(5.63)
Zagadnienia aproksymacji jednostajnej i aproksymacji średniokwadratowej są również formułowane dla funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów. Dla takich funkcji warunek (5.61) dotyczący aproksymacji jednostajnej zmienia się w ten sposób, że zamiast ciągłej zmiennej niezależnej x występuje w nim zmienna dyskretna
(5.63)
a w warunku (5.62) na minimum odchylenia kwadratowego całka jest zastępowana sumą
(5.64)
Aproksymacja średniokwadratowa funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów jest najczęściej wykorzystywana w zastosowaniach praktycznych do wygładzania danych eksperymentalnych i wyników obliczeń ze względu na mniej skomplikowane algorytmy jej realizacji numerycznej w porównaniu z algorytmami aproksymacji jednostajnej i możliwość uzyskiwania dobrych przybliżeń funkcji W niektórych przypadkach istnieją przesłanki teoretyczne co do doboru postaci wzoru dla funkcji aproksymującej (wskazując dostatecznie wąską klasę funkcji np. zbiór funkcji liniowych, potęgowych, wykładniczych itp.) - wtedy określamy tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej funkcji jest najlepsze.
5.4. Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami
W zadaniach aproksymacji średniokwadratowej wielomianami funkcji aproksymującej wygodnie jest poszukiwać - podobnie jak w zadaniu interpolacji - w postaci wielomianu uogólnionego
(5.65)
będącego kombinacją liniową liniowo-niezależnych funkcji (4.6).
Rozważymy najpierw aproksymację średniokwadratową funkcji 
określonej na dyskretnym zbiorze argumentów. W tym przypadku współczynniki ( j = 0, 1, ..., m) funkcji (5.65) dobieramy tak, żeby funkcja
(5.66)
osiągnęła wartość minimalną.
Zgodnie z ogólnymi metodami rachunku różniczkowego funkcja osiąga minimum wtedy i tylko wtedy, gdy znikają pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych
Stąd otrzymujemy układ równań z niewiadomymi współczynnikami , zwany układem normalnym:
(5.67)
w którym wprowadzono skrócone oznaczenie
(5.68)
Układ równań (5.67) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla liniowo-niezależnego układu funkcji: ..., Macierz współczynników układu (5.67) jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną.
Dla układu funkcji bazowych tworzących ciąg wielomianów ( j = 0, 1, ..., m) układ równań (5.67) przyjmie postać:
(5.69)
gdzie:
(5.70)
Wielomian aproksymujący daną funkcję 
w sensie najmniejszych kwadratów
(5.71)
powinien mieć stopień na tyle wysoki, aby dostatecznie przybliżał funkcję 
, a jednocześnie mieć stopień wystarczająco niski, aby wielomian ten wygładzał błędy losowe wynikające np. z pomiarów. Jeśli m = n, to wielomian aproksymujący pokrywa się z wielomianem Lagrange'a dla układu punktów: i wtedy S = 0. Wiadomo, że dla m ≥ 6 układ (5.69) jest układem źle uwarunkowanym, wskutek czego otrzymane wyniki mogą być bardzo zaburzone i nie nadawać się do praktycznego wykorzystania [1]. Podobnie więc jak w przypadku interpolacji aproksymację średniokwadratową wielomianami potęgowymi (5.71) można stosować tylko dla małych wartości m.
Trudności obliczeniowe związane z aproksymacją średniokwadratową za pomocą wielomianów wyższych stopni mogą być zmniejszone przy wykorzystaniu wielomianów ortogonalnych.
