przyspieszenie ciała w jest takie samo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Każdy układ nieinercjalny porusza się względem układów inercjalnych z pewnym przyspieszeniem, dlatego przyspieszenie w' w nieinercjalnym układzie odniesienia różni się od przyspieszenia w w układzie inercjalnym. Różnicę przyspieszeń ciała w układach inercjalnym i nieinercjalnym oznaczmy symbolem a: w-w' = a.

Jeżeli ruch układu nieinercjalnego względem inercjalnego jest ruchem postępowym, to wektor a jest taki sam dla wszystkich punktów przestrze­ni — jest to po prostu wektor przyspieszenia nieinercjalnego układu odniesienia. Jeżeli układ nieinercjalny wiruje, to wektor a jest różny w różnych punktach przestrzeni (a = a (r'), gdzie r' jest wektorem położenia punktu względem nieinercjalnego układu odniesienia).

Załóżmy, że wypadkowa wszystkich sił, których źródłem są inne ciała, wynosi F. Zgodnie z drugim prawem dynamiki, przyspieszenie ciała wzglę­dem dowolnego układu inercjalnego jest równe

Natomiast przyspieszenie ciała względem pewnego układu nieinercjalnego, można przedstawić w postaci

Stąd wynika, że nawet przy F = O ciało porusza się względem układu nieinercjalnego z przyspieszeniem -a, czyli tak, jakby na niego działała siła — m a. Z powyższego wynika, że do opisu ruchu w nieinercjalnych układach odniesienia można posługiwać się równaniami Newtona, o ile — nieza­leżnie od sił, których źródłami są inne ciała — wprowadzi się tzw. silę bezwładności F_b, równą iloczynowi masy ciała przez różnicę przyspieszeń a, wziętą ze znakiem minus: F_b = -m(w-w') = -ma

Zapis drugiego prawa Newtona w nieinercjalnym układzie odniesienia ma następującą postać: mw'=F.+Fb.

• Odśrodkowa siła bezwładności

Siły bezwładności F_bo=mω²R, które pojawiają się w wirujących (względem układów inercjalnych) układach odniesienia, nazywamy odśrodkowymi siłami bezwładności. Taka siła „działa" na ciało w wirującym układzie odniesienia, niezależnie od tego, czy ciało to spoczywa w tym układzie, czy porusza sig względem tego układu z prędkością v'.

Jeżeli położenie ciała w obracającym się układzie odniesienia jest scharakteryzowane wektorem położenia r', to odśrodkową siłę bezwładności można przedstawić w postaci podwójnego iloczynu wektorowego: F_bo=m.[ω,[r',ω]]

• Siła Coriolisa

Jeżeli ciało porusza się względem wirującego układu odniesienia(rys a), to — oprócz odśrodkowej siły bezwładności — pojawia się jeszcze jedna siła, zwana silą Coriolisa lub silą bezwładności Coriolisa. W wirującym układzie odniesienia cząstka zachowuje się tak, jakby — oprócz skierowanej do środka okręgu siły F — działały na nią jeszcze dwie siły: F_bo = mω² R i Fc, której wartość wynosi 2mv'ω. Łatwo jest przekonać się, że siłę Fc można przed­stawić w postaci Fc = 2m [v'<a].

Siła ta jest właśnie siłą bezwładności Coriolisa. Jeżeli v' = O, to siła Coriolisa jest równa zeru. Natomiast siła f|», nie zależy od v' — działa ona zarówno na spoczywające, jak i poruszające się cząstki. Dla przypadku przedstawionego na rysunku b mamy

A następnie

Siła Coriolisa jest siłą bezwładności działającą na ciało poruszające się ruchem postępowym w obracającym się układzie odniesienia. Wyraża się ona wzorem:

F_c = 2*m*v*x*ω

Gdzie ω oznacza prędkość kątową, z jaką obraca się układ odniesienia, a v-prędkość ruchu ciała w tym układzie. Z postaci powyższego wzoru widać, że siła Coriolisa jest równa zeru tylko wtedy, gdy ciało porusza się równolegle do osi obrotu.

