Wykład 34

34. Fale i cząstki

1. Fale materii

Omawiane na poprzednich wykładach doświadczenia były interpretowane raz w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu o model cząsteczkowy (np. efekt Comptona).

Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może materia też ma taką dwoistą naturę. Taką sugestię zaprezentował w 1924 L. de Broglie min. w oparciu obserwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest zadziwiająco symetryczna. Chociaż materię traktowano jako cząstki de Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również własności falowych.

De Broglie nie tylko zaproponował istnienie fal materii ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła.

Analizując zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastosowano do tego zderzenia zasadę zachowania pędu. Do tych obliczeń potrzebne było wyrażenie na pęd fotonu.

(34.1)

Analogiczne wyrażenie zostało zaproponowane przez de Broglia dla fal materii

(34.2)

Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii.

Przykład 1:

Jaką długość fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych” np. dla piłki, o masie 1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaką dla „lekkich” np. elektronów przyspieszonych napięciem 100 V?

Dla piłki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s

Stąd długość fali de Broglie'a

Ta wielkość jest praktycznie równa zeru zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiektu. Doświadczenia prowadzone na takim obiekcie nie pozwalają więc na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe (λ zbyt mała). Przypomnijmy, że falowy charakter światła przejawia się gdy wymiary liniowe obiektów są porównywalne z długością fali.

Natomiast elektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię kinetyczną

E_k = eU = 100 eV = 1.6·10^-17 J

Prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi

Odpowiednia długość fali de Broglie'a wynosi

Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych.

Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena) skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ.
Takie doświadczenie przeprowadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.

Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowanym napięciem. Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem ϕ. Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszających. Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla U = 54 V.

Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy obliczymy wartość λ, dla której obserwujemy maksimum w tych warunkach

Dla niklu d = 0.091 nm. Ponieważ ϕ = 50° więc θ = 90° - ϕ/2 = 65° (rysunek obok). Długość fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:

λ = 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm

Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) obliczymy długość fali de Broglie'a analogicznie jak w przykładzie 1

Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych okolicznościach elektrony wykazują naturę falową.

Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane jak i nienaładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną używaną do badania struktury ciał stałych.

Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, musimy przyjąć istnienie dwoistego ich charakteru.

2. Struktura atomu i fale stojące

Jeżeli na ruch fali nie ma żadnych ograniczeń to fala może mieć dowolną długość. Inaczej sytuacja przedstawia się gdy ruch fal zostanie ograniczony przez nałożenie pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w strunie odpowiada to wyodrębnieniu odcinka struny zamocowanego na obu końcach (np. struna w skrzypcach).

Występują wtedy dwie ważne różnice:

• ruch jest teraz opisywany przez falę stojącą (a nie bieżącą),

• mogą występować tylko pewne długości fal tzn. mamy do czynienia z kwantyzacją długości fali wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę (rysunki obok).

Na rysunku tych widać trzy pierwsze stany kwantowe dla drgającej struny.

Jeżeli więc ruch elektronów jest ograniczony w atomach to możemy się spodziewać przez analogię, że:

• ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii,

• ruch ten zostaje skwantowany.

Rysunek obok przedstawia stojącą falę materii związaną z orbitą o promieniu r. Długość fali de Broglie'a została dobrana tak, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę n fal materii.

Wtedy otrzymujemy

czyli

Prowadzi to natychmiast do

Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, że elektron jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii i zastosowania odpowiednich warunków brzegowych.

1. Mechanika falowa

W 1926 roku E. Schr*dinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) min. w oparciu o założenie, że stacjonarne stany w atomach odpowiadają stojącym falom materii.

Dla fal w strunie zaburzenie może być opisane za pomocą poprzecznego wychylenia y, dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor natężenia pola elektrycznego E.

Analogiczną miarą dla fal materii jest funkcja falowa ψ.

Teraz spróbujemy znaleźć taką funkcję dla prostego zagadnienia ruchu cząstki o masie m pomiędzy sztywnymi ściankami odległymi o l tak jak widać to na rysunku poniżej.

Funkcję falową można otrzymać przez analogię do zagadnienia struny umocowanej na obu końcach.

