a zatem

wzdłuż dowolnej linii l leżącej na tej powierzchni. Po upływie pewnego czasu ten sam zbiór elementów płynu utworzy inną powierzchnię
i inną linię
, ale na mocy (4.14) będzie

Wnioskujemy stąd, że powierzchnia
jest również powierzchnią wirową. Jeśli w pewnej chwili czasu cząstki płynu tworzą powierzchnię wirową, to te same cząstki płynu tworzą powierzchnię wirową we wszystkich chwilach czasu t. To samo stwierdzenie odnosi się do rurki wirowej, jako szczególnego przypadku powierzchni wirowej i linii wirowej, traktowanej jako granicy rurki wirowej.

Drugie twierdzenie Helmholtza (rozdział 3.6) dotyczyło stałości strumienia rotacji prędkości przez dowolny przekrój poprzeczny rurki wirowej. Strumień ten, zwany także natężeniem wirowości w rurce wirowej , nie zmienia się również z upływem czasu. Na mocy wzoru (4.14), dla wszystkich linii leżących na powierzchni rurki i obejmujących tę rurkę cyrkulacja będzie stała; z twierdzenia Stokesa (rozdz. 12.2) wynika natychmiast niezmienność w czasie strumienia rotacji przez dowolne powierzchnie rozpięte na tych liniach.

ĆWICZENIA

Przykład 4.1. Udowodnić zależność pomiędzy pochodną konwekcyjną wektora prędkości, a rotacją prędkości

występującą we wzorze (4.4) i w równaniu (4.5).

Przekształcenia (4.4) ÷ (4.5) wynikają z tożsamości (12.9)

oraz z tożsamości uzyskanej po przestawieniu w niej wektorów
i

Wykorzystując odpowiednio obydwa związki

po podstawieniu
i pamiętając o regule różniczkowania iloczynu otrzymujemy

Dla
uzyskujemy wzór, który należało udowodnić.

Przykład 4.2. Dysza o osi poziomej i długości l ma profil zaprojektowany w ten sposób, że prędkość wody wzrasta liniowo od wartości na wlocie do wartości na wylocie. Obliczyć gradienty ciśnienia w przekroju wlotowym i wylotowym przyjmując, że na wylocie z dyszy panuje ciśnienie atmosferyczne.

Zakładając, że oś x pokrywa się z osią dyszy mamy:

Równanie Eulera (4.3) upraszcza się w tym przypadku do postaci

obliczamy więc:

Przykład 4.3. Rozwiązać zadanie z przykładu 2.5 przy wykorzystaniu układu równań Eulera (4.1).

Pole prędkości wyznaczamy ze wzoru
dla wektora wirowości o składowych

oraz
Jest ono zatem określone następującymi zależnościami:

Ruch cieczy w naczyniu odbywa się w ziemskim polu grawitacyjnym:

Po wstawieniu tych związków do równań Eulera:

otrzymujemy układ trzech równań:

które można zastąpić jednym równaniem, po pomnożeniu ich, odpowiednio, przez i dodaniu stronami

Rozwiązanie tego równania różniczkowego wyznacza rozkład ciśnienia w cieczy oraz kształt powierzchni swobodnej

Przykład 4.4. Zbiornik cylindryczny, zawierający ciecz, zaczyna się obracać wokół osi pionowej. Znaleźć ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy, jeżeli na ciecz działa siła pola o składowych:

a oś O z pokrywa się z osią obrotu i jest skierowana do góry.

Składowe prędkości są równe:

,

gdzie ω jest tylko funkcją t.

Równania Eulera mają postać:

,

.

Różniczkując pierwsze z tych równań względem y, drugie względem x i odejmując je od siebie otrzymamy

Wynika stąd, że ciecz obraca się jako ciało sztywne ze stałym przyspieszeniem kątowym wokół osi z. Podstawiając wartość
do równania Eulera i wykonując całkowanie otrzymamy zależność określającą rozkład ciśnienia w postaci

.

