ROZDZ4B, Zbigniew Kosma Podstawy Mechaniki Płynów


a zatem

0x01 graphic

wzdłuż dowolnej linii l leżącej na tej powierzchni. Po upływie pewnego czasu ten sam zbiór elementów płynu utworzy inną powierzchnię 0x01 graphic
i inną linię 0x01 graphic
, ale na mocy (4.14) będzie

0x01 graphic

Wnioskujemy stąd, że powierzchnia 0x01 graphic
jest również powierzchnią wirową. Jeśli w pewnej chwili czasu cząstki płynu tworzą powierzchnię wirową, to te same cząstki płynu tworzą powierzchnię wirową we wszystkich chwilach czasu t. To samo stwierdzenie odnosi się do rurki wirowej, jako szczególnego przypadku powierzchni wirowej i linii wirowej, traktowanej jako granicy rurki wirowej.

Drugie twierdzenie Helmholtza (rozdział 3.6) dotyczyło stałości strumienia rotacji prędkości przez dowolny przekrój poprzeczny rurki wirowej. Strumień ten, zwany także natężeniem wirowości w rurce wirowej , nie zmienia się również z upływem czasu. Na mocy wzoru (4.14), dla wszystkich linii leżących na powierzchni rurki i obejmujących tę rurkę cyrkulacja będzie stała; z twierdzenia Stokesa (rozdz. 12.2) wynika natychmiast niezmienność w czasie strumienia rotacji przez dowolne powierzchnie rozpięte na tych liniach.

ĆWICZENIA

Przykład 4.1. Udowodnić zależność pomiędzy pochodną konwekcyjną wektora prędkości, a rotacją prędkości

0x01 graphic

występującą we wzorze (4.4) i w równaniu (4.5).

Przekształcenia (4.4) ÷ (4.5) wynikają z tożsamości (12.9)

0x01 graphic

oraz z tożsamości uzyskanej po przestawieniu w niej wektorów 0x01 graphic
i 0x01 graphic

0x01 graphic

Wykorzystując odpowiednio obydwa związki

0x01 graphic

po podstawieniu 0x01 graphic
i pamiętając o regule różniczkowania iloczynu otrzymujemy

0x01 graphic

Dla 0x01 graphic
uzyskujemy wzór, który należało udowodnić.

Przykład 4.2. Dysza o osi poziomej i długości l ma profil zaprojektowany w ten sposób, że prędkość wody wzrasta liniowo od wartości na wlocie do wartości na wylocie. Obliczyć gradienty ciśnienia w przekroju wlotowym i wylotowym przyjmując, że na wylocie z dyszy panuje ciśnienie atmosferyczne.

Zakładając, że oś x pokrywa się z osią dyszy mamy:

0x01 graphic

Równanie Eulera (4.3) upraszcza się w tym przypadku do postaci

0x01 graphic

obliczamy więc:

0x01 graphic

Przykład 4.3. Rozwiązać zadanie z przykładu 2.5 przy wykorzystaniu układu równań Eulera (4.1).

Pole prędkości wyznaczamy ze wzoru 0x01 graphic
dla wektora wirowości o składowych 0x01 graphic
0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
Jest ono zatem określone następującymi zależnościami:

0x01 graphic

Ruch cieczy w naczyniu odbywa się w ziemskim polu grawitacyjnym:

0x01 graphic

Po wstawieniu tych związków do równań Eulera:

0x01 graphic

otrzymujemy układ trzech równań:

0x01 graphic

które można zastąpić jednym równaniem, po pomnożeniu ich, odpowiednio, przez i dodaniu stronami

0x01 graphic

Rozwiązanie tego równania różniczkowego wyznacza rozkład ciśnienia w cieczy oraz kształt powierzchni swobodnej 0x01 graphic

Przykład 4.4. Zbiornik cylindryczny, zawierający ciecz, zaczyna się obracać wokół osi pionowej. Znaleźć ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy, jeżeli na ciecz działa siła pola o składowych:

0x01 graphic

a oś O z pokrywa się z osią obrotu i jest skierowana do góry.

Składowe prędkości są równe:

,

gdzie ω jest tylko funkcją t.

Równania Eulera mają postać:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Różniczkując pierwsze z tych równań względem y, drugie względem x i odejmując je od siebie otrzymamy

0x01 graphic

Wynika stąd, że ciecz obraca się jako ciało sztywne ze stałym przyspieszeniem kątowym wokół osi z. Podstawiając wartość 0x01 graphic
do równania Eulera i wykonując całkowanie otrzymamy zależność określającą rozkład ciśnienia w postaci

.

Przykład 4.5. Gaz o stałej temperaturze porusza się w prostoliniowej pionowej rurce o stałym przekroju. Pomijając siłę ciężkości oraz przyjmując, że prędkość V jest stała w przekroju rurki, napisać równanie różniczkowe dla wyznaczenia V.