Dwie dowolne funkcje i nazywamy ortogonalnymi na zbiorze punk-tów: jeśli
(5.72)
przy czym:
(5.73)
Niech zbiór wielomianów:
(5.74)
będzie danym układem wielomianów ortogonalnych na zbiorze: , czyli
(5.75)
Po przedstawieniu wielomianu aproksymującego (5.71) w postaci kombinacji liniowej wielomianów układu (5.74)
(5.76)
odchylenie kwadratowe (5.66) przyjmuje postać
(5.77)
Podnosząc do kwadratu wyrażenie znajdujące się w nawiasie kwadratowym otrzymujemy
i następnie na mocy warunku ortogonalności (5.75), po wprowadzeniu oznaczeń:
(5.78)
uzyskujemy
Uzupełniając wyrażenie znajdujące się w nawiasie pod znakiem pierwszej sumy do pełnego kwadratu
mamy
(5.79)
Wynika stąd, że średnie odchylenie kwadratowe S osiąga swą najmniejszą wartość dla współczynników
(5.80)
Szukany wielomian aproksymacyjny (5.76) ma więc postać
(5.81)
Dla układu równoodległych punktów: o stałej odległości h układ wielomianów ortogonalnych (5.74) tworzą wielomiany Grama [1, 25]
(5.82)
gdzie:
Pierwsze wielomiany Grama są następujące:
We wzorze aproksymującym (5.81) opartym na wielomianach Grama współczynnik (5.78a) jest określony zależnością
(5.83)
*
Aproksymacja średniokwadratowa danej funkcji 
ciągłej w przedziale [a, b] polega na znalezieniu takiego ciągu współczynników ( j = 0, 1, ..., m), aby otrzymać minimum średniego odchylenia kwadratowego (5.62) dla funkcji określonej wzorem (5.65)
(5.84)
Podobnie jak w przypadku, gdy funkcja 
była określona na dyskretnym zbiorze punktów obliczamy pochodne cząstkowe ( j = 0, 1, ..., m) i przyrównujemy je do zera. Otrzymany układ równań można również zapisać w postaci (5.67), w której iloczyny skalarne (5.68) wyrażone są za pomocą całek
(5.85)
Przy aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami (5.71) występują te same problemy, jakie występowały przy aproksymacji funkcji określonych na dyskretnym zbiorze elementów. Oznacza to, że do aproksymacji średniokwadratowej funkcji ciągłej 
można stosować tylko wielomiany niskich stopni.
Zadanie aproksymacji średniokwadratowej danej funkcji ciągłej 
w danym przedziale [a, b] ma proste rozwiązanie, jeśli układ funkcji (4.6) wielomianu uogólnionego (5.65) jest ortogonalny.
Układ funkcji całkowalnych nazywamy ortogonalnym, jeśli
(5.86)
Liczbę
(5.87)
nazywamy normą funkcji w przedziale [a, b].
Jeśli normy wszystkich funkcji: są równe jedności, to układ ten nazywamy ortonormalnym. Układ ortonormalny spełnia więc następujące warunki
(5.88)
Dowolny układ , nie zawierający funkcji o normie równej zeru, można unormować dzieląc każdą funkcję przez jej normę
ponieważ jest
Na mocy warunku ortogonalności (5.86) wszystkie składniki lewej strony układu równań (5.67) leżące poza główną przekątną równają się zeru, a zatem
i ostatecznie otrzymujemy
(5.89)
W przypadku układu ortonormalnego współczynniki wylicza się szczególnie łatwo, ponieważ wtedy
(5.90)
Współczynniki określone wzorem (5.89) nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji 
względem danego układu ortogonalnego Wielomian uogólniony ze współczynnikami Fouriera danej funkcji ma najmniejsze odchylenie kwadratowe od tej funkcji w porównaniu ze wszystkimi innymi wielomianami uogólnionymi tego samego stopnia m.
Układ ortogonalny w przedziale 
tworzą wielomiany Legendre'a zdefiniowane wzorami (5.46), ponadto
(5.91)
Wynika stąd, że współczynniki (5.89) występujące w kombinacji liniowej wielomianów Legendre'a przybliżającej funkcję 
w przedziale [1, 1] są następujące
(5.92)
W charakterze przykładu rozpatrzymy aproksymację funkcji 
w prze-dziale 
wielomianem stopnia piątego
(5.93)
Po obliczeniu ze wzorów (5.92) i (5.46) współczynników:
otrzymujemy
i ostatecznie mamy
Do aproksymacji używa się także układów funkcji ortogonalnych z wagą 
będącą daną dodatnią funkcją ciągłą w przedziale 
Warunek ortogonalności (5.88) ma wówczas postać
(5.94)
Przykładem układu funkcji ortogonalnego z wagą są wielomiany Czebyszewa (4.34) - znane również z tego, że w przedziale są one wielomianami najmniej odchylającymi się od zera [25]. Wielomiany Czebyszewa tworzą w przedziale 
układ ortogonalny z funkcją wagową
czyli
Każdą funkcję ciągłą w przedziale 
można więc przybliżyć sumą szeregu
(5.95)
gdzie
Przykładowo aproksymując funkcję szeregiem (5.95) dla n = 3 [9]
uzyskujemy przybliżenie z błędem 0.00606.