W skutek obrotu Ziemi wokół własnej osi w zjawiskach zachodzących na Ziemi występuje siła Coriolisa. Na przykład rzeki płynące na półkuli północnej podmywają prawy brzeg bardziej, niezależnie od kierunku w którym płyną. Siła Coriolisa powoduje także odchylenie toru pocisku w prawo od kierunku, w jakim został wystrzelony. Równiż swobodnie spuszczone ciało odchyla się nieco do pionu pod działaniem tej siły.

19. Zasada zachowania momentu pędu.

Stosunek zmiany całkowitego momentu pędu układu punktów materialnych względem punktu związanego z inercjalnym układem odniesienia (albo względem środka masy) do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła jest równy sumie momentów sił zewnętrznych działających na ten układ, tzn: ၴ_zew=dL/dt. Przypuśćmy teraz, że suma momentów sił zewnętrznych ၴ_zew =0; znaczy to, że dL/dt=0, zatem L jest wektorem stałym. Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero. Całkowity moment pędu pozostaje stały. Dla układu n punktów materialnych całkowity moment pędu względem pewnego punktu wynosi L=l₁+l₂+...l_n. Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, to L=const=L₀, gdzie L₀ jest stałym wektorem całkowitego momentu pędu. Momenty pędu poszczególnych punktów materialnych mogą się zmieniać, lecz ich suma wektorowa L₀ pozostaje stała gdyż wypadkowy moment sił zewnętrznych równa się zeru.

Przykład.

Jeśli układem punktów materialnych jest ciało sztywne obracające się wokół pewnej osi (np. osi z), która jest nieruchoma w inercjalnym układzie odniesienia, to możemy zapisać że L_Z=Iთၷ, gdzie L_Z jest składową momentu pędu wzdłuż osi obrotu, a I jest momentem bezwładności układu względem tej samej osi. Gdy skoczek odbija się od trampoliny z wyciągniętymi nogami i rękoma posiada pewną początkową prędkość kątową. Ponieważ w powietrzu nie występują momenty sił zewnętrznych, jego moment pędu L=I*omega jest stały. Gdy skoczek podkurczy nogi i ręce, zmaleje, ale odpowiednio wzrośnie ၷ. Moment pędu nie ulegnie zmianie L=Iთၷ=I₀თၷ₀=const.

37. Prawo Gaussa dla elektrostatyki i jego konsekwencje (pokazać jak z prawa Gaussa wynika prawo Coulomba).

Twierdzenie Gaussa - całkowity strumień Φ wektora indukcji elektrycznej D przez powierzchnię zamkniętą S o dowolnym kształcie jest wprost proporcjonalny do sumy algebraicznej swobodnych ład. Elektrycznych zawartych wewnątrz tej powierzchni i nie zależy od ładunków rozmieszczonych na zewnątrz niej.

Φ = ∑_k=1ⁿ q_k gdzie q₁, q₂, .. to ładunki zawarte wewnątrz powierzchni.

Uwzględniając wyrażenie na całkowity strumień indukcji elektrycznej, twierdzenie to można zapisać:

Φ = ƒƒ_s D_n ds = Q / (_{ρ } _e)

gdzie: Q - ładunek całkowity wewnątrz zamkniętej powierzchni S.

Dla pola magnetycznego: strumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zeru

Φ = ƒƒ_s B ds = 0

ładunki leżące na zwenątrz nie mają wpływu na wartość E jeżeli rozkład ładunków jest odp. symetryczny, iż prez odpowiedni dobór powierzchni Gaussa da się wyznaczyć całkę Φ_E=ƒEdS. Prawo gaussa może być stosowane do obliczania ładunku znajdującego się wewnątrz powierzchni.

