Dopełnienie matematyczne

Granica, ciągłość i pochodna.

Omówimy pewne szczegóły analizy matematyczne ważne dla metod numerycznych.

Granica (jeśli istnieje)

oznacza

, że gdy
, to
.

Ciągłość w punkcie

.

Np. funkcja

nie ma granicy i nie jest ciągła w punkcie
.

Pochodna w punkcie

jeśli istnieje, to funkcja jest ciągła w tym punkcie (odwrotnie nie jest sprawiedliwe).

Np. istnieją funkcji różniczkowalne tylko raz

.

Wzór Taylora I.

Jeśli
i jeśli
istnieje w
, to dla
mamy

,

gdzie

,

jest resztą Lagrange'a.

Przy
otrzymujemy wzór Maclaurina.

Przy
otrzymamy szereg Taylora (dla
— szereg Maclaurina).

Ćwiczenie. Znaleźć szeregi Taylora dla funkcji
,
,
i
.

Np. dla
przy
wzór Taylora budujemy następująco.

Pochodne

Dla
mamy

oraz

.

Więc

,

gdzie

.

Ponieważ

i
,

to

.

Jest to ocena błędu przybliżenia funkcji
w punkcie
wielomianom
.

Np. jakie powinno być
, żeby dokładność obliczenia
była
?

Dla
mamy

,
.

Ponieważ

, to
.

Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej i twierdzenie Rolle'a.

Wzór Taylora II.

Jeśli
i jeśli
istnieje w
, to dla
mamy

,

gdzie

jest resztą Lagrange'a w postaci całkowej.

Wzór Taylora III.

Jeśli
i jeśli
istnieje w
, to dla
mamy

,

gdzie

,

jest resztą Lagrange'a w tym przypadku.

Np. podać wzór Taylora dla funkcji
i obliczyć jej wartość przy
,
,
.

Ponieważ
, to

,

albo

.

Zatem

lub

Wzór Taylora IV.

Jeśli
, to dla
mamy

,

gdzie

,

jest resztą Lagrange'a w tym przypadku.

Np. wyznaczyć liniową część funkcji
.

Rząd zbieżności i inne.

Program komputerowy wygenerował ciąg wyników
(
), który są tylko przybliżeniem dokładnego wyniku
. Jeśli

, że gdy
, to
,

wtedy piszemy

.

Np. dla ciągu

.

Np. dla ciągu

.

Ostatni ciąg wyrazów
(
) jest zbieżny bardzo wolno do liczby niewymiernej
, tak
.

Ćwiczenie. Napisz kilka pierwszych wyrazów podanych ciągów.

Definicja. Mówimy o zbieżności logarytmicznej ciągu
(
) do liczby
jeśli

.

Definicja. Mówimy o zbieżności nadliniowej ciągu
(
) zbudowanego przez wzór

do liczby
jeśli

.

Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu
(
) co najmniej liniowej do liczby
jeśli

tak, że

.

Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu
(
) co najmniej nadliniowej do liczby
jeśli

tak, że

.

Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu
(
) co najmniej kwadratowej do liczby
jeśli

tak, że

.

Definicja. Mówimy o zbieżności ciągu
(
) co najmniej rzędu
do liczby
jeśli

tak, że

.

Symbole
i
.

Definicja. Mówimy, że
(
) jest równe „
dużemu” od
(
) jeśli

takie, że

i piszemy

.

Definicja. Mówimy, że
(
) jest równe „
małemu” od
(
) jeśli

takie, że

i piszemy

.

Podobne definicji dotyczą funkcji.

Np. Rozważmy

,
;

,
;

Twierdzenie o wartości średniej dla całek.

Funkcje uwikłane.

Równanie
nie zawsze da się rozwiązać względem poszukiwanej funkcji
. Wtedy pierwsza pochodna może być wyznaczona w następujący sposób. Różniczka zupełną funkcji
zapisuje się w postaci (
, ponieważ
− stała)

.

Przyrównując otrzymane wyrażenie do zera

znajdziemy

,

gdzie

.

W podobny sposób możemy też określić pochodne wyższych rzędów.

Równania różnicowe

Załóżmy, że zbiór
złożony z ciągów nieskończonych o postaci

Określamy dwa działania

,

,

albo w skrócie

,

Zbiór
zwiera element zerowy
, elementy

są liniowo niezależny.

Definicja. Określimy operator przesunięcia

albo

.

Operator
można stosować wielokrotnie

.

Operator identyczności, to
, tj.

.

Definicja. Poniższy operator nazywamy operatorem różnicowym

,

gdzie
(
) są stałe.

Operatory różnicowe tworzą podprzestrzeń liniową z bazą
(
).

Operator
jest wielomianem względem
, zatem

,

gdzie
jest wielomianem charakterystycznym operatora
, który określony wzorem

.

Wyznaczmy wszystkie rozwiązania równania różnicowego liniowego jednorodnego

.

Definicja. Jądrem operatora
nazywamy zbiór

,

który tworzę liniową podprzestrzeń.

Więc pod znajdowaniem rozwiązania możemy rozumieć określenie bazy jądra operatora.

Np. jeśli
,
,
,
, to równanie
ma postać

, (
).

Zaznaczmy, że w tym przypadku możemy dowolnie wybrać wartości
i
, a wtedy wyznaczyć pozostałe.

Ogólniejsze podejście jest poszukiwanie rozwiązania równania o postaci

.

Wtedy mamy

albo
.

Pierwszy
krotny pierwiastek
odpowiada rozwiązaniu trywialnemu
. Kolejne pierwiastki
i
prowadzą do wyboru rozwiązania w postaci
i
. Więc ogólne rozwiązanie będzie

,

gdzie
i
są dowolne stałe.

Rozróżnia się pierwiastki pojedyncze i krotne oraz równania różnicowe stabilne, a także o zmiennych współczynnikach.

Przykładem równania różnicowego o zmiennych współczynnikach jest równanie rekurencyjnym dla funkcji Bessela

,

gdzie

,
.

---