*
{Program 5.2}
unit Obliczenia;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls,
Forms, Dialogs, StdCtrls, Buttons, OleCtnrs;
const
mmax = 21;
type
Wekt1 = array[0..mmax] of Real;
Wekt2 = array[0..2*mmax] of Real;
Wekt3 = array[0..500] of Real;
Wekt4 = array[1..1000] of Real;
Tabl = array[1..mmax,1..mmax+1] of Real;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
var
Form3: TForm3;
i,j,k,n,m,Q,st,tr,war,X0,Y0,ZX,ZY: Integer;
a,b,bl,det,h,odch,x,y: Real;
xx,yy,Xekr,Yekr: Wekt4;
plik,plik1: Text;
xd,xp,yp: Wekt3;
aw,c,t: Wekt1;
am: Tabl;
s: Wekt2;
implementation
uses Ustawienia, Informacje, Grafika, Podglad;
{$R *.DFM}
function f(x: Real): Real;
begin
if Form3.RadioButton1.Checked then
f:=16*Sqr(x)*Sqr(x-1);
if Form3.RadioButton2.Checked then
f:=Abs(x);
if Form3.RadioButton3.Checked then
f:=1/(1+25*x*x);
if Form3.RadioButton4.Checked then
f:=100*x*x*Exp(-10*x);
end;
{procedure ElimGaussa(n,m: Integer; var A: Tabl; var det: Real);}
function Silnia(n: Integer): Real;
begin
if n=0 then Silnia:=1
else Silnia:=n*Silnia(n-1);
end;
function Komb(p,q: Integer): Real;
begin
Komb:=Silnia(p)/Silnia(q)/Silnia(p-q);
end;
function WCzyn(q: Real; j: Integer): Real;
var
k: Integer;
p: Real;
begin
p:=1;
if j>0 then
for k:=0 to j-1 do
p:=p*(q-k);
Wczyn:=p;
end;
function G(k,n: Integer; t: Real): Real;
var
s,p: Integer;
pom: Real;
begin
pom:=0; p:=-1;
for s:=0 to k do begin
if p=-1 then p:=1 else p:=-1;
pom:=pom+p*Komb(k,s)*Komb(k+s,s)*WCzyn(t,s)/WCzyn(n,s);
end;
G:=pom;
end;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
procedure TForm3.BitBtn1Click(Sender: TObject);
begin
Form2.Show;
AssignFile(plik,Edit6.Text);
AssignFile(plik1,Edit5.Text);
Rewrite(plik); Rewrite(plik1);
if RadioButton5.Checked then war:=1;
if RadioButton6.Checked then war:=2;
Writeln(plik,'PROGRAM 5.2');
Writeln(plik,'Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami.');
case war of
1: Writeln(plik,'Wielomian potęgowy.');
2: Writeln(plik,'Uogólniony wielomian Grama.');
end;
Writeln(plik);
a:=StrtoFloat(Edit1.Text); b:=StrtoFloat(Edit2.Text);
n:=StrtoInt(Edit3.Text); m:=StrtoInt(Edit4.Text);
Writeln(plik,'Początek przedziału: a = ',a:13);
Writeln(plik,'Koniec przedziału: b = ',b:13);
Writeln(plik,'Liczba punktów: n = ',n:3);
Writeln(plik,'Stopień wielomianu: m = ',m:3);
Writeln(plik1,n:3); Writeln(plik); h:=(b-a)/n;
for i:=0 to n do begin
x:=a+i*h; y:=f(x);
xp[i]:=x; yp[i]:=y;
xx[i+1]:=x; yy[i+1]:=y;
end;
Q:=n+2; xx[n+2]:=0; yy[n+2]:=0;
case war of
1: begin
t[0]:=0; s[0]:=n+1; xd:=xp;
for i:=0 to n do t[0]:=t[0]+yp[i];
for k:=1 to 2*m do begin
t[k]:=0; s[k]:=0;
for i:=0 to n do begin
if k<=m then t[k]:=t[k]+xd[i]*yp[i];
s[k]:=s[k]+xd[i];
xd[i]:=xd[i]*xp[i];
end;
end;