Jak wynika prawo Columba

ε₀∫Eds=q

ε₀E∫ds=q

ε₀E(4πr²)=q

E=1/4πr²ε₀*q/r², ale E=F/q₀ --> F=1/1/4πr²ε₀*qq₀/r² - prawo Coulomba

52. Zjawisko indukcji i samoindukcji elektromagnetycznej.

Indukcja elektromagnetyczna - zjawisko powstawania w obwodzie elektrycznym siły elektromagnetycznej indukcji _i w wyniku zmian w czasie strumienia magnetycznego obejmowanego przez ten obwód (prawo Faraday'a)

_{δ } ƒ_ _ δ   (δΦ_  (δ   ƒƒƒ_σ ∂  ∂

Gdy obwód jest zamknięty, zaczyna w nim płynąć prąd elektryczny zwany prądem indukowanym. W praktyce można uzyskać prąd indukowany w następujących przypadkach:

1. gdy obwód zamknięty porusza się w polu magnetycznym magnesu w ten sposób, że przecina linie sił pola magnetycznego;

2. gdy obwód jest nieruchomy, a porusza się magnes (zależy to więc jedynie od ruchu względnego między obwodem, a magnesem);

3. gdy zamiast magnesu zostanie użyta cewka z prądem, która wytwarza pole magnetyczne;

4. gdy w poprzednim przypadku obwody pozostają nieruchome, ale w cewce zmienia się natężenie prądu;

Kierunek powstającego prądu indukowanego określony jest przez regułę Lenza (kierunek prądu indukowanego jest taki, że wytworzone przez niego pole magnetyczne przeciwstawia się przyczynie, która go wywołała).

Samoindukcja - szczególny przypadek indukcji elektromagnetycznej, zjawisko powstawania siły elektromotorycznej (SEM) w obwodzie zamkniętym w wyniku zmian strumienia indukcji magnetycznej wytwarzanego przez zmienny prąd elektryczny płynący przez ten obwód. Wielkość SEM wynosi

_σ      

, gdzie    - szybkość zmian natężenia prądu w obwodzie

L - współczynnik samoindukcji

17. Moment bezwładności bryły sztywnej

ciało sztywne - układ punktów materialnych, które zajmują zawsze te same położenie względme siebie.

Weźmy pod uwagę ciało sztywne obracające się z prędkością kątową ω dokoła osi, które jest nieruchome w wybranym układzie inercjalnym. Każdy punkt tego ciała ma energię kinetyczną. Punkt materialny o masie m i odległości r od osie obrotu i ma prędkość liniową v=ωr. Jegeo energia kinetyczna wynosi zatem mv²/2=mr²ω²/2 całkowita energia kinetyczna ciała jest sumą energii kinetycznych wszystkich jego punktów. Dla ciała sztywnego ω jest stałe dla wszystkich punktów materialnych. Promień r może być różny dla róznych punktów. Stąd całkowita energia kinetyczna K obracającego sie ciała wyraża się jako K=1/2(m₁r₁²+...)ω²=1/2(Σm_ir_i²) ω². Czynnik (Σm_ir_i²) hest sumą iloczynów mas cząstek przez kwadraty ich odległości od osi obrotu. Oznaczając tę wielkość przez I nazywamy momentem bezwładności ciała względem wybranej osi.

ciągły rozkład masy - dla ciała sztywnego, które nie składa się oddzielnym mas punktowych, lecz ma ciągły rozkład masy, wyrażenie określające moment bezwładności jest bardziej złożone. Proces sumowania we wzorze I=(Σm_ir_i²) zastępujemy procesem całkowania. rozważmy ciało podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm. Niech r oznacza odległość każdego elementu od osi obrotu. Wówczas moment bezwładności otrzymujemy z wyrażenia I=∫r²dm, gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

60. Prawo ampera dla elektromagnetyzmu. Prawo Biota - Savarta

Prawo ampera - krążenie wektora natężenia pola magnetycznego po dowolnej krzywej zamkniętej jest równe algebraicznej sumie natężeń prądów przepływających przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

_ _ _  _ _

Prawo ampera - prawo przedstawiające zależność wartości cyrkulacji (całki okrężnej) wektora natężenia pola magnetycznego H od wartości natężeń stałych prądów elektrycznych płynących przez powierzchnię objętą cyrkulacją; cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego, wytworzonego przez stały prąd elektryczny, wzdłuż linii zamkniętej L obejmującej prąd jest równa sumie algebraicznej natężeń I_k prądów obejmowanych przez tę linię