Z warunków brzegowych wynika, że na obu końcach muszą występować węzły. Oznacza to (przez to żądanie) że długość fali jest skwantowana:

Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez falę stojącą (Wykład 15)

y(x,t) = 2Asinkxcosωt

dla której rozkład przestrzenny (amplitudy) jest dany przez

y(x) = Asinkx

gdzie k = 2π/λ. Ponieważ λ jest skwantowane to k też jest skwantowane.

Prowadzi to do warunku

Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany jest na stronie 34-3.

Rozważmy teraz cząstkę poruszającą się pomiędzy sztywnymi ściankami. Ponieważ ścianki są sztywne, cząstka nie może przeniknąć przez nie, tak więc stojąca fala materii opisująca tę cząstkę ma węzły na ściankach. Inaczej mówiąc funkcja falowa ψ przyjmuje wartość zero w punktach x = 0 i x = l.

W konsekwencji dopuszczalne fale materii muszą mieć długość fal danych równaniem

Ponieważ mówimy o fali materii (reprezentującej cząstkę) to jest to po prostu fala de Broglie'a, dla której możemy zastąpić λ przez h/p.

Prowadzi to do związku

Widzimy, że pęd cząstki uwięzionej pomiędzy ściankami jest skwantowany.

Dla cząstki pęd p jest związany z energią kinetyczną E_k relacją

Zestawienie tego równania z równaniem na pęd cząstki prowadzi do warunku kwantyzacji energii

Cząstka nie może mieć dowolnej energii (jak w obrazie klasycznym) ale ściśle określone wartości dane powyższym równaniem.

Amplituda fal materii zmienia się tak samo jak amplituda dla fali stojącej w strunie tzn. jest dana analogicznym równaniem:

(34.3)

2. Znaczenie funkcji ψ

Funkcję ψ skonstruowaliśmy przez analogię do funkcji opisującej amplitudę fali stojącej w strunie. Ale nie wyjaśniony jest jeszcze sposób w jaki ψ przedstawia ruch cząstki. Wiemy już, że długość fali materii (de Broglie'a) wiąże się bezpośrednio z pędem cząstki. Pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się ψ.

Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej podał Max Born. Zasugerował, że wielkość ψ² w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobieństwa, że cząstka znajdzie się w pobliżu tego punktu tzn. w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w przedziale x, x+dx.

Ta interpretacja funkcji ψ daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.

Tak więc dla cząstki poruszającej się pomiędzy dwoma ściankami odległymi o l

(34.4)

nie opisuje położenia cząstki ale rozkład (gęstość) prawdopodobieństwa.

Na rysunku przedstawiona jest zależność ψ²(x) dla trzech pierwszych stanów ruchu cząstki.

Zwróćmy uwagę, że przykładowo dla n = 1 cząsteczka ma większą tendencję (prawdopodobieństwo) do przebywania w środku niż przy ściankach. Jest to sprzeczne z fizyką klasyczną, która przewiduje jednakowe prawdopodobieństwo przebywania cząstki gdziekolwiek pomiędzy ściankami (linie poziome na rysunku). Podobnie jest dla wyższych n. Oczywiście całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki pomiędzy ściankami jest równe jedności.

Zagadnienie cząstki poruszającej się pomiędzy sztywnymi ściankami ma mało realne zastosowanie w fizyce. Dlatego poniżej pokazane są wyniki zastosowania mechaniki falowej do problemu atomu wodoru.

Sam problem jest trudny matematycznie. Dlatego pokazane są tylko wyniki zależności ψ(r) dla n = 1, 2, 3 dla orbitalnej liczby kwantowej l = 0, (rozkład sferycznie symetryczny).

Widać, że mamy ponownie do czynienia z rozkładem prawdopodobieństwa. Istnieje obszar w którym elektron może przebywać (z niezerowym prawdopodobieństwem). Mówimy o orbitalach zamiast o orbitach.

Linią przerywaną zaznaczono promienie orbit przewidywane w modelu Bohra.

Są, jak widać orbity dla których ta wartość odpowiada maksimum prawdopodobieństwa znalezienia elektronu.