for i:=0 to m do begin
for j:=0 to m do am[i+1,j+1]:=s[i+j];
am[i+1,m+2]:=t[i];
end;
ElimGaussa(m+1,1,am,det);
for i:=0 to m do
aw[i]:=am[i+1,m+2];
end;
2: begin
for j:=0 to m do begin
s[j]:=0;
for i:=0 to n do
s[j]:=s[j]+Sqr(G(j,n,i));
end;
for j:=0 to m do begin
c[j]:=0;
for i:=0 to n do
c[j]:=c[j]+yp[i]*G(j,n,i);
end;
end;
end;
odch:=0;
Writeln(plik,'Wyniki aproksymacji funkcji:');
Writeln(plik,' i x[i] y[i] błąd');
for i:=0 to n do begin
x:=a+i*h;
case war of
1: begin
y:=aw[m];
for k:=m-1 downto 0 do
y:=y*x+aw[k];
end;
2: begin
y:=0;
for j:=0 to m do
y:=y+c[j]*G(j,n,i)/s[j];
end;
end;
bl:=f(x)-y; odch:=odch+Sqr(y-yp[i]);
Writeln(plik,i:3,' ',x:13,' ',y:18,' ',bl:13);
Q:=Q+1; xx[Q]:=x; yy[Q]:=y;
end;
Writeln(plik);
Writeln(plik,'Odchylenie kwadratowe: ',odch:13);
for k:=1 to 2*n+3 do
Writeln(plik1,xx[k]:13,' ',yy[k]:13);
CloseFile(plik); CloseFile(plik1);
Form2.Wyniki.Lines.LoadFromFile(Edit6.Text);
end;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
procedure TForm3.BitBtn3Click(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
end.
Program 5.2 jest przeznaczony do aproksymacji średniokwadratowej funkcji 
określonej na dyskretnym zbiorze argumentów: W zależności od wyboru alternatywy obliczeń (rys. 5.9) funkcja aproksymująca przyjmowana jest albo w postaci wielomianu potęgowego (5.71), albo w postaci kombinacji liniowej wielomianów Grama: (5.76), (5.82). Ponadto z formularza Dane wczytywana jest także liczba m, określająca stopień wielomianu aproksymującego
Dane do programu 5.2, które dla dowolnych funkcji określonych na dyskretnych zbiorach argumentów mogą być również zapisywane w pliku Pr_5_2.dan, mają następujące znaczenie:
n - liczba zadanych punktów,
xp[0..n] - tablica zawierająca odcięte zadanych punktów,
yp[0..n] - tablica zawierająca zadane wartości funkcji w punktach:
Rys. 5.9
Tablica 5.1
|
Rys. |
Funkcja |
Wzór |
a |
b |
n |
m |
|
5.10 5.11 5.12 |
|
(5.71) (5.71) (5.76) |
−1 −1 −1 |
1 1 1 |
100 100 100 |
4 8 15 |
|
5.13 5.14 5.15 |
|
(5.71) (5.71) (5.76) |
−1 −1 −1 |
1 1 1 |
100 100 100 |
4 8 15 |
|
5.16 5.17 5.18 |
|
(5.71) (5.76) (5.76) |
0 0 0 |
1 1 1 |
100 100 100 |
4 8 15 |
Rys. 5.10
Rys. 5.11
Rys. 5.12
Rys. 5.13
Rys. 5.14
Rys. 5.15
Rys. 5.16
Rys. 5.17
Rys. 5.18
Program 5.2 działa podobnie jak programy 4.1 ÷ 4.6. Na ekranie monitora ukazuje się więc obraz wielomianu aproksymującego na tle zadanych punktów, oprócz tego do pliku Pr_5_2.wyn przesyłane są wyniki obliczeń zawierające w kolejnych wierszach: numer punktu i oraz wartości i Przykłady aproksymacji funkcji za pomocą uogólnionego wielomianu Grama (5.76) przedstawione zostały na rysunkach 5.10 ÷ 5.18, po wczytaniu kolejnych zestawów danych według tablicy 5.1.
