ROZDZ12B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów


Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego . Obszar o objętości τ, og-raniczony powierzchnią σ, dzielimy na podobszary o objętościach 0x01 graphic
- ograniczone powierzchniami 0x01 graphic
(rys. 12.9), przy czym

0x01 graphic

0x01 graphic

Rys. 12.9

Zgodnie z określeniem diwergencji - wzory (12.15) ÷ (12.16) - dla każdego podobszaru0x01 graphic
możemy napisać zależności

0x01 graphic

i następnie, po ich obustronnym zsumowaniu, w granicy otrzymamy

0x01 graphic
(12.32)

gdyż strumienie wewnątrz obszaru τ ulegną redukcji ze względu na różnice w znakach strumieni wychodzących z obszaru 0x01 graphic
i wchodzących do podobszarów przyległych. Strumień wektora pola 0x01 graphic
wychodzący z powierzchni zamkniętej σ jest więc równy całce z diwergencji wektora 0x01 graphic
rozciągniętej na cały obszar τ.

W taki sam sposób możemy udowodnić twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego dla pola skalarnego ϕ

0x01 graphic
(12.33)

wykorzystując definicję gradientu (12.14).

0x01 graphic

Rys. 12.10

Twierdzenie Stokesa . Powierzchnię σ ograniczoną brzegiem l wypełniamy powierzchniami elementarnymi 0x01 graphic
które są ograniczonymi liniami 0x01 graphic
(rys. 12.10)

0x01 graphic

Na podstawie definicji wirowości (12.19) ÷ (12.20), dla każdej elementarnej powierzchni 0x01 graphic
piszemy równanie

0x01 graphic

W wyniku zsumowania tych równań dla wszystkich elementów powierzchni, w granicy otrzymamy

0x01 graphic
(12.34)

ponieważ części całek elementarnych po liniach wspólnych dla sąsiednich elementów znoszą się. Cyrkulacja wektora 0x01 graphic
wzdłuż linii l  jest więc równa strumieniowi rotacji tego wektora przez dowolną powierzchnię σ, której brzegiem jest krzywa l.

12.3. Tensory kartezja*skie drugiego rz*du

Tensor. Niektóre wielkości fizyczne są bardziej złożonymi obiektami niż skalary czy wektory i muszą być określone przez więcej niż trzy składowe. Przykładem takiej wielkości fizycznej jest stan naprężenia w płynie lepkim, opisywany przez dziewięć funkcji (8.1) ÷ (8.3); naprężenie jest funkcją czasu, współrzędnych oraz orientacji powierzchni, na którą działa.

Tensor drugiego rzędu zapisuje się w postaci

0x01 graphic
(12.35)

Skalar nazywa się niekiedy tensorem rzędu zerowego. Wektor jest tensorem rzędu pierwszego. Istnieją obiekty geometryczne i fizyczne będące tensorami jeszcze wyższych rzędów - w przestrzeni trójwymiarowej tensor rzędu n ma składowych.

Nie każda funkcja trzech współrzędnych może przedstawiać pole skalarne. Skalar musi być niezmienniczy względem zmiany układu współrzędnych, tj. przyjmować jedną i tę samą wartość w danym punkcie przestrzeni, bez względu na to w jakim układzie współrzędnych jest wyrażony. Musi więc być

0x01 graphic
(12.36)

jeśli przez 0x01 graphic
oznaczymy współrzędne x, y, z, a przez - nowy układ współrzędnych.

Po wprowadzeniu oznaczeń

0x01 graphic
(12.37)

gdzie 0x01 graphic
macierz cosinusów kierunkowych przyjmie postać

α11

α12

α13

α21

α22

α23

,

α31

α32

α33

stąd

0x01 graphic
(12.38)

lub też

0x01 graphic
, (12.39)

jeśli wykorzystamy umowę sumacyjną Einsteina , oznaczającą sumowanie względem indeksu niemego j.