ƒ_L Hdl = ∑_k=1ⁿ I_k

Prawo ampera - względną wartość indukcji B dla różnych odległości n i przy róznych natężeniach i możemy wyznaczyć, dowodząc doświadczalnie, że B=i/r. Proporcjonalność tę możemy zamienić na równość wprowadzając stałą wówczas μ₀/2π, gdzie μ₀ - przenikalność magnetyczna. wówczas B=μ₀i/2πr albo 2Bπr=μ₀i. Lews strona ostatniego równania jest równe ∫Bdl po obwodzie koła o promieniu r, w które środku umieszczono drut. We wszystkich punktach tego koła B ma tę samą (stałą) wartość bezwzględną B, a dl -styczne do drogi całkowania ma ten sam kierunek co B. Wobec tego ∫Bdl=B∫dl=2Bπr, gdzie ∫dl jest obwodem koła. A więc w tym szczególnym przypadku możemy zapisać związek pomiędzy polem magnetycznym i prądem jako ∫Bdl=μ₀i - co stanowi prawo Ampera.

Ampera reguła (reguła pływaka) - reguła określająca zależność między kierunkiem pola magnetycznego, a kierunkiem prądu elektrycznego wytwarzającego to pole: człowiek płynący wzdłuż przewodnika w kierunku prądu elektrycznego i zwrócony twarzą do igły magnetycznej umieszczonej pod przewodnikiem widzi północny biegun tej igły odchylony na lewo.

Prawo Biota - Savarta (jednostki)

Prawo Ampera można stosować do znajdowania pola magnetycznego tylko wtedy, gdy rozkład prądów jest na tyle symetryczny, że pozwala na łatwe obliczenie całki krzywoliniowej ∫Bdl. Podobnie prawo Gaussa stosuje się w elektrostatyce do znajdowania pół elektrostatycznych wówczas tylko, jesli rozkład ładunku ma na tyle wysoką symetrię, że łatwo jest policzyć całką powierzchniową ∫Eds

Chcąc znaleźć idnukcję dB pola magnetycznego wytworzonego przez element prądu w pnkcie P. Zgodnie z prawem Biota-Savarta dB=μ₀i/4π * dl sinθ/r², gdzie r jest promieniem wodzacym, poprowadzonym od elementu prądu do punktu P, a θ kąt zawarty między r i dl. Zapisując to w postaci wektorowej otrzymamy dB==μ₀i/4π * (dl x r)/r³ _­gdzie

Prawo określające wielkość i kierunek wektora indukcji magnetycznej w dowolnym punkcie pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd elektryczny, pozwalające znaleźć rozkład pola magnetycznego wytworzonego przez dowolny układ przewodników z prądem. Zgodnie z tym prawem, odcinek przewodnika , wzdłuż którego płynie prąd o natężeniu I, wytwarza w danym punkcie M przestrzeni, pole magnetyczne o indukcji magnetycznej

dB = [(μ₀ * μ_r * I)/4π]*[(dl * sin α)/r²]

B = [(μ₀ * μ_r * I)/4π]*ƒ[(dl * r)/r³]

φHdl = I

H = [(μ_r * I)/4π]*ƒ[(dl * r)/r³]

11)Równanie ruchu dla bryły obrotowej

Gdy na bryłę działa niezrównoważony moment siły M , wtedy nadaje on tej bryle przyspieszenie kątowe , którego wartość jest proporcjonalna do wartości momentu siły
, gdzie I- moment bezwładności bryły.
,

Prawo powszechnego ciążenia

Wszystkie ciała obdarzone masą przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji. Wartość siły wzajemnego przyciągania się dwu ciał jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami. Wektor siły grawitacji leży na prostej przechodzącej przez środki obu mas.

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

Zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej nazywamy zjawisko powstawania prądu w zamkniętym obwodzie pod wpływem zmian strumienia indukcji magnetycznej. Powstający prąd nazywamy prądem indukcyjnym. Może on zostać wzbudzony w zamkniętym obwodzie wtedy gdy zmienia się strumień indukcji pola magnetycznego obejmowany przez obwód.

Prędkość, przyspieszenie

W dowolnym ruchu prędkość jest definiowana wzorem v=r/t. Rozróżniamy chwilowe, średnie. Przyspieszenie jest wielkością wektorową charakteryzującą zmiany prędkości w ciągu jednostki czasu. Rozróżniamy średnie i chwilowe. a_śr=v/t

Układ nieinercjalny, zasady dynamiki

Układem nieinercjalnym nazywa się taki układ w którym nie jest spełniona pierwsza zasada dynamiki - jest nim każdy układ poruszający się z przyśpieszeniem, np. układ związany z hamującym lub przyśpieszającym pojazdem, z pojazdem na zakręcie.