Fragment tabulogramu wyników obliczeń numerycznych dotyczących aproksymacji średniokwadratowej funkcji 
, przedstawionego na rysunku 5.15, jest następujący:
PROGRAM 5.2
Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami.
Uogólniony wielomian Grama.
Początek przedziału: a = -1.0000E+0000
Koniec przedziału: b = 1.0000E+0000
Liczba punktów: n = 100
Stopień wielomianu: m = 15
Wyniki aproksymacji funkcji:
i x[i] y[i] błąd
0 -1.0000E+0000 2.518986064E-0002 1.3271E-0002
1 -9.8000E-0001 5.974592698E-0002 -1.9762E-0002
2 -9.6000E-0001 5.383489210E-0002 -1.2237E-0002
3 -9.4000E-0001 3.988067783E-0002 3.4281E-0003
4 -9.2000E-0001 3.154065954E-0002 1.3585E-0002
5 -9.0000E-0001 3.200026671E-0002 1.5058E-0002
6 -8.8000E-0001 3.939085206E-0002 9.7251E-0003
7 -8.6000E-0001 5.012419249E-0002 1.1841E-0003
8 -8.4000E-0001 6.076243538E-0002 -7.1144E-0003
9 -8.2000E-0001 6.889822648E-0002 -1.2750E-0002
10 -8.0000E-0001 7.340199295E-0002 -1.4578E-0002
11 -7.8000E-0001 7.429818159E-0002 -1.2607E-0002
12 -7.6000E-0001 7.245633913E-0002 -7.6895E-0003
13 -7.4000E-0001 6.922330766E-0002 -1.1497E-0003
14 -7.2000E-0001 6.607687193E-0002 5.5564E-0003
15 -7.0000E-0001 6.434662569E-0002 1.1125E-0002
16 -6.8000E-0001 6.502259447E-0002 1.4595E-0002
17 -6.6000E-0001 6.865449960E-0002 1.5449E-0002
18 -6.4000E-0001 7.533294160E-0002 1.3635E-0002
19 -6.2000E-0001 8.473691230E-0002 9.5138E-0003
20 -6.0000E-0001 9.622878985E-0002 3.7712E-0003
21 -5.8000E-0001 1.089773964E-0001 -2.7075E-0003
22 -5.6000E-0001 1.220910020E-0001 -8.9688E-0003
23 -5.4000E-0001 1.347447203E-0001 -1.4117E-0002
24 -5.2000E-0001 1.462900064E-0001 -1.7424E-0002
25 -5.0000E-0001 1.563375527E-0001 -1.8407E-0002
26 -4.8000E-0001 1.648084455E-0001 -1.6879E-0002
27 -4.6000E-0001 1.719517572E-0001 -1.2969E-0002
28 -4.4000E-0001 1.783296930E-0001 -7.0968E-0003
29 -4.2000E-0001 1.847737324E-0001 6.9151E-0005
30 -4.0000E-0001 1.923171173E-0001 7.6829E-0003
31 -3.8000E-0001 2.021101645E-0001 1.4809E-0002
32 -3.6000E-0001 2.153256437E-0001 2.0523E-0002
33 -3.4000E-0001 2.330614967E-0001 2.4008E-0002
34 -3.2000E-0001 2.562479099E-0001 2.4651E-0002
35 -3.0000E-0001 2.855650078E-0001 2.2127E-0002
36 -2.8000E-0001 3.213763803E-0001 1.6461E-0002
37 -2.6000E-0001 3.636824792E-0001 8.0647E-0003
38 -2.4000E-0001 4.120963730E-0001 -2.2603E-0003
39 -2.2000E-0001 4.658432112E-0001 -1.3354E-0002