Podstawiając wzór (12.39) do wzoru (12.38) mamy

0x01 graphic
,

skąd wynika ortogonalność cosinusów kierunkowych

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest tensorem jednostkowym, zwanym także delt* Kroneckera .

Podobnie nie każde trzy funkcje 0x01 graphic
przedstawiają pole wektorowe i nie każdy zbiór dziewięciu funkcji 0x01 graphic
przedstawia pole tensorowe. Wielkości 0x01 graphic
mogą być składowymi wektora tylko wtedy, gdy transformują się jak współrzędne, tzn.:

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
(12.40)

Również, aby wielkość fizyczna będąca tensorem nie zmieniała swojej wartości w dowolnym układzie współrzędnych, jej składowe muszą transformować się zgodnie z zależnościami

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
(12.41)

Diada wektor*w . Rozważmy iloczyn dwu wektorów 0x01 graphic
w którym nie stosujemy żadnego z poznanych iloczynów dwu wektorów. Działając wyrażeniem 0x01 graphic
na pole wektorowe 0x01 graphic
w następujący sposób

0x01 graphic
(12.42)

w wyniku otrzymamy nowe pole wektorowe o kierunku pola 0x01 graphic
W przypadku dzia-łania 0x01 graphic
na pole 0x01 graphic
lewostronnie

0x01 graphic
(12.43)

uzyskamy pole wektorowe mające kierunek wektora 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic
(12.44)

Operator 0x01 graphic
który odwzorowuje pole wektorowe 0x01 graphic
na inne pole wektorowe nosi nazwę iloczynu diadycznego wektor*w 0x01 graphic
i 0x01 graphic
Do jego określenia niezbędna jest znajomość dziewięciu skalarów

0x01 graphic
(12.45)

wynikająca z uwzględnienia cechy nieprzemienności iloczynu diadycznego

0x01 graphic

Tworząc iloczyn diadyczny 0x01 graphic
 otrzymamy tensor, będący gradientem pola wektorowego 0x01 graphic

0x01 graphic
(12.46)

który dla wektora prędkości 0x01 graphic
zapisuje się następująco

0x01 graphic
(12.47)

Zatem pochodną (3.11) można również przedstawić w postaci

0x01 graphic
(12.48)

Dla sprawdzenia, że 0x01 graphic
jest tensorem zapisujemy wielkość (12.47) w układzie 0x01 graphic

0x01 graphic

i w układzie osi obróconych 0x01 graphic

0x01 graphic

Biorąc pod uwagę wzory (12.39) i (12.40)

0x01 graphic
,

otrzymujemy zależność (12.41)

0x01 graphic

Dzia*ania na tensorach . Podstawowe działania na tensorach, nie podwyższające ich rzędu, odbywają się według następujących zasad:

1. Dodawanie

0x01 graphic
(12.49)

2. Mnożenie przez liczbę

0x01 graphic
(12.50)

3. Rozkładanie na część symetryczną 0x01 graphic
i część antysymetryczną 0x01 graphic

0x01 graphic
(12.51)

Tensor 0x01 graphic
jest symetryczny, jeżeli

0x01 graphic
(12.52)

antysymetryczny, jeżeli

0x01 graphic
(12.53)

W odróżnieniu od części symetrycznej mającej sześć składowych, część antysymetryczna ma trzy różne składowe. Część antysymetryczna przypomina więc wektor; jest ona ekwiwalentna pewnemu pseudowektorowi, będącemu np. iloczynem wektorowym dwu wektorów.

4. Iloczyn skalarny tensora i wektora (zwężenie)

0x01 graphic
(12.54)

Korzystając z tej reguły możemy np. obliczyć iloczyn występujący w pochodnej substancjalnej (12.48)

0x01 graphic
(12.55)

lub też diwergencję tensora 0x01 graphic

0x01 graphic
(12.56)

Przy opisywaniu ruchu lokalnego płynu (rozdz. 3.5) prędkość w dowolnym punkcie M (rys. 3.3), określonym wektorem 0x01 graphic
względem bieguna A, można wyrazić wzorem

0x01 graphic
(12.57)

w którym tensor 0x01 graphic

0x01 graphic
(12.58)

nosi nazwę tensora prędkości względnej .