I zasada dynamiki - jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub gdy siły działające na nie równoważą się to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

II zasada dynamiki - jeżeli na ciało działa stała niezrównoważona siła (wypadkowe wszystkich sił działających na nie jest różna od zera) to ciało to porusza się ruchem jednostajnie zmiennym z przyśpieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej siły i odwrotnie proporcjonalnym do masy tego ciała (kierunek i zwrot przyśpieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wypadkowej siły)

III zasada dynamiki - jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F_AB (siła akcji) to ciało B oddziałuje na ciało A siłą F_BA (siłą reakcji) która ma taką samą wartość , taki sam kierunek i przeciwny zwrot. Siły te przyłożone są do różnych ciał ( czyli nie równoważą się)

RUCH - zmiana położenia obiektu materialnego względem pewnego punktu odniesienia; opis ruchu abstrahujący od działających sił stanowi przedmiot kinematyki, dynamika bada związek ruchu z działającymi siłami.

R. JEDNOSTAJNY - ruch, w którym stała jest bezwzględna wartość przyspieszenia, czyli przyspieszenie styczne (a_t) i dośrodkowe (a_n) jest równe zeru; wzory: s=υt υ=const a_t=a_n=0

R. JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY - ruch, w którym przyspieszenie styczne ma stałą wartość; wzory:

gdzie υ(t)-pr. jako funkcja czasu, υ₀ -pr. początkowa, a_t -przyspieszenie styczne a_t≠0=const a_n=0 υ - zmienne; ruch, w którym a_t<0 nazywamy ruchem jednostajnie opóźnionym

MOMENT PĘDU (KRĘTU)

Momentem pędu „L” punktu materialnego o masie „m” i wektorze wodzącym „r” od tego punktu definiujemy wzorem L = r x mv (co można zapisać
)

Moment pędu bryły jest sumą momentów pędu wszystkich jej punktów, czyli
albo L=IL_o

Moment pędu bryły równa się iloczynowi jej prędkości kątowej „ω” i momentu bezwładności „I”.

Posługując się pojęciem momentu pędu można II zasadą dynamiki ruchu obrotowego można wyrazić następująco : Pochodna momentu pędu „L” bryły względem czasu „t” jest równa momentowi siły „M” działającej na tę bryłę.

Mamy :

P.S. II zasada dynamiki:

Moment siły działającej na bryłę jest równy iloczynowi momentu bezwładności „I” tej bryły i jej przyspieszenia kątowego „α”. M. = I_α

Natomiast: Moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności „I₀” względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczyn masy tej bryły i kwadratu odległości obu osi, czyli I=I₀+mα²