40 -2.0000E-0001 5.237829567E-0001 -2.3783E-0002
41 -1.8000E-0001 5.844548896E-0001 -3.1969E-0002
42 -1.6000E-0001 6.461412592E-0001 -3.6385E-0002
43 -1.4000E-0001 7.069461243E-0001 -3.5805E-0002
44 -1.2000E-0001 7.648850572E-0001 -2.9591E-0002
45 -1.0000E-0001 8.179809354E-0001 -1.7981E-0002
46 -8.0000E-0002 8.643602460E-0001 -2.2913E-0003
47 -6.0000E-0002 9.023450931E-0001 1.5086E-0002
48 -4.0000E-0002 9.305358320E-0001 3.1003E-0002
49 -2.0000E-0002 9.478806214E-0001 4.2218E-0002
50 5.1159E-0013 9.537271490E-0001 4.6273E-0002
51 2.0000E-0002 9.478550127E-0001 4.2244E-0002
52 4.0000E-0002 9.304870864E-0001 3.1051E-0002
53 6.0000E-0002 9.022776003E-0001 1.5153E-0002
54 8.0000E-0002 8.642803436E-0001 -2.2114E-0003
55 1.0000E-0001 8.178960111E-0001 -1.7896E-0002
56 1.2000E-0001 7.648031433E-0001 -2.9509E-0002
57 1.4000E-0001 7.068748878E-0001 -3.5734E-0002
58 1.6000E-0001 6.460875295E-0001 -3.6331E-0002
59 1.8000E-0001 5.844243560E-0001 -3.1938E-0002
60 2.0000E-0001 5.237782462E-0001 -2.3778E-0002
61 2.2000E-0001 4.658651027E-0001 -1.3376E-0002
62 2.4000E-0001 4.121424962E-0001 -2.3064E-0003
63 2.6000E-0001 3.637496851E-0001 7.9975E-0003
64 2.8000E-0001 3.214575170E-0001 1.6380E-0002
65 3.0000E-0001 2.856515419E-0001 2.2041E-0002
66 3.2000E-0001 2.563322513E-0001 2.4567E-0002
67 3.4000E-0001 2.331334370E-0001 2.3936E-0002
68 3.6000E-0001 2.153791773E-0001 2.0470E-0002
69 3.8000E-0001 2.021385374E-0001 1.4781E-0002
70 4.0000E-0001 1.923187047E-0001 7.6813E-0003
71 4.2000E-0001 1.847461203E-0001 9.6763E-0005
72 4.4000E-0001 1.782747358E-0001 -7.0419E-0003
73 4.6000E-0001 1.718780503E-0001 -1.2895E-0002
74 4.8000E-0001 1.647245420E-0001 -1.6796E-0002
75 5.0000E-0001 1.562505145E-0001 -1.8319E-0002
76 5.2000E-0001 1.462139794E-0001 -1.7348E-0002
77 5.4000E-0001 1.346859364E-0001 -1.4058E-0002
78 5.6000E-0001 1.220630122E-0001 -8.9408E-0003
79 5.8000E-0001 1.089813953E-0001 -2.7115E-0003
80 6.0000E-0001 9.626135170E-0002 3.7386E-0003
81 6.2000E-0001 8.480854129E-0002 9.4422E-0003
82 6.4000E-0001 7.543290955E-0002 1.3535E-0002
83 6.6000E-0001 6.875434443E-0002 1.5349E-0002
84 6.8000E-0001 6.509431595E-0002 1.4523E-0002
85 7.0000E-0001 6.441560047E-0002 1.1056E-0002
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Odchylenie kwadratowe: 3.2997E-0002
304 5. Różniczkowanie, całkowanie i aproksymacja
5.4. Aproksymacja średniokwadratowa wielomianami 305