Po przyjęciu kierunku osi O x w dół rurki i ustaleniu początku układu współrzędnych równanie Eulera przybiera postać

0x01 graphic
.

Równanie ciągłości wyrażone jest w formie

0x01 graphic

a równanie stanu gazu jest prawem Boyle'a-Mariotte'a: 0x01 graphic

Zadanie sprowadza się do napisania równania zawierającego tylko prędkość; różniczkując zatem równanie Eulera względem czasu mamy

0x01 graphic

lub

0x01 graphic
.

Wprowadzając wartość 0x01 graphic
z równania ciągłości i wykonując różniczkowanie prawej części tego równania, otrzymamy

0x01 graphic
.

Na mocy równania stanu gazu i równania Eulera jest

0x01 graphic
.

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniej zależności, po prostych przekształceniach, dostajemy poszukiwane równanie

0x01 graphic
.

Przykład 4.6. Wyprowadzić równanie Bernoulliego w postaci różniczkowej.

Zapisując równania Eulera (4.1) w postaci:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

po pomnożeniu ich, odpowiednio, przez oraz dodaniu stronami otrzymamy

0x01 graphic

Ponieważ

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
,

więc

0x01 graphic

Zamieniając:

0x01 graphic

oraz pamiętając, że

0x01 graphic

można napisać

0x01 graphic

Dla pola sił ciężkości: , zatem

0x01 graphic
(4.15)

Przykład 4.7. Wyprowadzić równanie Bernoulliego rozważając element płynu w kształcie walca.

0x01 graphic

Rys. 4.2

Rozważmy element cieczy w kształcie walca o podstawie i długości Niech oś tego elementu tworzy kąt α z poziomem. Na elementarny walec działają siły masowe: siła bezwładności, siła ciężkości oraz siły powierzchniowe. Z zasady d'Alemberta wynika, że w ruchu ustalonym suma sił czynnych i sił bezwładności musi być równa zeru. Obieramy oś walca (rys. 4.2) za oś rzutów, siły działające na pobocznicę walca nie wchodzą do równań ruchu. Mamy więc

0x01 graphic

po uproszczeniu

0x01 graphic

Uwzględniając zależność 0x01 graphic
otrzymamy

0x01 graphic

Wiadomo, że 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
zatem

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

lub po podzieleniu przez ρ

0x01 graphic

Jest to równanie Bernoulliego w postaci różniczkowej (4.15).

Przykład 4.8. Wykazać, że jeżeli siły działające na ciecz mają potencjał U,
a gęstość jest funkcją ciśnienia oraz

0x01 graphic

to linie wirowe pokrywają się z torami elementów cieczy.

Równanie ruchu cieczy idealnej

0x01 graphic

można, przy wykorzystaniu danych z treści zadania, zapisać w postaci

0x01 graphic

Stosując do tego równania operację rotacji i pamiętając, że

0x01 graphic

0x01 graphic

otrzymamy

0x01 graphic

lub też

0x01 graphic

Równanie to wyraża warunek zachowania elementu linii wirowej 0x01 graphic
w czasie i przestrzeni dla 0x01 graphic

0x01 graphic

który można zapisać w postaci

0x01 graphic

na mocy kolinearności wektora 0x01 graphic
i elementu linii wirowej 0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie jest funkcją skalarną.

Elementy płynu tworzące linię wirową w danej chwili będą więc tworzyły ją w każdej następnej chwili, mimo ciągłego przemieszczania się w cieczy.

Znajdziemy jeszcze warunki, przy spełnieniu których wektor wiru prędkości we wszystkich punktach i w dowolnej chwili czasu ma ten sam kierunek, co wektor prędkości.

Ponieważ linie wirowe posiadają właściwości zachowania niezmienności, zatem linie prądu powinny być niezmiennymi w przestrzeni. Jeżeli tylko natężenie rurek wirowych nie zmienia się w czasie, to również nie zmieniają się linie wirowe; w początku ruchu linie wirowe powinny pokrywać się z liniami prądu. Oznaczając przez 0x01 graphic
początkowy wektor prędkości, dla wektora prędkości i wektora wiru:

0x01 graphic
,

a ponieważ

0x01 graphic

to

0x01 graphic

lub

0x01 graphic

Z lewej strony ostatniej równości występuje wektor prostopadły do 0x01 graphic
, z prawej - wektor równoległy do 0x01 graphic
, to znaczy, że oba te wektory są równe zeru, stąd

0x01 graphic

A więc, albo 0x01 graphic
jest równy zeru i ruch jest bezwirowy, albo 0x01 graphic
- ruch jest ustalony, przy czym powinno być

0x01 graphic

86



Wyszukiwarka