13. Równanie ruchu dla bryły obrotowej

Wyobraźmy sobie ciało sztywne, obracające się dookoła stałej osi, na przykład koło rozpędowe jakiejś maszyny. Ciało to podzielmy w myśli na bardzo wiele elementów i weźmy pod uwagę jeden taki element, na przykład k-ty. Niech jego masa wynosi m_k, zaś prędkość liniowa w pewnej chwili, uznanej za początkową, niech wynosi v_0k. Na element ten działają na ogół rozmaite siły, a więc siła zewnętrzna oraz siły wewnętrzne, w tym siłę dośrodkową.
Siła zewnętrzna F_k, jeśli nie leży w płaszczyźnie rysunku, to jest w płaszczyźnie prostopadłej do osi, ma jakąś składową wzdłuż osi, która na ruch nie ma żadnego wpływu, oraz składową F'_k, leżącą w płaszczyźnie ruchu. Składowa F'_k da się przedstawić w postaci dwóch składowych: jednej F'_ksin _k, prostopadłej do promienia r i drugiej F'_kcos _k skierowanej wzdłuż promienia. Ta druga, nie mając momentu względem osi O, nie ma na ruch najmnejszego wpływu. Tylko składowa F'_ksin _k, styczna do toru, wywołuje ruch ciała. Siła F'_ksin _k może zwiększyć lub zmniejszyć prędkość elementu, zależnie od tego, czy działa w kierunku ruchu, czy przeciwnie.
Siły wewnętrzne działają między sąsiednimi elementami ciała; one to sprawiają, że elementy trzymają się razem, tworząc sztywną bryłę; są to siły spójności. Na przykład na powierzchni zetknięcia się pewnego elementu, k-tego, z elementem (k+1)-ym działa siła spójności, wywierana na element k przez k+1 i równa jej, lecz przeciwnie skierowana, siła wywierana na element k+1 przez k. Siły te wytwarzają równe, przeciwnie skierowane momenty, które znoszą się wzajemnie parami. Dlatego nie mogą nic zmienić w ruchu obrotowym bryły.
Siła dośrodkowa, będąc skierowana wzdłuż promienia, ma moment równy zeru, nie może więc ani zwiększyć, ani zmniejszyć prędkości kątowej bryły.
Zatem tylko siła zewnętrzna F_k może zmienić ruch ciała (a więc go wywołać, przyspieszyć, zwolnić itp.) i to tylko pod warunkiem, że jej moment względem osi O, czyli moment siły F'_k względem punktu O, M=r  F'_k, nie jest równy zero. Jeśli więc na bryłę nie działa żaden moment sił zewnętrznych, to elementy tej bryły będą się poruszać z prędkością v, stałą co do swej wartości skalarnej. Kierunek prędkości v zmieniać się będzie pod wpływem siły dośrodkowej, ale pozostawać ona będzie zawsze w tej samej płaszczyźnie; bez działania specjalnej siły zewnętrznej wektor v nie wyjdzie ze swej dawnej płaszczyzny. Innymi słowy: wektor prędkości kątowej  zachowuje stałą wielkość i stały kierunek w przestrzeni. Prawdę powyższą sformułujemy w postaci analogicznej do I zasady Newtona: jeśli na bryłę sztywną nie działa żaden moment zewnętrzny, to prędkość kątowa  bryły jest stała, zarówno co do wielkości jak i kierunku. Jeśli oś bryły obracającej się nie jest osadzona w łożyskach, lecz jest osią swobodną, jak np. oś kuli ziemskiej, to przy braku momentu zewnętrznego oś ta zachowuje stały kierunek w przestrzeni.
Rozważmy teraz przypadek, gdy na element m_k bryły działa siła F'_k mająca składową F'_ksin _k prostopadła do promienia r_k.
Niechaj prędkość liniowa elementu m_k, która w chwili t=0 wynosiła v_0k, zwiększy się pod wpływem siły F'_k, działającej w ciągu krótkiego czasu t, do wartości v_k. Twierdzenie o popędzie i pędzie powiada, że popęd F'_ksin _k  t równy jest przyrostowi pędu m _k v _k - m _k v _0k:

F'_ksin _kt= m_kv _k - m _k v _0k

Pomnóżmy obie strony tego równania przez promień wodzący tego elementu r_k, uwzględnijmy v_k=r_k i v_0k=r_0k₀, gdzie  i ₀ są prędkościami kątowymi elementu po czasie t oraz w chwili początkowej. Mamy więc:

r_kF'_ksin _kt=r_k²m_k(-₀)

Dla wszystkich elementów bryły będzie:

(_kr_kF'_ksin _kt=(_kr_k²m_k)(-₀), (*)

które opisuje ruch obrotowy bryły.

Dla zwięzłości wprowadzamy:

1. Suma momentów sił zewnętrznych względem osi obrotu:

M= _kr_kF'_ksin _k

2. Mt - moment pędu udzielonego bryle.

3. sumę , rozciągniętą na wszystkie elementy bryły nazywać będziemy momentem bezwładności bryły względem osi O:

I= _kr_k²m_k

4. Iloczyn I nazywać będziemy momentem pędu (krętem) bryły; w równaniu * I jest momentem pędu po czasie t, zaś I₀ jest momentem pędu początkowym; I(-₀)=I-I₀ jest przyrostem momentu pędu w czasie t.