3. Zasada odpowiedniości

Chociaż teorie w fizyce mają ograniczenia to zazwyczaj w sposób ciągły dają wyniki coraz mniej zgodne od doświadczenia, tzn. nie „urywają” się nagle.

Np. mechanika Newtonowska staje się coraz mniej dokładna gdy prędkość zbliża się do prędkości światła.

Dla mechaniki kwantowej też istnieje taka granica. Fizyka kwantowa przechodzi w fizykę klasyczną dla dużych liczb kwantowych. To twierdzenie nazywamy zasadą odpowiedniości.

W przykładzie z wykładu 31 widzieliśmy, że dla makroskopowego wahadła nie uwidacznia się natura kwantowa podobnie jak w układach makroskopowych nie widzimy dyskretnej natury materii (cząsteczek, atomów, elektronów itp.).

Wyliczona wtedy względna zmiana energii wyniosła

ΔE/E = 4.7·10^-31 = hv/nhv

Stąd otrzymujemy bardzo dużą wartość liczby kwantowej n ≈ 2·10³⁰; może stosować mechanikę klasyczną.

4. Zasada nieoznaczoności

W poprzednim paragrafie najbardziej szczegółową informacją jaką udało się uzyskać o ruchu elektronów były krzywe prawdopodobieństwa. Czy musimy zadowolić się taką informacją czy też jest możliwy pomiar, który da nam odpowiedź na temat ewentualnych orbit po których poruszają się elektrony?

Obserwacje przedmiotów opierają się na rejestrowaniu światła odbitego przez te przedmioty. Światło w „zderzeniu” z przedmiotem o dużej masie praktycznie nie zaburza jego ruchu, ale całkiem inną sytuację mamy w przypadku elektronów. Tutaj też spodziewamy się, że zobaczymy elektron gdy odbijemy od niego światło (tak jak widzimy np. stół rejestrując światło odbite od niego). W tym jednak przypadku elektron w zderzeniu z fotonem dozna odrzutu, który całkowicie zmieni jego ruch (przypomnijmy sobie efekt Comptona). Zmiany tej nie można uniknąć ani dokładnie ocenić. Gdyby więc istniały orbity to byłyby one całkowicie niszczone przy próbie pomiarów mających potwierdzić ich istnienie. Dlatego wolimy mówić o prawdopodobieństwie niż o orbitach.

Aby przetestować nasze możliwości pomiarowe rozważmy wiązkę elektronów padających z prędkością v₀ na szczelinę o szerokości Δy, tak jak na rysunku.

Jeżeli elektron przechodzi przez otwór to znamy jego położenie z dokładnością Δx.
Elektrony ulegają ugięciu na szczelinie tak, że na ekranie obserwujemy obraz dyfrakcyjny. Oznacza to, że elektrony mają teraz oprócz prędkości poziomej także składową w kierunku y (są odchylone). Spróbujmy ocenić tę składową pionową prędkości. Rozpatrzmy np. elektron padający na ekran w miejscu pierwszego minimum dyfrakcyjnego (punkt a). Pierwsze minimum jest dane równaniem

Δysinθ = λ

a dla małego kąta

Δy θ ≅ λ

Aby elektron doleciał do punkt a (1-sze minimum) musi mieć prędkość pionową Δv_y taką, że

Korzystając z obu powyższych równań otrzymujemy

lub inaczej

Δv_yΔy = λv₀

Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez h/p czyli h/mv₀. Podstawiając to do ostatniego równania otrzymujemy

co można zapisać

Δp_yΔy ≅ h

Jeżeli chcemy poprawić pomiar y (zmniejszyć Δy) to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Inaczej mówiąc zwiększone zostało Δp_y. Równani to przedstawia ograniczenie nałożone na dokładność pomiarów przez przyrodę (nie ma nic wspólnego z wadami aparatury pomiarowej).

Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczoności.

W zastosowaniu do pomiaru pędu i położenia głosi ona, że

Δpx Δx ≥ h
Δpy Δy ≥ h	(34.5)
Δpz Δz ≥ h

Tak więc żadna składowa ruchu elektronu nie może być określona z nieograniczoną dokładnością.

Ta sama zasada obowiązuje w odniesieniu do energii i czasu.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

1-7

34-9

---