Przykłady rachunkowe do wykładu

z „RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ”

część II

Przykład 36

Obliczyć wartość średnią i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale
.

Rozwiązanie

Przykład 37

Zmienna losowa posiada quasinormalną gęstość prawdopodobieństwa

Należy obliczyć: dystrybuantę
, wartość oczekiwaną
, wariancję 
oraz współczynnik asymetrii A i spłaszczenia S.

Rozwiązanie

(po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej t związanej z x zależnością 
).

.

Dalej obliczamy wartości momentów centralnych:

,

,

,

.

Przykład 38

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X typu ciągłego jest następująca

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa
 i obliczyć odchylenie standardowe
 zmiennej X.

Rozwiązanie

Wariancja zmiennej losowej X wynosi:

;

;

.

Przykład 39

Zmienna losowa ciągła X posiada normalny rozkład prawdopodobieństwa. Wartość średnia
 a odchylenie standardowe
. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że X przyjmie wartość z przedziału (10, 50).

Rozwiązanie

;  
;  

Z tablic otrzymuje się:

Przykład 40

Dla doświadczenia z rzutem dwoma monetami, podać w tablicy wartości zmiennych i prawdopodobieństwa łączne oraz obliczyć dystrybuantę dwuwymiarową.

Rozwiązanie:

Dla rzutu dwoma monetami mamy następujące wartości zmiennych i prawdopodobieństwa:

Zmienna X  (moneta 1)			Zmienna Y  (moneta 2)
Wartości	Orzeł,  X=0	Reszka, X=1	Wartości	Orzeł,  Y=0	Reszka, Y=1
Prawdopodobieństwa	PX=0,5	PY=0,5	Prawdopodobieństwa	PY=0,5	PY=0,5

Dla zmiennych losowych niezależnych zestawimy w tablicy wartości prawdopodobieństwa łącznego.

Obliczyć wartość dystrybuanty łącznej:

Dla

     

Dla

Dla

Dla

Dla

Przykład 41

Dana jest dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa

Należy obliczyć: gęstości jednowymiarowe
 i
, wartości średnie
 i
, wariancje
 i
, oraz kowariancję
 i współczynnik korelacji
.

Rozwiązanie

Wartości średnie:

Wariancje:

Kowariancja:

,

Współczynnik korelacji:

Przykład 42

Określić rozkład prawdopodobieństwa częstotliwości rezonansowej
 obwodu LC w generatorze sygnału sinusoidalnego (rys.), jeśli jego pojemność C zmienia się według normalnego rozkładu prawdopodobieństwa

gdzie: C₀ - wartość znamionowa pojemności, przy czym zakłada się, że indukcyjność obwodu L jest stała.

Rys. Schemat obwodu LC

Rozwiązanie:

Częstotliwość rezonansowa obwodu zmienia się w zależności od pojemności zgodnie z zależnością:

Funkcja odwrotna ma postać

Pochodna tej funkcji

i ostatecznie otrzymujemy

.

Przykład 43

Dany jest rozkład łączny współrzędnych kartezjańskich x i y punktu losowego na

płaszczyźnie (dla
)

Należy znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dla położenia punktu we współrzędnych biegunowych
.

Rozwiązanie

 

,        
.

Obliczamy jakobian przekształcenia:

.

Gęstość
 na podstawie wzoru wynosi:

Zmienne losowe
 są niezależne i:

     (rozkład Rayleigha),

      (rozkład równomierny).

Przykład 44

Zmienna losowa X ma rozkład normalny
. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa
 zmiennej losowe
j. Wyznaczyć wartość oczekiwaną 
oraz wariancję.

Rozwiązanie

Otrzymana gęstość jest normalna i:

,

.

Na podstawie metody linearyzacji funkcji mamy:

.

Przykład 45

W obwodzie przedstawionym na rysunku
 jest stałym źródłem napięciowym

i
 jest zm. l. o rozkładzie jednostajnym między 900 i 1100 . Należy wyznaczyć, stosując aproksymację, wartość średnią i wariancję prądu
.

Rozwiązanie

, 

Dla  
  otrzymujemy

,

,

i
,

.

Przykład 46

Promień kuli r wyznaczony eksperymentalnie jest zmienną losową normalną o wartości oczekiwanej
 i wariancji
. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję objętości kuli V korzystając ze wzorów dokładnych i metody linearyzacji funkcji.

Rozwiązanie

;

;

,

,

,

,

W oparciu o wzory dokładne mamy:

,

.

Na podstawie metody linearyzacji:

,

.

---