Po zastosowaniu powyższych:

Mt=I-I₀

Jest to równanie ruchu obrotowego bryły dookoła stałej osi.

Moment pędu, udzielony bryle mogącej poruszać się dookoła osi, równy jest przyrostowi momentu pędu tej bryły.

Jeśli powyższe równanie zapiszemy:

M=I(-₀)/t

To zauważymy, że zawiera ono średnie przyspieszenie (-₀)/ t=w/t, które dla t→0 przechodzi w przyspieszenie kątowe prawdziwe albo chwilowe:

γlim(t→0) w/t=d/dt

Wobec tego równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej przybierze postać następującą:

M=I d/dt

albo

M=Iγ

W tej postaci przypomina równanie ruchu postępowego:

F=ma

Jak widzimy, rolę siły przejmuje moment sił, masy - moment bezwładności, zaś przyspieszenia liniowego - kątowe.

Przyspieszenie kątowe bryły jest proporcjonalne do momentu sił przyłożonych i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności bryły.

15. JAKA JEST RÓŻNICA POMIĘDZY UKŁADEM ODNIESIENIA INERCJALNYM I NIEINERCJALNYM

Pierwsze prawo Newtona formułuje się następująco: każde ciało znajduje się w stanie spoczynku lub mchu jednostajnego prostoliniowego, dopóki działanie ze strony innych ciał nie zmieni tego stanu. Dwa wymienione stany mają wspólną cechę: przyspieszenie ciała jest równe zeru. Pozwala to inaczej sformułować pierwsze prawo dynamiki: prędkość dowolnego ciała pozostaje stała (w szczególności równa zeru), dopóki oddziaływanie ze strony innych ciał jej nie zmieni.

Pierwsze prawo Newtona nie jest spełnione we wszystkich układach odniesienia. Wiemy, że charakter ruchu zależy od układu odniesienia. Rozważmy dwa układy odniesienia, poruszające się względem siebie z pewnym przyspieszeniem. Jeżeli względem jednego z tych układów ciało spoczywa, to względem drugiego, oczywiście, ciało to porusza się z przyspieszeniem. Widzimy, że pierwsze prawo dynamiki nie może być spełnione we wszystkich układach.

Układ odniesienia, w którym jest słuszne pierwsze prawo Newtona, nazywamy inercjalnym. Samo prawo nazywa się niekiedy prawem bez­władności (inercji). Układ odniesienia, w którym pierwsze prawo Newtona nie jest spełnione, nazywamy nieinercjalnym. Istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych. Każdy układ odniesienia, który porusza się względem danego układu inercjalnego ruchem jednostajnym po linii prostej, jest także układem inercjalnym.

O polu elektrycznym możemy powiedzieć, że jest silne albo słabe w zależności od tego, czy wywołuje indukcję silną, czy słabą. Co to jednak znaczy indukcja silna lub słaba? Miarą indukcji jest stosunek ładunku indukowanego na powierzchni bardzo małej płytki próbnej, umieszczonej w danym punkcie pola prostopadle do linii sił, do wielkości jej powierzchni. Jeżeli indukowany, czyli „przesunięty” ładunek oznaczymy literą q, powierzchnię płytki (jednostronną) - literą S, to w myśl powyższej definicji indukcja, czyli przesunięcie D, wyrazi się wzorem:

(2.9)

W danym punkcie pola elektrycznego umieszczamy dwie płytki próbne zetknięte ze sobą powierzchniami. Płytki te rozdzielamy, a następnie ładunek q zebrany na jednej z nich (obojętnie na której) przenosimy do kuli wydrążonej elektrometru. Cały ładunek q zostanie oddany elektrometrowi. Niech elektrometr da wychylenie wskazujące U woltów. Ale elektrometr jest swego rodzaju kondensatorem mającym pewną pojemność C; skoro naładował się do napięcia U, to jego ładunek wynosi

q=CU

Znając C i odczytawszy U obliczamy q. Wreszcie ze wzoru (2.9) otrzymujemy D. Jednostką zasadniczą indukcji jest
.

Indukcja jako przesunięcie elektronów, jest wielkością kierunkową, czyli wektorem. Kierunek wektora D jest identyczny z kierunkiem linii sił w danym punkcie pola.