Przykład 4.5. Gaz o stałej temperaturze porusza się w prostoliniowej pionowej rurce o stałym przekroju. Pomijając siłę ciężkości oraz przyjmując, że prędkość V jest stała w przekroju rurki, napisać równanie różniczkowe dla wyznaczenia V.

Po przyjęciu kierunku osi O x w dół rurki i ustaleniu początku układu współrzędnych równanie Eulera przybiera postać

.

Równanie ciągłości wyrażone jest w formie

a równanie stanu gazu jest prawem Boyle'a-Mariotte'a:

Zadanie sprowadza się do napisania równania zawierającego tylko prędkość; różniczkując zatem równanie Eulera względem czasu mamy

lub

.

Wprowadzając wartość
z równania ciągłości i wykonując różniczkowanie prawej części tego równania, otrzymamy

.

Na mocy równania stanu gazu i równania Eulera jest

.

Podstawiając to wyrażenie do poprzedniej zależności, po prostych przekształceniach, dostajemy poszukiwane równanie

.

Przykład 4.6. Wyprowadzić równanie Bernoulliego w postaci różniczkowej.

Zapisując równania Eulera (4.1) w postaci:

po pomnożeniu ich, odpowiednio, przez oraz dodaniu stronami otrzymamy

Ponieważ

oraz

,

więc

Zamieniając:

oraz pamiętając, że

można napisać

Dla pola sił ciężkości: , zatem

(4.15)

Przykład 4.7. Wyprowadzić równanie Bernoulliego rozważając element płynu w kształcie walca.

Rys. 4.2

Rozważmy element cieczy w kształcie walca o podstawie i długości Niech oś tego elementu tworzy kąt α z poziomem. Na elementarny walec działają siły masowe: siła bezwładności, siła ciężkości oraz siły powierzchniowe. Z zasady d'Alemberta wynika, że w ruchu ustalonym suma sił czynnych i sił bezwładności musi być równa zeru. Obieramy oś walca (rys. 4.2) za oś rzutów, siły działające na pobocznicę walca nie wchodzą do równań ruchu. Mamy więc

po uproszczeniu

Uwzględniając zależność
otrzymamy

Wiadomo, że
oraz
zatem

stąd

lub po podzieleniu przez ρ

Jest to równanie Bernoulliego w postaci różniczkowej (4.15).

Przykład 4.8. Wykazać, że jeżeli siły działające na ciecz mają potencjał U,
a gęstość jest funkcją ciśnienia oraz

to linie wirowe pokrywają się z torami elementów cieczy.

Równanie ruchu cieczy idealnej

można, przy wykorzystaniu danych z treści zadania, zapisać w postaci

Stosując do tego równania operację rotacji i pamiętając, że

otrzymamy

lub też

Równanie to wyraża warunek zachowania elementu linii wirowej
w czasie i przestrzeni dla

który można zapisać w postaci

na mocy kolinearności wektora
i elementu linii wirowej

gdzie jest funkcją skalarną.

Elementy płynu tworzące linię wirową w danej chwili będą więc tworzyły ją w każdej następnej chwili, mimo ciągłego przemieszczania się w cieczy.

Znajdziemy jeszcze warunki, przy spełnieniu których wektor wiru prędkości we wszystkich punktach i w dowolnej chwili czasu ma ten sam kierunek, co wektor prędkości.

Ponieważ linie wirowe posiadają właściwości zachowania niezmienności, zatem linie prądu powinny być niezmiennymi w przestrzeni. Jeżeli tylko natężenie rurek wirowych nie zmienia się w czasie, to również nie zmieniają się linie wirowe; w początku ruchu linie wirowe powinny pokrywać się z liniami prądu. Oznaczając przez
początkowy wektor prędkości, dla wektora prędkości i wektora wiru:

,

a ponieważ

to

lub

Z lewej strony ostatniej równości występuje wektor prostopadły do
, z prawej - wektor równoległy do
, to znaczy, że oba te wektory są równe zeru, stąd

A więc, albo
jest równy zeru i ruch jest bezwirowy, albo
- ruch jest ustalony, przy czym powinno być

86