Rozkładając tensor 0x01 graphic
na tensor symetryczny 0x01 graphic
i tensor antysymetryczny 0x01 graphic
przy zachowaniu oznaczeń (3.25), otrzymamy tensor prędkości deformacji

0x01 graphic
(12.59)

oraz tensor wiru

0x01 graphic
. (12.60)

W wyniku takiego rozkładu wzór (3.24) można zapisać w postaci

0x01 graphic

w której iloczyn 0x01 graphic
zawiera wyrazy w nawiasach kwadratowych, a iloczyn 0x01 graphic
- wyrazy w nawiasach okrągłych.

G**wne osie tensora . Tensor pomnożony skalarnie przez wektor, przekształca go w inny wektor, różniący się na ogół wielkością i kierunkiem. Dla dowolnego tensora można jednak znaleźć takie wektory, aby iloczyn skalarny nie zmieniał kierunku, a co najwyżej powodował zmianę ich długości lub zwrotu.

W dalszym ciągu zajmiemy się tensorami symetrycznymi o składowych spełniających związek (12.52), gdyż za pomocą tych tensorów można przedstawić wielkości tensorowe występujące w mechanice płynów. Otrzymujemy równanie

0x01 graphic
(12.61)

w którym występuje nieznany współczynnik λ. Równanie (12.61) jest równoważne układowi równań

0x01 graphic
(12.62)

który posiada nietrywialne rozwiązanie ze względu na niewiadome0x01 graphic
gdy znika wyznacznik utworzony ze współczynników układu

(12.63)

Po jego rozwinięciu otrzymujemy tzw. równanie wiekowe Laplace'a

0x01 graphic
(12.64)

w którym występują następujace wielkości :

0x01 graphic
(12.65)

nie ulegające zmianie przy obrocie układu współrzędnych - są one niezmiennikami podstawowymi tensora 0x01 graphic

Pierwiastki równania wiekowego przyjmują jedynie wartości rzeczywiste. Można je obliczyć w sposób zaproponowany przez Pełczyńskiego

0x01 graphic
(12.66)

gdzie:

0x01 graphic

Trzem wartościom głównym 0x01 graphic
odpowiadają trzy wzajemnie ortogonalne kierunki główne, określone wektorami 0x01 graphic
których składowe otrzymuje się z układu równań (12.62). Rozważając tensor w układzie odniesienia którego osie są osiami głównymi tensora, otrzymujemy związki

0x01 graphic

gdzie wektory 0x01 graphic
o składowych 0x01 graphic
oznaczają wersory osi Dla kierunków głównych składowe normalne tensora są więc równe wartościom głównym, zaś składowe styczne znikają

0x01 graphic
(12.67)

Dla kierunków głównych upraszcza się również większość zależności, np. mamy:

0x01 graphic

12.4. R*wnania zachowania w postaci ca*kowej

Twierdzenie Reynoldsa o transporcie . Przy obliczaniu szybkości zmian w czasie wielkości polowych w obszarze płynnym 0x01 graphic
ograniczonym powierzchnią 0x01 graphic
zachodzi potrzeba obliczania pochodnych materialnych całek

0x01 graphic

gdzie F jest funkcją określoną dla poruszającego się ośrodka, a promień 0x01 graphic
opisuje aktualne położenie elementu płynu. Korzystając z definicji pochodnej mamy

0x01 graphic

Pierwsze wyrażenie w liczniku przekształcimy rozwijając funkcję podcałkową w szereg Taylora i ograniczając się tylko do członu proporcjonalnego do 0x01 graphic

353



Wyszukiwarka