Opisany wyżej pomiar możemy wykonać w dowolnym punkcie pola elektrycznego. Można go również wykonać na samej powierzchni przewodnika naelektryzowanego P. Wówczas stosowanie dwóch płytek byłoby zbyteczne. W tym przypadku stosunek
nazywamy gęstością naelektryzowania przewodnika i oznaczamy literą σ. Analogicznie do (2.9) mamy więc

(2.9a)

Przy pomocy tego rodzaju pomiarów z łatwością stwierdzamy, że w polu jednorodnym, np. pomiędzy płytkami kondensatora płaskiego:

1. indukcja elektryczna D jest we wszystkich punktach pola ta sama, byle punkty te nie wychodziły poza obręb jednorodności pola;

1. gęstość naelektryzowania równa się indukcji: σ = D oraz ma tę samą wartość we wszystkich punktach obu powierzchni płyt zwróconych ku sobie, z wyjątkiem najbliższych okolic brzegów, gdzie σ i D są większe.

Doświadczenia wykonane w polu niejednorodnym, np. w polu otaczającym kulę naelektryzowaną przekonują nas, że indukcja D jest większa w tych miejscach pola, gdzie linie sił zagęszczają się, natomiast mniejsza tam, gdzie linie sił rozrzedzają się.

52,53 Fale elektromagnetyczne i ich własności, zjawisko indukcji elektromagnetycznej

Obwodem LC nazywamy obwód zawierający kondensator o pojemności C i cewkę o indukcyjności L, o oporze elektrycznym równym zero. W obwodzie LC można pobudzić drgania elektryczne, które wykazują ścisłą analogię do drgań mechanicznych.

W rzeczywistości każdu\y obwód posiada mniejszy lub większy opór R. Jego obecność powoduje w każdym cyklu wydzielanie się w obwodzie pewnej ilości ciepła Joule'a, energia obwodu maleje i drgania zanikają. Otrzymujemy w ten sposób drgania swobodne tłumione.

Współczynnik tłumienia =R/2L

W obwodzie zawierającym opór (RLC) można uzyskać drgania niezanikające, nazywane drganiami wymuszonymi, jeżeli w obwód włączymy zmienną SEM (indukcyjną siłę elektromotoryczną) Drgania wymuszone można także wywołać bez włączania żródła SEM. Jeżeli do obwodu drgającego zbliżymy drugi obwód, to siła magnetyczna cewki obwodu 1 będzie indukowała SEM w cewce obwodu 2 i w obwodzie 2 powstaną drgania

Są obwody o ...

Indukcja elektromagnetyczna (prawo indukcji Faradaya)

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycznych wskutek zmian pola magnetycznego. Aby matematycznie ująć zjawisko indukcji wprowadzamy pojęcie strumienia indukcji magnetycznej _B

_B =_S BdS

tzn. całka powierzchniowa wektora B po zorientowanej powierzchni S

Jeżeli w jednym obwodzie zmienia się natężenie prądu, to zgodnie z prawem indukcji Faradaya w drugim obwodzie znajdującym się w pobliżu jest indukowana SEM. Zjawisko to nazywane jest indukcją wzajemną. W przypadku pojedynczego obwodu występuje tzw. Zjawisko indukcji własnej.

29. Energia kinetyczna ruchu postępowego i potencjalna ciężkości

energia kinetyczna ciała jest równa pracy jaką może ono wykonać do chwili zatrzymania się. wyrażamy ją za pomocą wzoru k=mv²/2. Energia kinetyczna ruchu postępowego jest względna gdyż zależy od tego czy ciała się porusza, a jak wiadomo zawsze można wybrać taki układ odniesienia (inercjalny) względem którego ciało pozostaje w spoczynku.

energia potencjalna układu ciał jest równa pracy, którą ten układ może wykonać zmieniając względne położenie swoich części, czyli zmieniając swój stan. Energia potencjalna jest względna gdyż zależy od tego z jaką siłą oddziałują na siebie ciała, w przypadku energii potencjalnej ciężkości chodzi o oddziaływanie grawitacyjne ziemi, które nie jest stałe w każdym punkcie, a zatem ciało może w różnych punktach mieć różną energię potencjalną.

---